（全國通用版）2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.4 生活中的優(yōu)化問題舉例學(xué)案 新人教A版選修2-2

§1.4　生活中的優(yōu)化問題舉例 學(xué)習(xí)目標　1.了解導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的作用.2.掌握利用導(dǎo)數(shù)解決簡單的實際生活中的優(yōu)化問題． 知識點　生活中的優(yōu)化問題 (1)生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題． (2)利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的實質(zhì)是求函數(shù)最值． (3)解決優(yōu)化問題的基本思路： 上述解決優(yōu)化問題的過程是一個典型的數(shù)學(xué)建模過程． 1．生活中常見到的收益最高，用料最省等問題就是數(shù)學(xué)中的最大、最小值問題．(　√　) 2．解決應(yīng)用問題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．(　√　) 類型一　幾何中的最值問題 例1　請你設(shè)計一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒．點E，F(xiàn)在邊AB上，是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點．設(shè)AE＝FB＝x(cm)． 某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，試問x應(yīng)取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值． 考點　利用導(dǎo)數(shù)求幾何模型的最值問題 題點　利用導(dǎo)數(shù)求幾何體體積的最值問題 解　∵V(x)＝(x)2×(60－2x)× ＝x2×(60－2x)＝－2x3＋60x2(0<x<30)． ∴V′(x)＝－6x2＋120x＝－6x(x－20)． 令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝20. ∵當0<x<20時，V′(x)>0； 當20<x<30時，V′(x)<0. ∴V(x)在x＝20時取極大值也是唯一的極值，故為最大值． ∴底面邊長為x＝20(cm)， 高為(30－x)＝10(cm)， 即高與底面邊長的比值為. 引申探究 本例條件不變，若要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大，試問x應(yīng)取何值？ 解　∵AE＝x，∴HE＝x. ∵EF＝60－2x， ∴EG＝EF＝(60－2x)＝(30－x)． ∴S側(cè)＝4×HE×EG＝4×x×(30－x) ＝8x(30－x)＝－8x2＋240x ＝－8(x－15)2＋8×152. ∴當x＝15時，S側(cè)最大為1 800 cm2. 反思與感悟　面積、體積(容積)最大，周長最短，距離最小等實際幾何問題，求解時先設(shè)出恰當?shù)淖兞浚瑢⒋蠼庾钪档膯栴}表示為變量的函數(shù)，再按函數(shù)求最值的方法求解，最后檢驗． 跟蹤訓(xùn)練1　(1)已知圓柱的表面積為定值S，當圓柱的容積V最大時，圓柱的高h的值為________． 考點　利用導(dǎo)數(shù)求幾何模型的最值問題 題點　利用導(dǎo)數(shù)求幾何體體積的最值問題 (2)將一段長為100 cm的鐵絲截成兩段，一段彎成正方形，一段彎成圓，當正方形與圓形面積之和最小時，圓的周長為________ cm. 考點　利用導(dǎo)數(shù)求幾何模型的最值問題 題點　利用導(dǎo)數(shù)求面積的最值問題 答案　(1)　(2) 解析　(1)設(shè)圓柱的底面半徑為r， 則S圓柱底＝2πr2，S圓柱側(cè)＝2πrh， ∴圓柱的表面積S＝2πr2＋2πrh. ∴h＝， 又圓柱的體積V＝πr2h＝(S－2πr2)＝， V′(r)＝， 令V′(r)＝0，得S＝6πr2，∴h＝2r， ∵V′(r)只有一個極值點， ∴當h＝2r時圓柱的容積最大． 又r＝，∴h＝2＝. 即當圓柱的容積V最大時， 圓柱的高h為. (2)設(shè)彎成圓的一段鐵絲長為x(0<x<100)，則另一段長為100－x. 設(shè)正方形與圓形的面積之和為S， 則正方形的邊長a＝，圓的半徑r＝. 故S＝π2＋2(0<x<100)． 因此S′＝－＋＝－， 令S′＝0，則x＝. 由于在(0,100)內(nèi)，函數(shù)只有一個導(dǎo)數(shù)為0的點，則問題中面積之和的最小值顯然存在，故當x＝ cm時，面積之和最?。? 類型二　實際生活中的最值問題 例2　某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝＋10(x－6)2，其中3<x<6，a為常數(shù)．已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克． (1)求a的值； (2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大． 考點　利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的最值問題 題點　利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤問題 解　(1)因為當x＝5時，y＝11，所以＋10＝11， 所以a＝2. (2)由(1)可知，該商品每日的銷售量為 y＝＋10(x－6)2， 所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為 f(x)＝(x－3) ＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6. 從而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)(x－6)，令f′(x)＝0，得x＝4或x＝6. 當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (3,4) 4 (4,6) f′(x) ＋ 0 － f(x) ↗ 極大值 ↘ 由上表可得，x＝4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點，也是最大值點． 所以當x＝4時，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42. 答　當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大． 反思與感悟　解決此類有關(guān)利潤的實際應(yīng)用題，應(yīng)靈活運用題設(shè)條件，建立利潤的函數(shù)關(guān)系，常見的基本等量關(guān)系有 (1)利潤＝收入－成本． (2)利潤＝每件產(chǎn)品的利潤×銷售件數(shù)． 跟蹤訓(xùn)練2　已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)1千件需另投入2.7萬元．設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為R(x)萬元，且R(x)＝ (1)求年利潤W(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式； (2)當年產(chǎn)量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大，并求出最大值． 考點　利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的最值問題 題點　利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤問題 解　(1)當0<x≤10時， W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝8.1x－－10； 當x>10時，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－－2.7x. 所以W＝ (2)當0<x≤10時， 由W′＝8.1－＝0，得x＝9， 當x∈(0,9)時，W′>0，當x∈(9,10)時，W′<0， 所以當x＝9時，W取得最大值， 且Wmax＝8.1×9－×93－10＝38.6， 當x>10時，W＝98－ ≤98－2＝38， 當且僅當＝2.7 x，即x＝時，Wmax＝38， 綜上可得，當x＝9時，W取得最大值38.6. 故當年產(chǎn)量為9千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大，最大利潤為38.6萬元． 例3　某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩．經(jīng)測算，一個橋墩的工程費用為256萬元；距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為(2＋)x萬元．假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記余下工程的費用為y萬元． (1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； (2)當m＝640米時，需新建多少個橋墩才能使y最??？ 考點　利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的最值問題 題點　用料、費用最少問題 解　(1)設(shè)需新建n個橋墩， 則(n＋1)x＝m，即n＝－1. 所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x ＝256＋(2＋)x ＝＋m＋2m－256. (2)由(1)知，f′(x)＝－＋m ＝(－512)． 令f′(x)＝0，得＝512， 所以x＝64. 當0<x<64時，f′(x)<0，f(x)在區(qū)間(0,64)上為減函數(shù)； 當64<x<640時，f′(x)>0，f(x)在區(qū)間(64,640)上為增函數(shù)， 所以f(x)在x＝64處取得最小值． 此時n＝－1＝－1＝9. 反思與感悟　(1)用料最省、成本最低問題是日常生活中常見的問題之一，解決這類問題要明確自變量的意義以及最值問題所研究的對象．正確書寫函數(shù)表達式，準確求導(dǎo)，結(jié)合實際作答． (2)利用導(dǎo)數(shù)的方法解決實際問題，當在定義區(qū)間內(nèi)只有一個點使f′(x)＝0時，如果函數(shù)在這點有極大(小)值，那么不與端點值比較，也可以知道在這個點取得最大(小)值． 跟蹤訓(xùn)練3　為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．設(shè)f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和． (1)求k的值及f(x)的表達式； (2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值． 考點　利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的最值問題 題點　用料、費用最少問題 解　(1)設(shè)隔熱層厚度為x cm， 由題設(shè)，每年能源消耗費用為C(x)＝， 再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝， 而建造費用為C1(x)＝6x. 因此得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為 f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x ＝＋6x(0≤x≤10)． (2)f′(x)＝6－. 令f′(x)＝0，即＝6， 解得x＝5，x＝－(舍去)． 當0<x<5時，f′(x)<0；當5<x<10時，f′(x)>0， 故當x＝5時，f(x)取到最小值，對應(yīng)的最小值為f(5)＝6×5＋＝70. 答　當隔熱層修建5 cm厚時，總費用達到最小值為70萬元. 1．煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對原油進行冷卻和加熱，如果第x小時，原油溫度(單位：℃)為f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油溫度的瞬時變化率的最小值是(　　) A．8 B. C．－1 D．－8 考點　利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的最值問題 題點　利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的其他最值問題 答案　C 解析　原油溫度的瞬時變化率為f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以當x＝1時，原油溫度的瞬時變化率取得最小值－1. 2．要做一個圓錐形漏斗，其母線長為20 cm，要使其體積最大，則高應(yīng)為(　　) A. cm B. cm C. cm D. cm 考點　利用導(dǎo)數(shù)求幾何模型的最值問題 題點　利用導(dǎo)數(shù)求幾何體體積的最值問題 答案　B 解析　設(shè)圓錐的高為h cm,0<h<20， ∴V圓錐＝π(202－h(huán)2)×h＝π(400－h(huán)2)h ∴V′＝π(400－3h2)，令V′(h)＝0得h＝， 當h∈時，V′>0，當h∈時，V′<0， 故當h＝時，體積最大． 3．某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元的價格購進一批商品．若該商品零售價定為P元，銷售量為Q件，且銷量Q與零售價P有如下關(guān)系：Q＝8 300－170P－P2，則最大毛利潤為(毛利潤＝銷售收入－進貨支出)(　　) A．30元 B．60元 C．28 000元 D．23 000元 考點　利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的最值問題 題點　利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤問題 答案　D 解析　毛利潤為(P－20)Q， 即f(P)＝(P－20)(8 300－170P－P2)， f′(P)＝－3P2－300P＋11 700 ＝－3(P＋130)(P－30)． 令f′(P)＝0， 得P＝30或P＝－130(舍去)． 又P∈[20，＋∞)， 故f(P)max＝f(P)極大值， 故當P＝30時，毛利潤最大， 所以f(P)max＝f(30)＝23 000(元)． 4．要制作一個容積為4 m3，高為1 m的無蓋長方體容器，已知底面造價是每平方米20元，側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是________元． 考點　利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的最值問題 題點　用料、費用最少問題 答案　160 解析　設(shè)底面長為x，由題意得底面寬為. 設(shè)總造價為y，則y＝20x×＋10×1×， 即y＝20x＋＋80， y′＝20－，令y′＝0，得x＝2. ∴當x＝2時，ymin＝160(元)． 5．某商品每件成本9元，售價30元，每星期賣出432件．如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低額x(單位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品單價降低2元時，每星期多賣出24件． (1)將一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù)； (2)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？ 考點　利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的最值問題 題點　利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤問題 解　(1)設(shè)商品降價x元，則多賣出的商品件數(shù)為kx2. 若記商品一個星期的獲利為f(x)，則有 f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)． 由已知條件，得24＝k×22，于是有k＝6. 所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21]． (2)由(1)得，f′(x)＝－18x2＋252x－432 ＝－18(x－2)(x－12)． 當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x [0,2) 2 (2,12) 12 (12,21] f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) ↘ 極小值 ↗ 極大值 ↘ 故當x＝12時，f(x)取得極大值． 因為f(0)＝9 072，f(12)＝11 664. 所以定價為30－12＝18(元)，才能使一個星期的商品銷售利潤最大． 1．利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟 (1)分析實際問題中各量之間的關(guān)系，列出實際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系y＝f(x)； (2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比較函數(shù)在區(qū)間端點和極值點處的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值． 2．正確理解題意，建立數(shù)學(xué)模型，利用導(dǎo)數(shù)求解是解答應(yīng)用問題的主要思路．另外需要特別注意 (1)合理選擇變量，正確寫出函數(shù)解析式，給出函數(shù)定義域； (2)與實際問題相聯(lián)系； (3)必要時注意分類討論思想的應(yīng)用． 一、選擇題 1若底面為等邊三角形的直棱柱的體積為V，則當其表面積最小時底面邊長為(　　) A. B. C. D．2 考點　利用導(dǎo)數(shù)求幾何模型的最值問題 題點　利用導(dǎo)數(shù)求面積的最值問題 答案　C 解析　設(shè)底面邊長為x， 則表面積S＝x2＋V(x>0)， ∴S′＝(x3－4V)．令S′＝0，得x＝，可判斷當x＝時，S取得最小值． 2．如果圓柱軸截面的周長l為定值，則體積的最大值為(　　) A.3π B.3π C.3π D.3π 考點　利用導(dǎo)數(shù)求幾何模型的最值問題 題點　利用導(dǎo)數(shù)求幾何體體積的最值問題 答案　A 解析　設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，體積為V， 則4r＋2h＝l，∴h＝. ∴V＝πr2h＝πr2－2πr3， 則V′＝lπr－6πr2. 令V′＝0，得r＝0或r＝，而r>0， ∴r＝是其唯一的極值點． ∴當r＝時，V取得最大值，最大值為3π. 3．某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品， 固定成本為20 000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加100元，若總收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R(x)＝則當總利潤P(x)最大時，每年生產(chǎn)產(chǎn)品的單位數(shù)是(　　) A．150 B．200 C．250 D．300 考點　利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的最值問題 題點　利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤問題 答案　D 解析　由題意得，總利潤 P(x)＝ 當0≤x≤390時，令P′(x)＝0，得x＝300， 又當x>390時，P(x)＝70 090－100x為減函數(shù)， 所以當每年生產(chǎn)300單位的產(chǎn)品時，總利潤最大，故選D. 4．若方底無蓋水箱的容積為256，則最省材料時，它的高為(　　) A．4 B．6 C．4.5 D．8 考點　利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的最值問題 題點　用料、費用最少問題 答案　A 解析　設(shè)底面邊長為x，高為h， 則V(x)＝x2·h＝256，∴h＝. ∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·＝x2＋， ∴S′(x)＝2x－. 令S′(x)＝0，解得x＝8，∴當x＝8時，S(x)取得最小值． ∴h＝＝4. 5．某超市中秋前30天，月餅銷售總量f(t)與時間t(0<t≤30，t∈Z)的關(guān)系大致滿足f(t)＝t2＋10t＋12，則該超市前t天平均售出的月餅最少為(　　) A．14個 B．15個 C．16個 D．17個 考點　利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的最值問題 題點　利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的其他最值問題 答案　D 解析　記g(t)＝＝t＋＋10， 令g′(t)＝1－＝0，得t＝2(負值舍去)， 則g(t)在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(2，30]上單調(diào)遞增， 由于t∈Z，且g(3)＝g(4)＝17，∴g(t)min＝17. 6．某銀行準備新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)算，存款量與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為k(k>0)．已知貸款的利率為0.048 6，且假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去．設(shè)存款利率為x，x∈(0,0.048 6)，若使銀行獲得最大收益，則x的取值為(　　) A．0.016 2 B．0.032 4 C．0.024 3 D．0.048 6 考點　利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的最值問題 題點　利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤問題 答案　B 解析　依題意，得存款量是kx2，銀行支付的利息是kx3，獲得的貸款利息是0.048 6kx2，其中x∈(0,0.048 6)． 所以銀行的收益是y＝0.048 6kx2－kx3(0<x<0.048 6)， 則y′＝0.097 2kx－3kx2. 令y′＝0，得x＝0.032 4或x＝0(舍去)． 當0<x<0.032 4時，y′>0； 當0.032 4<x<0.048 6時，y′<0. 所以當x＝0.032 4時，y取得最大值，即當存款利率為0.032 4時，銀行獲得最大收益． 7．圓柱形金屬飲料罐的體積一定，要使生產(chǎn)這種金屬飲料罐所用的材料最省，則它的高與底面半徑的比為(　　) A．2∶1 B．1∶2 C．1∶4 D．4∶1 考點　利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的最值問題 題點　用料、費用最少問題 答案　A 解析　設(shè)其體積為V，高與底面半徑分別為h，r， 則V＝πr2h，即h＝. 由題意知，當表面積S最小時所用材料最省． S＝2πr2＋2πrh＝2πr2＋2πr＝2πr2＋. 令S′＝4πr－＝0，得r＝， 當r＝時，h＝＝. 則h∶r＝2∶1時，表面積S最?。? 二、填空題 8.如圖，內(nèi)接于拋物線y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在拋物線上運動，C，D在x軸上運動，則此矩形的面積的最大值是________． 考點　利用導(dǎo)數(shù)求幾何模型的最值問題 題點　利用導(dǎo)數(shù)求面積的最值問題 答案　 解析　設(shè)CD＝x，則點C坐標為，點B坐標為， ∴矩形ABCD的面積 S＝f(x)＝x· ＝－＋x，x∈(0,2)． 令f′(x)＝－x2＋1＝0， 得x1＝－(舍)，x2＝， ∴當x∈時，f′(x)>0，f(x)是單調(diào)遞增的， 當x∈時，f′(x)<0，f(x)是單調(diào)遞減的， ∴當x＝時，f(x)取最大值. 9．統(tǒng)計表明：某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/時)的函數(shù)解析式可以表示為y＝x3－x＋8，x∈(0,120]，且甲、乙兩地相距100千米，則當汽車以________千米/時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地的耗油量最少． 考點　利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的最值問題 題點　用料、費用最少問題 答案　80 解析　當速度為x千米/時時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，設(shè)耗油量為y升，依題意得， y＝· ＝x2＋－(0<x≤120)． 則y′＝－＝(0<x≤120)． 令y′＝0，得x＝80， 當x∈(0,80)時，y′<0，該函數(shù)遞減；當x∈(80,120]時，y′>0，該函數(shù)遞增，所以當x＝80時，y取得最小值． 10．某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運費為4萬元/次，一年的總存儲費為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x＝________噸． 考點　利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的最值問題 題點　用料、費用最少問題 答案　20 解析　設(shè)該公司一年內(nèi)總共購買n次貨物，則n＝， ∴總運費與總存儲費之和f(x)＝4n＋4x＝＋4x， 令f′(x)＝4－＝0， 解得x＝20，x＝－20(舍去)， x＝20是函數(shù)f(x)的最小值點，故當x＝20時，f(x)最?。? 11．某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x件的總成本為C(x)＝1 200＋x3(萬元)，已知產(chǎn)品單價的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價為50萬元，則產(chǎn)量定為____件時總利潤最大． 考點　利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的最值問題 題點　利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤問題 答案　25 解析　由題意知502＝，解得k＝25×104. ∴產(chǎn)品的單價P＝＝. ∴總利潤L(x)＝x－1 200－x3 ＝500－1 200－x3， L′(x)＝250x－－x2， 令L′(x)＝0，得x＝25， ∴當x＝25時，總利潤最大． 12.一個帳篷，它下部的形狀是高為1 m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3 m的正六棱錐(如圖所示)．當帳篷的頂點O到底面中心O1的距離為________ m時，帳篷的體積最大． 考點　利用導(dǎo)數(shù)求幾何模型的最值問題 題點　利用導(dǎo)數(shù)求幾何體體積的最值問題 答案　2 解析　設(shè)OO1＝x，則1<x<4. 由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為 ＝. 于是底面正六邊形的面積為 6··()2＝(8＋2x－x2)． 帳篷的體積為 V(x)＝(8＋2x－x2) ＝(16＋12x－x3)． 則V′(x)＝(12－3x2)． 令V′(x)＝0，解得x＝－2(不合題意，舍去)或x＝2. 當1<x<2時，V′(x)>0，V(x)為增函數(shù)； 當2<x<4時，V′(x)<0，V(x)為減函數(shù)． 綜上，當x＝2時，V(x)最大． 三、解答題 13.某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計厚度，長度單位：米)，其中容器的中間為圓柱體，左右兩端均為半球體，按照設(shè)計要求容器的體積為立方米．假設(shè)該容器的建造費用僅與其表面積有關(guān)．已知圓柱體部分每平方米建造費用為3千元，半球體部分每平方米建造費用為4千元．設(shè)該容器的總建造費用為y千元． (1)將y表示成r的函數(shù)，并求該函數(shù)的定義域； (2)確定r和l為何值時，該容器的建造費用最小，并求出最小建造費用． 考點　利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的最值問題 題點　用料、費用最少問題 解　(1)因為容器的體積為立方米， 所以＋πr2l＝π，解得l＝－r， 所以圓柱的側(cè)面積為2πrl＝2πr＝－， 兩端兩個半球的表面積之和為4πr2， 所以y＝×3＋4πr2×4＝＋8πr2. 又l＝－r>0，即r<， 所以定義域為(0, )． (2)因為y′＝－＋16πr＝， 令y′>0得2<r<2；令y′<0得0<r<2， 所以當r＝2時，該容器的建造費用最小為96π千元，此時l＝. 四、探究與拓展 14．某民營企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，根據(jù)以往經(jīng)驗和市場調(diào)查，甲產(chǎn)品的利潤與投入資金成正比，乙產(chǎn)品的利潤與投入資金的算術(shù)平方根成正比，已知甲、乙產(chǎn)品分別投入資金4萬元時，所獲得利潤(萬元)情況如下： 投入資金 甲產(chǎn)品利潤 乙產(chǎn)品利潤 4 1 2.5 該企業(yè)計劃投入資金10萬元生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，那么可獲得的最大利潤(萬元)是(　　) A. B. C. D. 考點　利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的最值問題 題點　利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤問題 答案　B 解析　∵甲產(chǎn)品的利潤與投入資金成正比， ∴設(shè)y1＝k1x，當投入4萬時，利潤為1萬， 即4k1＝1，得k1＝，即y1＝. ∵乙產(chǎn)品的利潤與投入資金的算術(shù)平方根成正比， ∴設(shè)y2＝k2，當投入4萬時，利潤為2.5萬， 即k2＝，得2k2＝，即k2＝，即y2＝. 設(shè)乙產(chǎn)品投入資金為x， 則甲產(chǎn)品投入資金為10－x,0≤x≤10， 則銷售甲、乙兩種產(chǎn)品所得利潤為 y＝(10－x)＋， 則y′＝－＋＝， 由y′>0，得5－2>0，即0≤x<， 由y′<0，得5－2<0，即<x≤10， 即當x＝時，函數(shù)取得極大值同時也是最大值，此時 y＝＋·＝＋＝. 15．某汽車生產(chǎn)企業(yè)上年度生產(chǎn)一品牌汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為13萬元/輛．本年度為適應(yīng)市場需求，計劃提高產(chǎn)品檔次，適當增加投入成本，若每輛車的投入成本增加的比例為x(0<x<1)，則出廠價相應(yīng)提高的比例為0.7x，年銷售量也相應(yīng)增加，年銷售量y關(guān)于x的函數(shù)為y＝3 240，則當x為何值時，本年度的年利潤最大？最大利潤為多少？(年利潤＝(每輛車的出廠價－每輛車的投入成本)×年銷售量) 考點　利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的最值問題 題點　利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤問題 解　由題意得，本年度每輛車的投入成本為10(1＋x)， 每輛車的出廠價為13(1＋0.7x)，年利潤為 f(x)＝[13(1＋0.7x)－10(1＋x)]·y ＝(3－0.9x)×3 240× ＝3 240(0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5)， 則f′(x)＝3 240(2.7x2－9.6x＋4.5) ＝972(9x－5)(x－3)， 由f′(x)＝0，解得x＝或x＝3(舍去)， 當x∈時，f′(x)>0，f(x)是增函數(shù)； 當x∈時，f′(x)<0，f(x)是減函數(shù)． 所以當x＝時，f(x)取極大值，f ＝20 000. 因為f(x)在(0,1)內(nèi)只有一個極大值，所以它是最大值． 所以當x＝時，本年度的年利潤最大，最大利潤為20 000萬元． 18