2022屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第九單元 解析幾何 第59講 雙曲線檢測(cè)

2022屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第九單元 解析幾何 第59講 雙曲線檢測(cè) 1．(2015·福建卷)若雙曲線E：－＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線E上，且|PF1|＝3，則|PF2|等于(B) A．11 B．9 C．5 D．3 由題意知a＝3.由雙曲線的定義有||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6，所以|PF2|＝9. 2．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，則C的漸近線方程為(C) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 因?yàn)椋?，所以c＝a，所以b＝＝a. 而－＝1的漸近線方程為y＝±x， 所以所求的漸近線方程為y＝±x. 3．(2017·天津卷)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A在雙曲線的漸近線上，△OAF是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形(O為原點(diǎn))，則雙曲線的方程為(D) A.－＝1 B.－＝1 C.－y2＝1 D．x2－＝1 根據(jù)題意畫出草圖如圖所示(不妨設(shè)點(diǎn)A在漸近線y＝x上)． 由△AOF是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形得到∠AOF＝60°，c＝|OF|＝2. 又點(diǎn)A在雙曲線的漸近線y＝x上， 所以＝tan 60°＝. 又a2＋b2＝4，所以a＝1，b＝， 所以雙曲線的方程為x2－＝1. 4．(2017·新課標(biāo)卷Ⅰ)已知F是雙曲線C：x2－＝1的右焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，且PF與x軸垂直，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3)，則△APF的面積為(D) A. B. C. D. 因?yàn)镕是雙曲線C：x2－＝1的右焦點(diǎn)，所以F(2,0)． 因?yàn)镻F⊥x軸，所以可設(shè)P的坐標(biāo)為(2，yP)． 因?yàn)镻是C上一點(diǎn)，所以4－＝1，解得yP＝±3， 所以P(2，±3)，|PF|＝3. 又因?yàn)锳(1,3)，所以點(diǎn)A到直線PF的距離為1， 所以S△APF＝×|PF|×1＝×3×1＝. 5．(2016·北京卷)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線為2x＋y＝0，一個(gè)焦點(diǎn)為(，0)，則a＝　1　，b＝　2　. 因?yàn)殡p曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線為2x＋y＝0，即y＝－2x，所以＝2.① 又雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為(，0)，所以a2＋b2＝5.② 由①②得a＝1，b＝2. 6．(2016·山東卷)已知雙曲線E：－＝1(a>0，b>0)．矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E上，AB，CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn)，且2|AB|＝3|BC|，則E的離心率是　2　. 如圖，由題意知|AB|＝，|BC|＝2c. 又2|AB|＝3|BC|，所以2×＝3×2c，即2b2＝3ac， 所以2(c2－a2)＝3ac，兩邊同除以a2并整理， 得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(負(fù)值舍去)． 7．已知點(diǎn)P是雙曲線－＝1(a>0)上的一點(diǎn)，以點(diǎn)P及焦點(diǎn)F1、F2為頂點(diǎn)的三角形的面積等于1，且∠F1PF2＝90°，求雙曲線的方程． 根據(jù)題意有 由①2－②得|PF1|·|PF2|＝2(c2－4a2)， 又c2＝4a2＋a2＝5a2， 所以S△PF1F1＝|PF1|·|PF2|＝a2＝1， 故所求雙曲線方程為－y2＝1. 8．已知M(x0，y0)是雙曲線C：－y2＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)．若·<0，則y0的取值范圍是(A) A．(－，)　 B．(－，) C．(－，) D．(－，)　　 由題意知F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，－y＝1， 所以·＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0) ＝x＋y－3＝3y－1<0， 解得－<y0<. 9．(2016·廣州市綜合測(cè)試(一))已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)B(0，b)，且·＝0，則雙曲線C的離心率為　　. 因?yàn)锳(－a,0)，F(xiàn)(c,0)，B(0，b)， 所以＝(－a，－b)，＝(c，－b)， 因?yàn)?#183;＝0，所以－ac＋b2＝0，即c2－a2－ac＝0， 所以e2－e－1＝0，所以e＝(負(fù)值舍去)． 10．已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，點(diǎn)(－2,0)是它的一個(gè)焦點(diǎn)，并且離心率為. (1)求雙曲線C的方程； (2)已知點(diǎn)M(0,1)，設(shè)P(x0，y0)是雙曲線C上的點(diǎn)，Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，求·的取值范圍． (1)設(shè)雙曲線的方程為－＝1(a>0，b>0)，半焦距為c， 則c＝2，又由＝，得a＝，b2＝c2－a2＝1， 故所求雙曲線C的方程為－y2＝1. (2)依題意有：Q(－x0，－y0)， 所以＝(x0，y0－1)，＝(－x0，－y0－1)， 所以·＝－x－y＋1，又－y＝1， 所以·＝－x＋2， 由－y＝1可得，x≥3， 所以·＝－x＋2≤－2. 故·的取值范圍是(－∞，－2]．