2022年高中數(shù)學(xué) 第1章 常用邏輯用語 1.2 簡(jiǎn)單邏輯聯(lián)結(jié)詞 1.2.2 全稱量詞和存在量詞講義（含解析）湘教版選修2-1

2022年高中數(shù)學(xué) 第1章 常用邏輯用語 1.2 簡(jiǎn)單邏輯聯(lián)結(jié)詞 1.2.2 全稱量詞和存在量詞講義（含解析）湘教版選修2-1 1．全稱量詞與存在量詞 (1)全稱量詞：“任意、“所有”、“每一個(gè)”等叫作全稱量詞，數(shù)學(xué)上用符號(hào)“?”表示． (2)存在量詞：“存在”、“某一個(gè)”、“至少有一個(gè)”等叫作存在量詞，數(shù)學(xué)上用符號(hào)“?”表示． 2．含有“全稱量詞”或“存在量詞”的命題的否定 (1)命題“?x∈I, p(x)”的否定是“?x∈I，綈p(x)”； (2)命題“?x∈I，p(x)”的否定是“?x∈I，綈p(x)”． [小問題·大思維] 1．命題p：任何一個(gè)實(shí)數(shù)除以1等于這個(gè)數(shù)；q：等邊三角形的三邊都相等．它們各使用了什么量詞？ 提示：命題p使用了全稱量詞“任何一個(gè)”，“等邊三角形的三邊相等”是指“任意一個(gè)等邊三角形的三邊都相等”，命題q使用了全稱量詞“任意”． 2．下列命題使用了什么量詞？ p：存在實(shí)數(shù)x，使x2－3>0； q：有的實(shí)數(shù)既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)． 提示：命題p使用存在量詞“存在”，命題q使用存在量詞“有的”． 3．如何用符號(hào)表示下列命題？ (1)對(duì)任意實(shí)數(shù)α，有sin2α＋cos2α＝1； (2)存在實(shí)數(shù)x，使得＝2. 提示：(1)用符號(hào)表示為“?α∈R，sin2α＋cos2α＝1”． (2)用符號(hào)表示為“?x∈R，＝2”． 用“?”或“?”表述命題 將下列命題用量詞符號(hào)“?”或“?”表示，并判斷真假． (1)實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)； (2)整數(shù)中1最小； (3)方程ax2＋2x＋1＝0(a＜1)至少存在一個(gè)負(fù)根； (4)對(duì)于某些實(shí)數(shù)x，有2x＋1＞0. [自主解答]　(1)?x∈R，x2≥0；真． (2)?x∈Z，x≥1；假． (3)?x＜0，有ax2＋2x＋1＝0(a＜1)；真． (4)?x∈R，有2x＋1＞0；真． 同一個(gè)含全稱量詞或存在量詞的命題，可能有不同的表述方法，現(xiàn)列表總結(jié)如下，在實(shí)際應(yīng)用中可以靈活選擇： 命題 含全稱量詞的命題“?x∈A，p(x)” 含存在量詞的命題“?x∈A，p(x)” 表述方法 ①所有的x∈A， p(x)成立 ②對(duì)一切x∈A， p(x) 成立 ③對(duì)每一個(gè)x∈A， p(x)成立 ④任意一個(gè)x∈A， p(x)成立 ⑤凡x∈A，都有 p(x)成立 使p(x)成立 ①存在x∈A， ②至少有一個(gè)x∈A，使p(x)成立 ③對(duì)有些x∈A， p(x)成立 ④對(duì)某個(gè)x∈A， p(x)成立 ⑤有一個(gè)x∈A， 使p(x)成立 1．用全稱量詞或存在量詞表示下列語句： (1)不等式x2＋x＋1>0恒成立； (2)當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，x2＋x＋1也是有理數(shù)； (3)等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β對(duì)有些角α，β成立； (4)方程3x－2y＝10有整數(shù)解． 解：(1)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式x2＋x＋1>0成立． (2)對(duì)任意有理數(shù)x，x2＋x＋1是有理數(shù)． (3)存在角α，β，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (4)存在一對(duì)整數(shù)x，y，使3x－2y＝10成立． 含全稱量詞或存在量詞的命題的真假判斷 (1)下列命題中的假命題是(　　) A．?x∈R，lg x＝0 B．?x∈R，tan x＝1 C．?x∈R，x2>0 D．?x∈R，ex>0 (2)下列命題中的真命題是(　　) A．?φ∈R，函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函數(shù) B．?α，β∈R，使cos(α＋β)＝cos α＋cos β C．向量a＝(2,1)，b＝(－1,0)，則a在b方向上的投影為2 D．“|x|≤1”是“x≤1”的既不充分又不必要條件 [自主解答]　(1)對(duì)于A，x＝1時(shí)，lg x＝0； 對(duì)于B，x＝kπ＋(k∈Z)時(shí)，tan x＝1； 對(duì)于C，當(dāng)x＝0時(shí)，x2＝0，所以C中命題為假命題； 對(duì)于D，ex>0恒成立． (2)對(duì)于A，當(dāng)φ＝時(shí)，f(x)＝cos 2x，為偶函數(shù)，故A為假命題； 對(duì)于B，令α＝，β＝－，則cos(α＋β)＝cos＝，cos α＋cos β＝＋0＝，cos(α＋β)＝cos α＋cos β成立，故B為真命題； 對(duì)于C，向量a＝(2,1)，b＝(－1,0)，則a在b方向上的投影為＝＝－2，故C為假命題； 對(duì)于D，|x|≤1，即－1≤x≤1，故充分性成立，若x≤1，則|x|≤1不一定成立，所以“|x|≤1”為“x≤1”的充分不必要條件，故D為假命題． [答案]　(1)C　(2)B 全稱命題與特稱命題的真假判斷的技巧 (1)要判定一個(gè)全稱命題是真命題，必須對(duì)限定集合M中的每個(gè)元素x驗(yàn)證p(x)成立；但要判定全稱命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個(gè)x0，使得p(x0)不成立即可． (2)要判定一個(gè)特稱命題是真命題，只要在限定集合M中，能找到一個(gè)x0使p(x0)成立即可；否則，這個(gè)特稱命題就是假命題． 2．判斷下列命題是含全稱量詞還是存在量詞，并判斷其真假． (1)一次函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)； (2)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2＝0； (3)?x∈Z，log4x>0； (4)?x∈{x|x是無理數(shù)}，x4是無理數(shù)． 解：(1)命題中含有全稱量詞“都”，命題為真命題． (2)命題中含有存在量詞“至少有一個(gè)”，當(dāng)x＝0時(shí)，x2＝0，命題為真命題． (3)命題中含有存在量詞的符號(hào)“?”，當(dāng)x＝4時(shí)，log4x＝1>0，命題為真命題． (4)命題中含有全稱量詞的符號(hào)“?”，由于x＝時(shí)x4＝4是有理數(shù)．因此命題是假命題． 含有量詞的命題的否定 (1)設(shè)命題p：?n∈N，n2>2n，則綈p為(　　) A．?n∈N，n2>2n　　　　 B．?n∈N，n2≤2n C．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2＝2n (2)(2016·浙江高考)命題“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　　) A．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2 B．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2 C．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2 D．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2 [自主解答]　(1)因?yàn)椤?x∈M，p(x)”的否定是“?x∈M，綈p(x)”，所以命題“?n∈N，n2>2n”的否定是“?n∈N，n2≤2n”，故選C. (2)由于特稱命題的否定形式是全稱命題，全稱命題的否定形式是特稱命題，所以“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式為“?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2”． [答案]　(1)C　(2)D (1)“?x∈M，p(x)”的否定為“?x∈M，綈p(x)”． (2)有些命題省略了全稱量詞，在這種情況下，千萬不要將否定寫成“是”或“不是”． (3)命題“?x∈M，p(x)”的否定為“?x∈M，綈p(x)”． (4)只有“存在”一詞是量詞時(shí)，它的否定才是“任意”，當(dāng)“存在”一詞不是量詞時(shí)，它的否定是“不存在”．例如：三角形存在外接圓．這個(gè)命題中的量詞“所有的”被省略了，所以這個(gè)命題的否定是：有些三角形不存在外接圓． 3．寫出下列命題的否定并判斷其真假． (1)p：不論m取何實(shí)數(shù)，方程x2＋mx－1＝0必有實(shí)數(shù)根； (2)p：有些三角形的三條邊相等； (3)p：余弦值為負(fù)數(shù)的角是鈍角； (4)p：存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得3x<0. 解：(1)這一命題可表述為p：對(duì)任意的實(shí)數(shù)m，方程x2＋mx－1＝0必有實(shí)數(shù)根．其否定為：存在一個(gè)實(shí)數(shù)m，使方程x2＋mx－1＝0沒有實(shí)數(shù)根，因?yàn)樵摲匠痰呐袆e式Δ＝m2＋4>0恒成立，故為假命題． (2)由于存在量詞“有些……”的否定的表述為“所有……，”因此，原命題的否定為：“所有三角形的三條邊不全相等”，假命題． (3)原命題的否定為：“有的余弦值為負(fù)數(shù)的角不是鈍角”，真命題． (4)原命題的否定為“對(duì)于所有實(shí)數(shù)x，都滿足3x≥0”，真命題. 解題高手 妙解題 什么是智慧，智慧就是簡(jiǎn)單、高效、不走彎路 判斷下列命題的真假． (1)?x∈R，x2＋2x＋1>0； (2)?x∈R，|x|≤0； (3)?x∈N＋，log2x>0； (4)?x∈R，cos x＝. [巧思]　根據(jù)命題中所含量詞的含義，可舉特例判斷． [妙解]　(1)∵當(dāng)x＝－1時(shí)，x2＋2x＋1＝0， ∴原命題是假命題． (2)∵當(dāng)x＝0時(shí)，|x|≤0成立， ∴原命題是真命題． (3)∵當(dāng)x＝1時(shí)，log2x＝0， ∴原命題是假命題． (4)∵當(dāng)x∈R時(shí)，cos x∈[－1,1]， 而>1， ∴不存在x∈R， 使cos x＝. ∴原命題是假命題． 1．下列命題不是“?x∈R，x2＞3”的表述方法是(　　) A．有一個(gè)x∈R，使得x2＞3 B．對(duì)有些x∈R，使得x2＞3 C．任選一個(gè)x∈R，使得x2＞3 D．至少有一個(gè)x∈R，使得x2＞3 解析：選項(xiàng)C是全稱命題． 答案：C 2．下列命題中的假命題是(　　) A．?x∈R，lg x＝0　　　 B．?x∈R，cos x＝1 C．?x∈R，x3＞0 D．?x∈R,2x＞0 解析：選項(xiàng)A，lg x＝0?x＝1；選項(xiàng)B，cos x＝1?x＝2kπ(k∈Z)；選項(xiàng)C；x3＞0?x＞0；選項(xiàng)D,2x＞0?x∈R. 答案：C 3．設(shè)命題p：?n∈N，n2>2n，則綈p為(　　) A．?n∈N，n2>2n B．?n∈N，n2≤2n C．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2＝2n 解析：因?yàn)椤?x∈M，p(x)”的否定是“?x∈M，綈p(x)”，所以命題“?n∈N，n2>2n”的否定是“?n∈N，n2≤2n”，故選C. 答案：C 4．命題“至少有一個(gè)正實(shí)數(shù)x滿足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是________． 解析：把量詞“至少有一個(gè)”改為“所有”，“滿足”改為“都不滿足”得命題的否定． 答案：所有正實(shí)數(shù)x都不滿足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0 5．給出下列命題． ①?x∈R，x2＋2＞0； ②?x∈N，x4≥1； ③?x∈Z，x3＜1. 其中是真命題的是________(把所有真命題的序號(hào)都填上)． 解析：①由于?x∈R，都有x2≥0， 因而有x2＋2≥2＞0，即x2＋2＞0. 所以命題“?x∈R，x2＋2＞0”是真命題． ②由于0∈N，當(dāng)x＝0時(shí)，x4≥1不成立． 所以命題“?x∈N，x4≥1”是假命題． ③由于－1∈Z，當(dāng)x＝－1時(shí)，x3＜1成立． 所以命題“?x∈Z，x3＜1”是真命題． 答案：①③ 6．寫出下列命題的否定，并判斷真假． (1)非負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)． (2)有的四邊形沒有外接圓． 解：(1)命題的否定： “存在一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方不是正數(shù)．” 因?yàn)?2＝0，不是正數(shù)，所以該命題是真命題． (2)命題的否定： “所有四邊形都有外接圓．” 因?yàn)橹挥袑?duì)角互補(bǔ)的四邊形才有外接圓，所以原命題為真，所以命題的否定為假命題. 一、選擇題 1．命題“存在x∈R,2x≤0”的否定是(　　) A．不存在x∈R,2x>0　　 B．存在x∈R,2x≥0 C．對(duì)任意的x∈R,2x≤0 D．對(duì)任意的x∈R,2x>0 解析：由含有存在量詞的命題否定可知，命題“存在x∈R,2x≤0”的否定是“對(duì)任意的x∈R,2x>0”． 答案：D 2．命題“所有能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)”的否定是(　　) A．所有不能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù) B．所有能被2整除的整數(shù)都不是偶數(shù) C．存在一個(gè)不能被2整除的整數(shù)是偶數(shù) D．存在一個(gè)能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù) 解析：否定原命題結(jié)論的同時(shí)要把量詞做相應(yīng)改變，故選D. 答案：D 3．若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，1] C．(－1,1) D．(－1,1] 解析：當(dāng)a≤0時(shí)，顯然存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0； 當(dāng)a>0時(shí)，必需Δ＝4－4a2>0， 解得－1<a<1，故0<a<1. 綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，1)． 答案：A 4．下列四個(gè)命題： p1：?x∈(0，＋∞)，x<x； p2：?x∈(0,1)，logx> logx； p3：?x∈(0，＋∞)，x>logx； p4：?x∈，x<logx. 其中的真命題是(　　) A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4 解析：對(duì)于命題p1，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，總有x>x成立，所以p1是假命題，排除A、B，對(duì)于命題p3，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝x與函數(shù)y＝logx的圖象(圖略)，可知在(0，＋∞)上，函數(shù)y＝x的圖象并不是始終在函數(shù)y＝logx的圖象上方，所以p3是假命題，排除C. 答案：D 二、填空題 5．命題“有些負(fù)數(shù)滿足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“?”或“?”可表述為________________________________________________________________________．　　　 解析：命題“有些負(fù)數(shù)滿足不等式(1＋x)(1－9x)>0”為特稱命題，用“?”表示為：?x<0，使(1＋x)(1－9x)>0. 答案：?x<0，使(1＋x)(1－9x)>0 6．命題“零向量與任意向量共線”的否定為：________. 解析：命題“零向量與任意向量共線”即“任意向量與零向量共線”，其否定為“有的向量與零向量不共線”． 答案：有的向量與零向量不共線 7．下列命題是真命題的有________． (1)?x∈{1,3,5},5x＋2是奇數(shù)； (2)?x∈R，x2－6x－5＝0； (3)?x∈R，|x＋1|＞0. 解析：(1)∵5×1＋2＝7,5×3＋2＝17， 5×5＋2＝27，均為奇數(shù)，∴是真命題． (2)∵x2－6x－5＝0中，Δ＝36＋20＝56＞0， ∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，∴是真命題． (3)∵x＝－1時(shí)，|－1＋1|＝0，∴是假命題． 答案：(1)(2) 8．若命題“?x∈R，ax2－ax－2>0”是假命題，則a的取值范圍是________． 解析：“?x∈R，ax2－ax－2>0”是假命題，則“?x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命題， 當(dāng)a＝0時(shí)，－2≤0.符合題意． 當(dāng)a≠0時(shí)，要滿足?x∈R，ax2－ax－2≤0， 需有即解得－8≤a<0， 綜上，a的取值范圍是[－8,0]． 答案：[－8,0] 三、解答題 9．用“?”“?”寫出下列命題的否定，并判斷真假． (1)二次函數(shù)的圖象是拋物線； (2)直角坐標(biāo)系中，直線是一次函數(shù)的圖象； (3)有些四邊形存在外接圓； (4)?a，b∈R，方程ax＋b＝0無解． 解：(1)?f(x)∈{二次函數(shù)}，f(x)的圖象不是拋物線．它是假命題． (2)在直角坐標(biāo)系中，?l∈{直線}，l不是一次函數(shù)的圖象．它是真命題． (3)?x∈{四邊形}，x不存在外接圓．它是假命題． (4)?a，b∈R，方程ax＋b＝0至少有一解．它是假命題． 10．已知命題p：“存在a>0，使函數(shù)f(x)＝ax2－4x在(－∞，2]上單調(diào)遞減”，命題q：“存在a∈R，使?x∈R,16x2－16(a－1)x＋1≠0”．若命題“p∧q”為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解：若p為真，則對(duì)稱軸x＝－＝在區(qū)間(－∞，2]的右側(cè)，即≥2，∴0<a≤1. 若q為真，則方程16x2－16(a－1)x＋1＝0無實(shí)數(shù)根． ∴Δ＝[16(a－1)]2－4×16<0，∴<a<. ∵命題“p∧q”為真命題，∴命題p，q都為真， ∴∴<a≤1. 故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.