2020版高考數(shù)學大二輪復習 7.3 算法初步、復數(shù)、推理與證明學案 文

第3講　算法初步、復數(shù)、推理與證明 考點1　復數(shù) 1．復數(shù)的除法 復數(shù)的除法一般是將分母實數(shù)化，即分子、分母同乘以分母的共軛復數(shù)再進一步化簡． 2．復數(shù)運算中常見的結(jié)論 (1)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i； (2)－b＋ai＝i(a＋bi)； (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i； (4)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0. [例1]　(1)[2019·全國卷Ⅱ]設z＝－3＋2i，則在復平面內(nèi)對應的點位于(　　) A．第一象限　B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)[2019·全國卷Ⅰ]設復數(shù)z滿足|z－i|＝1，z在復平面內(nèi)對應的點為(x，y)，則(　　) A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1 C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1 【解析】　(1)本題主要考查共軛復數(shù)及復數(shù)的幾何意義，意在考查考生的運算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學運算． 由題意，得＝－3－2i，其在復平面內(nèi)對應的點為(－3，－2)，位于第三象限，故選C. (2)本題主要考查復數(shù)的模的概念和復數(shù)的幾何意義，考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化能力、數(shù)形結(jié)合能力、運算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學運算． 通解　∵z在復平面內(nèi)對應的點為(x，y)，∴z＝x＋yi(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故選C. 優(yōu)解一　∵|z－i|＝1表示復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點(x，y)到點(0,1)的距離為1，∴x2＋(y－1)2＝1.故選C. 優(yōu)解二　在復平面內(nèi)，點(1,1)所對應的復數(shù)z＝1＋i滿足 |z－i|＝1，但點(1,1)不在選項A，D的圓上，∴排除A，D；在復平面內(nèi)，點(0,2)所對應的復數(shù)z＝2i滿足|z－i|＝1，但點(0,2)不在選項B的圓上，∴排除B.故選C. 【答案】　(1)C　(2)C 復數(shù)運算問題的解題思路 　 (1)與復數(shù)的相關(guān)概念和復數(shù)的幾何意義有關(guān)的問題，一般是先變形分離出實部和虛部，把復數(shù)的非代數(shù)形式化為代數(shù)形式，然后再根據(jù)條件，列方程(組)求解． (2)與復數(shù)z的模|z| 和共軛復數(shù)有關(guān)的問題，一般都要先設出復數(shù)z的代數(shù)形式z＝a＋bi(a，b∈R)，代入條件，用待定系數(shù)法解決. 『對接訓練』 1．[2019·河南鄭州一測]若復數(shù)z滿足(3＋4i)z＝25i，其中i為虛數(shù)單位，則z的虛部是(　　) A．3i B．－3i C．3 D．－3 解析：設z＝a＋bi(a，b∈R)，則(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝3a－4b＋(3b＋4a)i，由復數(shù)相等的充要條件得到3a－4b＝0,3b＋4a＝25，解得b＝3，故選C. 答案：C 2．[2019·吉林長春外國語學校測評]設i為虛數(shù)單位，若復數(shù)z滿足z＝，則z＝(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 解析：由題意，得z＝＝＝＝－1－i. 答案：D 考點2　程序框圖 算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)需注意： 循環(huán)結(jié)構(gòu)分為當型和直到型兩種，當型循環(huán)在每次執(zhí)行循環(huán)體前對控制循環(huán)的條件進行判斷，當條件滿足時執(zhí)行循環(huán)體，不滿足時則停止；直到型循環(huán)在執(zhí)行了一次循環(huán)體后，對控制循環(huán)的條件進行判斷，當條件不滿足時執(zhí)行循 環(huán)體，滿足則停止．兩種循環(huán)只是實現(xiàn)循環(huán)的不同方法，它們是可以相互轉(zhuǎn)化的． [例2]　(1)[2019·全國卷Ⅰ]如圖是求的程序框圖，圖中空白框中應填入(　　) A．A＝　　B．A＝2＋ C．A＝ D．A＝1＋ (2)[2019·全國卷Ⅲ]執(zhí)行下邊的程序框圖，如果輸入的ε為0.01，則輸出s的值等于(　　) A．2－ B．2－ C．2－ D．2－ 【解析】　(1)本題主要考查含有當型循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，考查考生的推理論證能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理． A＝，k＝1,1≤2成立，執(zhí)行循環(huán)體；A＝，k＝2,2≤2成立，執(zhí)行循環(huán)體；A＝，k＝3,3≤2不成立，結(jié)束循環(huán)，輸出A.故空白框中應填入A＝.故選A. (2)本題主要考查程序框圖，考查考生的邏輯推理能力、運算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學運算． 執(zhí)行程序框圖，x＝1，s＝0，s＝0＋1＝1，x＝，不滿足x<ε＝， 所以s＝1＋＝2－，x＝，不滿足x<ε＝， 所以s＝1＋＋＝2－，x＝，不滿足x<ε＝， 所以s＝1＋＋＋＝2－，x＝，不滿足x<ε＝， 所以s＝1＋＋＋＋＝2－，x＝，不滿足x<ε＝，所以s＝1＋＋＋＋＋＝2－，x＝，不滿足x<ε＝，所以s＝1＋＋＋＋…＋＝2－，x＝，滿足x<ε＝，輸出s＝2－，選C. 【答案】　(1)A　(2)C (1)求輸出結(jié)果的題目，要認清輸出變量是什么，有的是求函數(shù)值，有的是求和、差、積、商的運算結(jié)果，有的是計數(shù)變量等． (2)求循環(huán)條件 首先看懂每個圖形符號的意義和作用，其次“試走幾步”循環(huán)體，體會循環(huán)體的內(nèi)容和功能，最后利用判斷框中的條件確定循環(huán)的次數(shù). 『對接訓練』 3．[2019·北京卷]執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：本題主要考查程序框圖，考查考生的運算求解能力以及分析問題、解決問題的能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學運算和邏輯推理． 執(zhí)行程序框圖，k＝1，s＝＝2；k＝2，s＝＝2；k＝3，s＝＝2，跳出循環(huán)．輸出的s＝2.故選B. 答案：B 4．[2019·河北唐山摸底]如圖所示的程序框圖的功能是(　　) A．求1－＋－＋…－的值 B．求1＋＋＋＋…＋的值 C．求1＋＋＋＋…＋的值 D．求1－＋－＋…＋的值 解析：輸入a＝1，n＝1，S＝0；S＝1，a＝－1，n＝3；S＝1－，a＝1，n＝5；S＝1－＋，a＝－1，n＝7；S＝1－＋－，a＝1，n＝9；…；S＝1－＋－＋…－，a＝1，n＝21,21>19，退出循環(huán)．輸出S＝1－＋－＋…－，故選A. 答案：A 考點3　推理與證明 歸納推理是從特殊到一般的推理，所以應根據(jù)題中所給的圖形、數(shù)據(jù)、結(jié)構(gòu)等著手分析，盡可能多地列舉出來，從而找出一般性的規(guī)律或結(jié)論． 演繹推理是從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論．對于較復雜一點的證明題常常要用幾個三段論才能完成． [例3]　(1)[2019·陜西西安中學模擬]由①安夢怡是高三(21)班學生；②安夢怡是獨生子女；③高三(21)班的學生都是獨生子女．寫一個“三段論”形式的推理，則大前提、小前提和結(jié)論分別為(　　) A．②①③ B．③①② C．①②③ D．②③① (2)[2019·湖南岳陽一中質(zhì)檢]觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導函數(shù)，則g(－x)＝(　　) A．－g(x) B．f(x) C．－f(x) D．g(x) 【解析】　(1)因為高三(21)班的學生都是獨生子女，而安夢怡是高三(21)班學生，所以安夢怡是獨生子女．故選B. (2)在(x2)′＝2x中，原函數(shù)為偶函數(shù)，導函數(shù)為奇函數(shù)；(x4)′＝4x3中，原函數(shù)為偶函數(shù)，導函數(shù)為奇函數(shù)；(cos x)′＝－sin x中，原函數(shù)為偶函數(shù)，導函數(shù)為奇函數(shù)．由此我們可以推斷，偶函數(shù)的導函數(shù)為奇函數(shù)．若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，則函數(shù)f(x)為偶函 數(shù)，又g(x)為f(x)的導函數(shù)，所以g(x)為奇函數(shù)，故g(－x)＋g(x)＝0，即g(－x)＝－g(x)，故選A. 【答案】　(1)B　(2)A 合情推理的解題思路 (1)在進行歸納推理時，要先根據(jù)已知的部分個體，把它們適當變形，找出它們之間的聯(lián)系，從而歸納出一般結(jié)論． (2)在進行類比推理時，要充分考慮已知對象性質(zhì)的推理過程，然后通過類比，推導出類比對象的性質(zhì)． (3)歸納推理的關(guān)鍵是找規(guī)律，類比推理的關(guān)鍵是看共性. 『對接訓練』 5．[2019·黑龍江齊齊哈爾五校聯(lián)考]不難證明：一個邊長為a，面積為S的正三角形的內(nèi)切圓半徑r＝，由此類比到空間，若一個正四面體的一個面的面積為S，體積為V，則其內(nèi)切球的半徑為________． 解析：由題意得3·＝S，故r＝.將此方法類比到正四面體，設正四面體內(nèi)切球的半徑為R，則4·＝V，所以R＝，即內(nèi)切球的半徑為. 答案： 課時作業(yè)18　算法初步、復數(shù)、推理與證明 1．[2019·陜西四校聯(lián)考](－1＋3i)(3－i)＝(　　) A．10　 B．－10 C．10i D．－10i 解析：(－1＋3i)(3－i)＝－3＋i＋9i＋3＝10i.故選C. 答案：C 2．[2019·貴州37校聯(lián)考]復數(shù)z＝的共軛復數(shù)是(　　) A．1＋i B．1－i C．i D．－i 解析：因為z＝＝i，故z的共軛復數(shù)＝－i，故選D. 答案：D 3．[2019·廣東江門調(diào)研]執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若判斷框內(nèi)為“i≤3”，則輸出S＝(　　) A．2 B．6 C．10 D．34 解析：因為“i≤3”，所以執(zhí)行程序框圖，第一次執(zhí)行循環(huán)體后，j＝2，S＝2，i＝2≤3；第二次執(zhí)行循環(huán)體后，j＝4，S＝10，i＝3≤3；第三次執(zhí)行循環(huán)體后，j＝8，S＝34，i＝4>3，退出循環(huán)．所以輸出S＝34.故選D. 答案：D 4．[2019·四川成都高新區(qū)模擬]執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出K的值為(　　) A．99 B．98 C．100 D．101 解析：執(zhí)行程序框圖，得K＝1，S＝0；S＝0＋lg＝lg 2，K＝2；S＝lg 2＋lg＝lg 3，K＝3；S＝lg 3＋lg＝lg 4，K＝4；S＝lg 4＋lg＝lg 5，K＝5；…；S＝lg 98＋lg＝lg 99，K＝99；S＝lg 99＋lg ＝lg 100＝2，退出循環(huán)．所以輸出K＝99，故選A. 答案：A 5．[2019·湖北孝感協(xié)作體聯(lián)考]設a，b∈R，現(xiàn)給出下列五個條件：①a＋b＝2；②a＋b>2；③a＋b>－2；④ab>1；⑤logab<0(a>0，且a≠1)．其中能推出“a，b中至少有一個大于1”的條件為(　　) A．②③④ B．②③④⑤ C．①②③⑤ D．②⑤ 解析：a＝b＝1時，a＋b＝2，所以推不出a，b中至少有一個大于1，①不符合；當a＝b＝0時，a＋b>－2，推不出a，b中至少有一個大于1，③不符合；當a＝b＝－2時，ab>1，推不出a，b中至少有一個大于1，④不符合；對于②，假設a，b都不大于1，即a≤1，b≤1，則a＋b≤2，與a＋b>2矛盾，所以②能推出a，b中至少有一個大于1；對于⑤，假設a，b都不大于1，則logab≥loga1＝0，與logab<0矛盾，故⑤能推出a，b中至少有一個大于1.綜上，選D. 答案：D 6．[2019·湖南株洲質(zhì)檢]已知復數(shù)z滿足(1－i)z＝|2i|，i為虛數(shù)單位，則z等于(　　) A．1－i B．1＋i C.－i D.＋i 解析：由(1－i)z＝|2i|，可得z＝＝＝1＋i，故選B. 答案：B 7．[2019·重慶調(diào)研]執(zhí)行如圖所示的程序框圖，當輸出的值為1時，輸入的x值是(　　) A．±1 B．1或 C．－或1 D．－1或 解析：因為輸出的值為1，所以根據(jù)程序框圖可知或得x＝1或x＝－，故選C. 答案：C 8．[2019·陜西第二次質(zhì)檢]一布袋中裝有n個小球，甲、乙兩個同學輪流抓球，且不放回，每次最少抓一個球，最多抓三個球．規(guī)定：由乙先抓，且誰抓到最后一個球誰贏，那么以下推斷中正確的是(　　) A．若n＝9，則乙有必贏的策略 B．若n＝7，則甲有必贏的策略 C．若n＝6，則甲有必贏的策略 D．若n＝4，則乙有必贏的策略 解析：若n＝9，則乙有必贏的策略．(1)若乙抓1個球，甲抓1個球時，乙再抓3個球，此時剩余4個球，無論甲抓1～3的哪種情況，乙都能保證抓最后一個球；(2)若乙抓1個球，甲抓2個球時，乙再抓2個球，此時剩余4個球，無論甲抓1～3的哪種情況，乙都能保證抓最后一個球；(3)若乙抓1個球，甲抓3個球時，乙再抓1個球，此時剩余4個球，無論甲抓1～3的哪種情況，乙都能保證抓最后一個球．所以若n＝9，則乙有必贏的策略，故選A. 答案：A 9．[2019·浙江金麗衢十二校聯(lián)考]復數(shù)z1＝2－i，z2＝3＋i，則|z1·z2|＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．5 解析：解法一　因為z1·z2＝(2－i)(3＋i)＝7－i，所以|z1·z2|＝＝5，故選D. 解法二　因為|z1|＝|2－i|＝，|z2|＝|3＋i|＝，所以|z1·z2|＝|z1|·|z2|＝×＝5，故選D. 答案：D 10．[2019·河南洛陽質(zhì)檢]執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的S＝，則判斷框內(nèi)填入的條件不可以是(　　) A．k≤7 B．k<7 C．k≤8 D．k<8 解析：模擬執(zhí)行程序框圖，可得S＝0，k＝0；k＝2，S＝；k＝4，S＝＋；k＝6，S＝＋＋；k＝8，S＝＋＋＋＝.由題意，此時應不滿足條件，退出循環(huán)，輸出S的值為.結(jié)合選項可得判斷框內(nèi)填入的條件不可以是“k≤8”．故選C. 答案：C 11．[2019·重慶云陽聯(lián)考]甲、乙兩人均知道丙從集合A＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,3)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}中取出了一個數(shù)對，設其為P點坐標，丙告訴了甲P點的橫坐標，告訴了乙P點的縱坐標，然后甲先說：“我無法確定點P的坐標”，乙聽后接著說：“我本來也無法確定點P的坐標，但我現(xiàn)在可以確定了”，那么，點P的坐標為(　　) A．(3,4) B．(3,5) C．(5,2) D．(5,5) 解析：∵橫坐標為1或2或4的點唯一，甲知道橫坐標但不能確定點P，∴橫坐標不是1或2或4.乙得知甲不能確定點P，乙可確定點P橫坐標不是1或2或4，若乙知道點P縱坐標為3或4或5，則它們分別對應兩個坐標，無法確定P點坐標，只有乙知道P點縱坐標為2時，才能確定P點坐標為(5,2)，故選C. 答案：C 12．[2019·東北三省四校一模]執(zhí)行兩次如圖所示的程序框圖，若第一次輸入的x的值為4，第二次輸入的x的值為5，記第一次輸出的a的值為a1，第二次輸出的a的值為a2，則a1－a2＝(　　) A．2 B．1 C．0 D．－1 解析：當輸入x的值為4時，不滿足b2>x，但是滿足x能被b整除，輸出a＝0＝a1；當輸入x的值為5時，不滿足b2>x，也不滿足x能被b整除，故b＝3；滿足b2>x，故輸出a＝1＝a2.則a1－a2＝－1，故選D. 答案：D 13．[2019·廣西南寧摸底]用反證法證明命題“a，b∈N，ab可被11整除，那么a，b中至少有一個能被11整除．”那么反設的內(nèi)容是________． 解析：用反證法證明命題“a，b∈N，ab可被11整除，那么a，b中至少有一個能被11 整除．”反設的內(nèi)容應為a，b都不能被11整除． 答案：a，b都不能被11整除 14．[2019·江蘇卷]如圖是一個算法流程圖，則輸出的S的值是________． 解析：本題主要考查算法流程圖，考查考生的讀圖能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學運算． 執(zhí)行算法流程圖，x＝1，S＝，不滿足條件；x＝2，S＝，不滿足條件；x＝3，S＝3，不滿足條件；x＝4，S＝5，滿足條件，結(jié)束循環(huán)，故輸出的S的值是5. 答案：5 15．[2019·北京朝陽區(qū)模擬]觀察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，則52 011的末四位數(shù)字為________． 解析：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625,59＝1 953 125,510＝9 765 625,511＝48 828 125，…，可以看出這些冪值的末四位數(shù)字是以4為周期變化的．∵2 011÷4＝502……3，∴52 011的末四位數(shù)字與57的末四位數(shù)字相同，是8 125，故答案為8 125. 答案：8 125 16．[2019·河北衡水武邑中學一模]南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中，用圖①的數(shù)表列出了一些正整數(shù)在三角形中的一種幾何排列，俗稱“楊輝三角形”．該數(shù)表的規(guī)律是每行首尾數(shù)字均為一，從第三行開始，其余的數(shù)字是它“上方”左、右兩個數(shù)字之和．現(xiàn)將楊輝三角形中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，得到圖②所示的由數(shù)字0和1組成的三角形數(shù)表，由上往下數(shù)，記第n行各數(shù)字的和為Sn，如S1＝1，S2＝2，S3＝2，S4＝4，…，則S16＝________. 解析：將楊輝三角形中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，可得第1個全行(第1行除外)的數(shù)都為1的是第2行，第2個全行的數(shù)都為1的是第4行，第3個全行的數(shù)都為1的是第8行……由此可知全是奇數(shù)的行出現(xiàn)在行數(shù)為2n時，故第n個全行的數(shù)都為1的是第2n行，24＝16，則第16行全部為1，則S16＝16. 答案：16 - 13 -