（通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式學(xué)案 理

第七章 不 等 式 第一節(jié) 不等式的性質(zhì)及一元二次不等式 本節(jié)主要包括2個知識點：　1.不等式的性質(zhì)；　2.一元二次不等式. 突破點(一)　不等式的性質(zhì)　 1．比較兩個實數(shù)大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 2．不等式的基本性質(zhì) 性質(zhì) 性質(zhì)內(nèi)容 特別提醒 對稱性 a>b?b<a ? 傳遞性 a>b，b>c?a>c ? 可加性 a>b?a＋c>b＋c ? 可乘性 ?ac>bc 注意c的符號 ?ac<bc 同向可加性 ?a＋c>b＋d ? 同向同正可乘性 ?ac>bd>0 ? 可乘方性 a>b>0?an>bn(n∈N，n≥1) a，b同為正數(shù) 可開方性 a>b>0?>(n∈N，n≥2) 3.不等式的一些常用性質(zhì) (1)倒數(shù)的性質(zhì) ①a>b，ab>0?<.②a<0<b?<.③a>b>0,0<c<d?>.④0<a<x<b或a<x<b<0?<<. (2)有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì) 若a>b>0，m>0，則：①<；>(b－m>0)．②>；<(b－m>0)． 1．判斷題 (1)a>b>0，c>d>0?>.(　　) (2)若>，則a>b.(　　) (3)若a>b，c>d，則ac>bd.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．填空題 (1)若ab>0，且a>b，則與的大小關(guān)系是________． 答案：< (2)a，b∈R，a＜b和＜同時成立的條件是________． 解析：若ab＜0，由a＜b兩邊同除以ab得，＞，即＜；若ab＞0，則＞.∴a＜b和＜同時成立的條件是a＜0＜b. 答案：a＜0＜b (3)已知a＋b>0，則＋與＋的大小關(guān)系是________________． 解析：＋－＝＋＝(a－b)·＝.∵a＋b>0，(a－b)2≥0，∴≥0.∴＋≥＋. 答案：＋≥＋ (4)設(shè)M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，則M與N的大小關(guān)系為M________N. 答案：> 比較大小 [例1]　(1)已知x∈R，m＝(x＋1)，n＝(x2＋x＋1)，則m，n的大小關(guān)系為(　　) A．m≥n B．m＞n C．m≤n D．m＜n (2)若a＝，b＝，則a____b(填“＞”或“＜”)． (3)已知等比數(shù)列{an}中，a1＞0，q＞0，前n項和為Sn，則與的大小關(guān)系為________． [解析]　(1)m＝x3＋＋＋1， n＝x3＋＋＋， m－n＝>0，故m>n. (2)易知a，b都是正數(shù)，＝＝log89＞1，所以b＞a. (3)當(dāng)q＝1時，＝3，＝5，所以＜. 當(dāng)q＞0且q≠1時， －＝－ ＝＝＜0， 所以＜. 綜上可知＜. [答案]　(1)B　(2)＜　(3)＜ [方法技巧]　　　　比較大小的常用方法 差值比較 商值比較 原理 設(shè)a，b∈R，則 a>b?a－b>0， a＝b?a－b＝0， a<b?a－b<0 設(shè)a>0，b>0，則 >1?a>b， ＝1?a＝b， <1?a<b 步驟 ①作差并變形；②判斷差的符號；③下結(jié)論 ①作商并變形；②判斷商與1的大??；③下結(jié)論 注意 事項 只要判斷差的符號(正負(fù)號)，至于差的值究竟是什么無關(guān)緊要，通常將差化為完全平方式的形式或者多個因式積的形式 作商時結(jié)果與“1”比較大小，注意分母的正負(fù)，如果a，b均小于0，所得結(jié)論與“商值比較原理”中的結(jié)論相反 解題 關(guān)鍵 利用通分、因式分解、配方等變形，變形是為了更有利于判斷符號 利用分母(或分子)有理化、指數(shù)恒等變換、對數(shù)恒等變換等變形 不等式的性質(zhì) [例2]　(1)(2018·河南六市模擬)若<<0，則下列結(jié)論不正確的是(　　) A．a(chǎn)2<b2 B．a(chǎn)b<b2 C．a(chǎn)＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b| (2)(2018·泰安調(diào)研)設(shè)a，b∈R，若p：a<b，q：<<0，則p是q的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 (3)(2018·山東煙臺期中)下列四個命題中，為真命題的是(　　) A．若a>b，則ac2>bc2 B．若a>b，c>d，則a－c>b－d C．若a>|b|，則a2>b2 D．若a>b，則< [解析]　(1)∵<<0，∴b<a<0，∴b2>a2，ab<b2，a＋b<0，∴A，B，C均正確．∵b<a<0，∴|a|＋|b|＝|a＋b|，故D錯誤． (2)當(dāng)a<b時，<<0不一定成立；當(dāng)<<0時，a<b<0.綜上可得，p是q的必要不充分條件，故選B. (3)當(dāng)c＝0時，A不成立；2>1,3>－1，而2－3<1－(－1)，故B不成立；a＝2，b＝－1時，D不成立；由a>|b|知a>0，所以a2>b2，故選C. [答案]　(1)D　(2)B　(3)C [方法技巧] 不等式性質(zhì)應(yīng)用問題的常見類型及解題策略 (1)利用不等式性質(zhì)比較大?。煊洸坏仁叫再|(zhì)的條件和結(jié)論是基礎(chǔ)，靈活運(yùn)用是關(guān)鍵，要注意不等式性質(zhì)成立的前提條件． (2)與充要條件相結(jié)合的問題．用不等式的性質(zhì)分別判斷p?q和q?p是否正確，要注意特殊值法的應(yīng)用． (3)與命題真假判斷相結(jié)合的問題．解決此類問題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗證的方法．　　 1.設(shè)a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，則A，B的大小關(guān)系是(　　) A．A≤B B．A≥B C．A＜B D．A＞B 解析：選B　由題意得，A2－B2＝2≥0，且A≥0，B≥0，可得A≥B. 2.(2018·安徽淮北一中模擬)若a<b<0，給出下列不等式： ①a2＋1>b2；②|1－a|>|b－1|；③>>. 其中正確的個數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：選D　由于a<b<0，所以|a|>|b|>0，a2>b2，故a2＋1>b2，①正確；－a>－b>0，－a＋1>－b＋1>1，故|1－a|>|b－1|，②正確；a＋b<a<b<0，所以>>，③正確．故3個不等式均正確． 3.若x>y>1,0<a<b<1，則下列各式中一定成立的是(　　) A．xa>yb B．xa<yb C．a(chǎn)x<by D．a(chǎn)x>by 解析：選C　易知函數(shù)y＝ax(0<a<1)在R上單調(diào)遞減，因為x>y>1,0<a<b<1，所以ax<ay<by.故選C. 4.(2018·河南三市調(diào)研)若x，y∈R，則x>y的一個充分不必要條件是(　　) A．|x|>|y| B．x2>y2 C.> D．x3>y3 解析：選C　由|x|>|y|，x2>y2未必能推出x>y，排除A，B；由>可推出x>y，反之，未必成立，而x3>y3是x>y的充要條件，故選C. 突破點(二)　一元二次不等式　 1．三個“二次”之間的關(guān)系 判別式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有兩個相異實根x1，x2(x1＜x2) 有兩個相等實根x1＝x2＝－ 沒有實數(shù)根 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R 一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ? ? 2.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的條件 (1)不等式ax2＋bx＋c>0對任意實數(shù)x恒成立?或 (2)不等式ax2＋bx＋c<0對任意實數(shù)x恒成立?或 1．判斷題 (1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集為(x1，x2)，則必有a>0.(　　) (2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)沒有實數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c>0的解集為空集．(　　) (3)若不等式ax2＋bx＋c≥0對x∈R恒成立，則其判別式Δ≤0.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．填空題 (1)不等式－x2＋2x－3＞0的解集為________． 答案：? (2)不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，則a＋b的值是________． 解析：由題意知－，是ax2＋bx＋2＝0的兩根， 所以解得a＝－12，b＝－2.所以a＋b＝－14. 答案：－14 (3)若不等式mx2＋2mx＋1>0的解集為R，則m的取值范圍是________． 解析：①當(dāng)m＝0時，1>0顯然成立． ②當(dāng)m≠0時，由條件知得0<m<1. 由①②知0≤m<1. 答案：[0,1) 一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的方法和步驟 [例1]　(1)(2018·石家莊一模)不等式2x2－x－3>0的解集是(　　) A. B．(－∞，－1)∪ C. D.∪(1，＋∞) (2)(2018·江西八校聯(lián)考)已知定義域為R的函數(shù)f(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞減，且y＝f(x＋2)為偶函數(shù)，則關(guān)于x的不等式f(2x－1)－f(x＋1)>0的解集為(　　) A.∪(2，＋∞) B. C.∪(2，＋∞) D. (3)(2018·青島模擬)求不等式12x2－ax>a2(a∈R)的解集． [解析]　(1)2x2－x－3>0可因式分解為(x＋1)(2x－3)>0，解得x>或x<－1， ∴不等式2x2－x－3>0的解集是(－∞，－1)∪.故選B. (2)∵y＝f(x＋2)為偶函數(shù)，∴y＝f(x)的圖象關(guān)于x＝2對稱．又∵f(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞減，∴由f(2x－1)－f(x＋1)>0得f(2x－1)>f(x＋1)，∴|2x－1－2|<|x＋1－2|，∴(2x－3)2<(x－1)2，即3x2－10x＋8<0，(x－2)(3x－4)<0，解得<x<2，故選D. (3)原不等式可化為12x2－ax－a2>0， 即(4x＋a)(3x－a)>0， 令(4x＋a)(3x－a)＝0， 解得x1＝－，x2＝. 當(dāng)a>0時，不等式的解集為∪； 當(dāng)a＝0時，不等式的解集為(－∞，0)∪(0，＋∞)； 當(dāng)a<0時，不等式的解集為∪. [答案]　(1)B　(2)D [方法技巧] 解含參數(shù)的一元二次不等式時分類討論的依據(jù) (1)二次項中若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項系數(shù)為正的形式． (2)當(dāng)不等式對應(yīng)方程的實根的個數(shù)不確定時，討論判別式Δ與0的關(guān)系． (3)確定無實根時可直接寫出解集，確定方程有兩個實根時，要討論兩實根的大小關(guān)系，從而確定解集形式．　　 由一元二次不等式恒成立求參數(shù)范圍 考法(一)　在實數(shù)集R上恒成立 [例2]　(1)(2018·山西平遙中學(xué)月考)若不等式－x2＋2ax<3x＋a2恒成立，則a的取值范圍為(　　) A．(0,1) B． C. D． (2)(2018·湖南湘潭一中模擬)若不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(1，＋∞) B．(－∞，－1) C. D．∪(1，＋∞) [解析]　(1)由題意得－x2＋2ax<3x＋a2恒成立，即x2＋(3－2a)x＋a2>0恒成立．所以Δ＝(3－2a)2－4a2<0，解得a>，故選B. (2)分情況討論，①當(dāng)m＝－1時，不等式化為2x－6<0，即x<3，顯然不對任意實數(shù)x恒成立．②當(dāng)m≠－1時，由題意得所以m<－.故選C. [答案]　(1)B　(2)C 考法(二)　在某區(qū)間上恒成立 [例3]　(2018·湖北沙市中學(xué)月考)已知函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1.若對于任意的x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A. B．(－∞，1) C．(1,5) D．(1，＋∞) [解析]　因為f(x)<－m＋5?m(x2－x＋1)<6，而x2－x＋1>0，所以將不等式變形為m<，即不等式m<對于任意x∈[1,3]恒成立，所以只需求在[1,3]上的最小值即可．記g(x)＝，x∈[1,3]，記h(x)＝x2－x＋1＝2＋，顯然h(x)在x∈[1,3]上為增函數(shù)．所以g(x)在[1,3]上為減函數(shù)，所以g(x)min＝g(3)＝，所以m<.故選A. [答案]　A [方法技巧] 解決一元二次不等式在某區(qū)間恒成立問題常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題或用分離參數(shù)法求最值問題．　　 考法(三)　在參數(shù)的區(qū)間上恒成立時求變量范圍 [例4]　對任意m∈[－1,1]，函數(shù)f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范圍． [解]　由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m ＝(x－2)m＋x2－4x＋4， 令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4. 由題意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零， ∴ 解得x<1或x>3. 故當(dāng)x∈(－∞，1)∪(3，＋∞)時，對任意的m∈[－1,1]，函數(shù)f(x)的值恒大于零． [方法技巧] 解決恒成立問題一定要清楚選誰為主元，誰是參數(shù)．一般地，知道誰的范圍，就選誰當(dāng)主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù)．即把變元與參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列式求解．　 1.(2018·山東日照聯(lián)考)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集為(α，β)(α>0)，則不等式cx2＋bx＋a>0的解集為(　　) A. B． C. D． 解析：選C　因為不等式ax2＋bx＋c>0的解集為(α，β)，所以a<0且α＋β＝－，αβ＝.所以不等式cx2＋bx＋a>0可化為αβx2－(α＋β)x＋1<0，所以(αx－1)(βx－1)<0，即<0，所以不等式的解集是，故選C.h 2.(2018·汕頭一模)已知關(guān)于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0對任意的x∈R恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是(　　) A．[0,1] B．(0,1] C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞) 解析：選A　當(dāng)k＝0時，不等式kx2－6kx＋k＋8≥0化為8≥0，其對任意的x∈R恒成立；當(dāng)k<0時，不等式kx2－6kx＋k＋8≥0不能恒成立；當(dāng)k>0時，要使不等式kx2－6kx＋k＋8≥0對任意的x∈R恒成立，對于方程kx2－6kx＋k＋8＝0，需Δ＝36k2－4(k2＋8k)≤0，得0<k≤1.綜上，實數(shù)k的取值范圍是[0,1]，故選A. 3.(2018·吉林省實驗中學(xué)月考)不等式≤x－2的解集是(　　) A．(－∞，0]∪(2,4] B．[0,2)∪[4，＋∞) C．[2,4) D．(－∞，2)∪(4，＋∞) 解析：選B　將原不等式移項通分得≤0，于是原不等式等價于或解得x≥4或0≤x<2.故選B. 4.若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，則a的取值范圍是(　　) A．[－4,1] B．[－4,3] C．[1,3] D．[－1,3] 解析：選B　原不等式為(x－a)(x－1)≤0，當(dāng)a<1時，不等式的解集為[a,1]，此時只要a≥－4即可，即－4≤a<1；當(dāng)a＝1時，不等式的解為x＝1，此時符合要求；當(dāng)a>1時，不等式的解集為[1，a]，此時只要a≤3即可，即1<a≤3.綜上可得－4≤a≤3. 5.要使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a>0，|a|≤1恒成立，則x的取值范圍為________． 解析：將原不等式整理為形式上是關(guān)于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9>0.令f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9.因為f(a)>0在|a|≤1時恒成立，所以①若x＝3，則f(a)＝0，不符合題意，應(yīng)舍去．②若x≠3，則由一次函數(shù)的單調(diào)性，可得即解得x<2或x>4. 答案：(－∞，2)∪(4，＋∞) [全國卷5年真題集中演練——明規(guī)律] 1．(2014·全國卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，則A∩B＝(　　) A．[－2，－1] B．[－1,2) C．[－1,1] D．[1,2) 解析：選A　A＝{x|x≤－1或x≥3}，故A∩B＝[－2，－1]，故選A. 2．(2014·全國卷Ⅱ)設(shè)集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，則M∩N＝(　　) A．{1} B．{2} C．{0,1} D．{1,2} 解析：選D　N＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，又M＝{0,1,2}，所以M∩N＝{1,2}． 3．(2013·全國卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－＜x＜}，則(　　) A．A∩B＝? B．A∪B＝R C．B?A D．A?B 解析：選B　集合A＝{x|x＞2或x＜0}，所以A∪B＝{x|x＞2或x＜0}∪{x|－＜x＜}＝R，故選B. [課時達(dá)標(biāo)檢測] [小題對點練——點點落實] 對點練(一)　不等式的性質(zhì) 1．(2018·安徽合肥質(zhì)檢)下列三個不等式：①x＋≥2(x≠0)；②<(a>b>c>0)；③>(a，b，m>0且a<b)，恒成立的個數(shù)為(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：選B　當(dāng)x<0時，①不成立；由a>b>c>0得<，所以<成立，所以②恒成立；－＝，由a，b，m>0且a<b知－>0恒成立，故③恒成立，所以選B. 2．若a>b>0，c<d<0，則一定有(　　) A．a(chǎn)c>bd B．a(chǎn)c<bd C．a(chǎn)d<bc D．a(chǎn)d>bc 解析：選B　根據(jù)c<d<0，有－c>－d>0，由于a>b>0，故－ac>－bd，ac<bd，故選B. 3．已知實數(shù)a，b滿足關(guān)系a2＝b2－b＋1，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．若a<1，b<，則a>b B．若a<1，b<，則a<b C．若a>1，b>，則a>b D．若a>1，b>，則a<b 解析：選D　由題意知，a2＝b2－b＋1＝2＋，對于A，取a＝－1，b＝0，a>b不成立；對于B，取a＝，b＝，a<b不成立；對于C，取a＝，b＝2，a>b不成立；對于D，若a>1，則b2－b>0，又b>，得b>1,1－b<0，所以a2＝b2－b＋1<b2，則a<b，故選D. 4．若0<a<b，且a＋b＝1，則a，，2ab，a2＋b2中最大的數(shù)為(　　) A．a(chǎn) B． C．2ab D．a(chǎn)2＋b2 解析：選D　因為0<a<b，且a＋b＝1，所以a<，a2＋b2>＝，2ab＝2a(1－a)＝－22＋<，所以a，，2ab，a2＋b2中最大的數(shù)為a2＋b2. 5．(2018·山西康杰中學(xué)月考)設(shè)a>b>1，則下列不等式成立的是(　　) A．a(chǎn)ln b>bln a B．a(chǎn)ln b<bln a C．a(chǎn)eb<bea D．a(chǎn)eb>bea 解析：選C　觀察A，B兩項，實際上是在比較和的大小，引入函數(shù)y＝，x>1.則y′＝，可見函數(shù)y＝在(1，e)上單調(diào)遞增，在(e，＋∞)上單調(diào)遞減．函數(shù)y＝在(1，＋∞)上不單調(diào)，所以函數(shù)在x＝a和x＝b處的函數(shù)值無法比較大小．對于C，D兩項，引入函數(shù)f(x)＝，x>1，則f′(x)＝＝>0，所以函數(shù)f(x)＝在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，又因為a>b>1，所以f(a)>f(b)，即>，所以aeb<bea，故選C. 6．已知函數(shù)f(x)＝ax＋b,0<f(1)<2，－1<f(－1)<1，則2a－b的取值范圍是________． 解析：設(shè)2a－b＝mf(1)＋nf(－1)＝(m－n)·a＋(m＋n)b，則解得m＝，n＝－，∴2a－b＝f(1)－f(－1)，∵0<f(1)<2，－1<f(－1)<1，∴0<f(1)<1，－<－f(－1)<，則－<2a－b<. 答案： 7．若a>b>0，給出以下幾個不等式： ①<；②lg<； ③a＋>b＋；④－>. 其中正確的是________．(請?zhí)顚懰姓_的序號) 解析：因為a>b>0，所以－＝>0，①正確；＝lg <lg ，②不正確；因為a＋－＝a－b＋>0，所以③正確；(＋)2＝a＋2>a，所以④不正確． 答案：①③ 對點練(二)　一元二次不等式 1．(2018·信陽一模)已知關(guān)于x的不等式x2－ax－6a2>0(a<0)的解集為(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，且x2－x1＝5，則a＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析：選C　關(guān)于x的不等式x2－ax－6a2>0(a<0)可化簡為(x＋2a)(x－3a)>0，因為a<0，所以－2a>3a，所以解不等式得x>－2a或x<3a，所以x1＝3a，x2＝－2a.又x2－x1＝5，所以－5a＝5，所以a＝－. 2．設(shè)實數(shù)a∈(1,2)，關(guān)于x的一元二次不等式x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)<0的解集為(　　) A．(3a，a2＋2) B．(a2＋2,3a) C．(3,4) D．(3,6) 解析：選B　由x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)<0，得(x－3a)·(x－a2－2)<0，∵a∈(1,2)，∴3a>a2＋2，∴關(guān)于x的一元二次不等式x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)<0的解集為(a2＋2,3a)．故選B. 3．(2018·河北石家莊二中月考)在R上定義運(yùn)算☆：a☆b＝ab＋2a＋b，則滿足x☆(x－2)<0的實數(shù)x的取值范圍為(　　) A．(0,2) B．(－2,1) C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2) 解析：選B　根據(jù)定義得x☆(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2<0，解得－2<x<1，所以實數(shù)x的取值范圍為(－2,1)，故選B. 4．(2018·河南洛陽診斷)若不等式x2＋ax－2>0在區(qū)間[1,5] 上有解，則a的取值范圍是(　　) A. B． C．(1，＋∞) D． 解析：選A　由Δ＝a2＋8>0知方程恒有兩個不等實根，又因為x1x2＝－2<0，所以方程必有一正根，一負(fù)根，對應(yīng)二次函數(shù)圖象的示意圖如圖．所以不等式在區(qū)間[1,5]上有解的充要條件是f(5)>0，解得a>－，故選A. 5．(2018·重慶鳳鳴山中學(xué)月考)若不存在整數(shù)x滿足不等式(kx－k2－4)(x－4)<0，則實數(shù)k的取值范圍是________． 解析：容易判斷k＝0或k<0時，均不符合題意，所以k>0.所以原不等式即為k(x－4)<0，等價于(x－4)<0，依題意應(yīng)有3≤≤5且k>0，所以1≤k≤4. 答案：[1,4] 6．(2018·遼寧沈陽模擬)若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x對任意x均成立，則實數(shù)m的取值范圍是________． 解析：不等式等價于(m－2)x2＋2(m－2)x－4<0， ①當(dāng)m＝2時，上式為－4<0，對任意的x，不等式都成立； ②當(dāng)m－2<0時，Δ＝4(m－2)2＋16(m－2)<0，∴－2<m<2. 綜合①②，得m∈(－2,2]． 答案：(－2,2] [大題綜合練——遷移貫通] 1．(2018·黑龍江虎林一中期中)已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)． (1)求f(x)的解析式； (2)若對于任意的x∈[－1,1]，不等式f(x)＋t≤2恒成立，求t的取值范圍． 解：(1)∵f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)， ∴0和5是方程2x2＋bx＋c＝0的兩個根，由根與系數(shù)的關(guān)系知，－＝5，＝0， ∴b＝－10，c＝0，f(x)＝2x2－10x. (2)f(x)＋t≤2恒成立等價于2x2－10x＋t－2≤0恒成立， ∴2x2－10x＋t－2的最大值小于或等于0. 設(shè)g(x)＝2x2－10x＋t－2， 則由二次函數(shù)的圖象可知g(x)＝2x2－10x＋t－2在區(qū)間[－1,1]上為減函數(shù)， ∴g(x)max＝g(－1)＝10＋t， ∴10＋t≤0，即t≤－10. ∴t的取值范圍為(－∞，－10]． 2．已知函數(shù)f(x)＝的定義域為R. (1)求a的取值范圍； (2)若函數(shù)f(x)的最小值為，解關(guān)于x的不等式x2－x－a2－a＜0. 解：(1)∵函數(shù)f(x)＝的定義域為R， ∴ ax2＋2ax＋1≥0恒成立， 當(dāng)a＝0時，1≥0恒成立． 當(dāng)a≠0時，需滿足題意， 則需解得0＜a≤1， 綜上可知，a的取值范圍是[0,1]． (2)f(x)＝＝， 由題意及(1)可知0＜a≤1， ∴當(dāng)x＝－1時，f(x)min＝， 由題意得，＝，∴a＝， ∴不等式x2－x－a2－a＜0可化為x2－x－＜0. 解得－＜x＜， ∴不等式的解集為. 3．(2018·江西八校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R. (1)若a＝2，試求函數(shù)y＝(x>0)的最小值； (2)對于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，試求a的取值范圍． 解：(1)依題意得y＝＝＝x＋－4. 因為x>0，所以x＋≥2. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝時， 即x＝1時，等號成立． 所以y≥－2. 所以當(dāng)x＝1時，y＝的最小值為－2. (2)因為f(x)－a＝x2－2ax－1， 所以要使得“?x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”， 只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]恒成立”． 不妨設(shè)g(x)＝x2－2ax－1， 則只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可． 所以即解得a≥. 則a的取值范圍為. 第二節(jié) 二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題 本節(jié)主要包括3個知識點：　 1.二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域；　2.簡單的線性規(guī)劃問題；　3.線性規(guī)劃的實際應(yīng)用. 突破點(一)　二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域　 1．二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 不等式 表示區(qū)域 Ax＋By＋C＞0 直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)的所有點組成的平面區(qū)域 不包括邊界直線 Ax＋By＋C≥0 包括邊界直線 不等式組 各個不等式所表示平面區(qū)域的公共部分 2.確定二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域的步驟 以上簡稱為“直線定界，特殊點定域”． 1．判斷題 (1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面區(qū)域一定在直線Ax＋By＋C＝0的上方．(　　) (2)不等式x2－y2<0表示的平面區(qū)域是一、三象限角的平分線和二、四象限角的平分線圍成的含有y軸的兩塊區(qū)域．(　　) 答案：(1)×　(2)√ 2．填空題 (1)不等式組所表示的平面區(qū)域的面積等于________． 答案： (2)不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點個數(shù)為________． 答案：4 (3)若不等式組表示的平面區(qū)域為一個銳角三角形及其內(nèi)部，則實數(shù)k的取值范圍是________． 答案：(0,1) 二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 [典例]　(1)(2018·泰安模擬)不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為(　　) A．1 B． C. D． (2)(2018·沈陽質(zhì)監(jiān))已知不等式組表示的平面區(qū)域的面積等于3，則a的值為________． [解析]　(1)作出不等式組對應(yīng)的區(qū)域如圖中陰影部分所示， 由題意知xB＝1，xC＝2.由得yD＝，所以S△BCD＝×(xC－xB)×|yD|＝. (2)依據(jù)不等式組畫出可行域如圖中陰影部分所示，由圖可知其表示的平面區(qū)域為△ABC，所以S＝×2|AC|＝3，所以|AC|＝3，即C(2,3)，又點C在直線ax－y＋2＝0上，得a＝. [答案]　(1)D　(2) [方法技巧] 解決求平面區(qū)域面積問題的方法步驟 (1)畫出不等式組表示的平面區(qū)域； (2)判斷平面區(qū)域的形狀，并求得直線的交點坐標(biāo)、圖形的邊長、相關(guān)線段的長(三角形的高、四邊形的高)等，若為規(guī)則圖形則利用圖形的面積公式求解；若為不規(guī)則圖形則利用割補(bǔ)法求解． [提醒]　求面積時應(yīng)考慮圓、平行四邊形等圖形的對稱性．　　 1．已知約束條件表示面積為1的直角三角形區(qū)域，則實數(shù)k的值為(　　) A．1 B．－1 C．0 D．－2 解析：選A　先作出不等式組 對應(yīng)的平面區(qū)域，如圖．要使陰影部分為直角三角形，當(dāng)k＝0時，此時三角形的面積為×3×3＝≠1，所以不成立．當(dāng)k＝－1或－2時，不能構(gòu)成直角三角形區(qū)域．當(dāng)k＝1時，由圖可知，可構(gòu)成直角三角區(qū)域且面積為1，故選A. 2．若滿足條件的整點(x，y)恰有9個，其中整點是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點，則整數(shù)a的值為(　　) A．－3 B．－2 C．－1 D．0 解析：選C　不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分，當(dāng)a＝0時，只有4個整點(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；當(dāng)a＝－1時，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5個整點． 3．不等式組 表示的平面區(qū)域的面積為________． 解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，可知S△ABC＝×2×(2＋2)＝4. 答案：4 突破點(二)　簡單的線性規(guī)劃問題　 1．線性規(guī)劃中的基本概念 名稱 意義 約束條件 由變量x，y組成的不等式(組) 線性約束條件 由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式(組) 目標(biāo)函數(shù) 關(guān)于x，y的函數(shù)解析式，如z＝2x＋3y等 線性目標(biāo)函數(shù) 關(guān)于x，y的一次函數(shù)解析式 可行解 滿足線性約束條件的解(x，y) 可行域 所有可行解組成的集合 最優(yōu)解 使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解 線性規(guī)劃問題 在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題 2．簡單線性規(guī)劃問題的圖解法 在確定線性約束條件和線性目標(biāo)函數(shù)的前提下，用圖解法求最優(yōu)解的步驟概括為“畫、移、求、答”．即 1．判斷題 (1)線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解可能不唯一．(　　) (2)目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(b≠0)中，z的幾何意義是直線ax＋by－z＝0在y軸上的截距．(　　) 答案：(1)√　(2)× 2．填空題 (1)已知實數(shù)x，y滿足則z＝x＋3y的最小值為________． 答案：－8 (2)(2018·南昌調(diào)研)設(shè)變量x，y滿足則目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋3y的最小值為________． 答案：7 (3)某校今年計劃招聘女教師a名，男教師b名，若a，b滿足不等式組設(shè)這所學(xué)校今年計劃招聘教師最多x名，則x＝________. 答案：13 線性目標(biāo)函數(shù)的最值 [例1]　(1)(2018·山西太原模擬)已知實數(shù)x，y滿足則z＝2x－2y－1的取值范圍是(　　) A. B．[0,5] C. D． (2)(2017·黑龍江哈爾濱二模)已知整數(shù)x，y滿足則z＝4－x·y的最小值為________． [解析]　(1) 作出不等式組表示的可行域，如圖陰影部分所示，可知2×－2×－1≤z<2×2－2×(－1)－1，即z的取值范圍是. (2)z＝4－x·y＝2－2x·2－y＝2－2x－y. 設(shè)m＝－2x－y，要使z最小，則只需m最?。? 作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示． 由m＝－2x－y得y＝－2x－m，平移可知當(dāng)直線y＝－2x－m經(jīng)過點B時，m最小， 由解得 即B(1,2)，此時m＝－2－2＝－4， 所以z＝4－x·y的最小值為2－4＝. [答案]　(1)D　(2) [方法技巧] 求解線性目標(biāo)函數(shù)最值的常用方法 線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點或邊界處取得，所以對于一般的線性規(guī)劃問題，若可行域是一個封閉的圖形，我們可以直接解出可行域的頂點，然后將坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值，從而確定目標(biāo)函數(shù)的最值；若可行域不是封閉圖形還是需要借助截距的幾何意義來求最值．　　 非線性目標(biāo)函數(shù)的最值 [例2]　(1)(2018·四川資陽期末)已知實數(shù)x，y滿足則的最大值是________． (2)(2018·河北唐山模擬)設(shè)實數(shù)x，y滿足約束條件則z＝x2＋y2的最小值為________． [解析]　(1)由題意得，滿足條件的可行域如圖所示.的幾何意義是可行域內(nèi)的點與原點所在直線的斜率，觀察圖形易知，當(dāng)直線過點C(4,1)時，有最大值，最大值為. (2)作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示．因為z＝x2＋y2表示區(qū)域內(nèi)的點到原點距離的平方，由圖知，當(dāng)區(qū)域內(nèi)的點與原點的連線與直線3x＋y－10＝0垂直時，z＝x2＋y2取得最小值，所以zmin＝2＝10，垂足為點(3,1)，在平面區(qū)域內(nèi)，所以z＝x2＋y2的最小值為10. [答案]　(1)　(2)10 [方法技巧] 非線性目標(biāo)函數(shù)最值問題的常見類型及求法 距離 平方型 目標(biāo)函數(shù)為z＝(x－a)2＋(y－b)2時，可轉(zhuǎn)化為可行域內(nèi)的點(x，y)與點(a，b)之間的距離的平方求解 斜率型 對形如z＝(ac≠0)型的目標(biāo)函數(shù)，可利用斜率的幾何意義來求最值，即先變形為z＝·的形式，將問題化為求可行域內(nèi)的點(x，y)與點連線的斜率的倍的取值范圍、最值等 點到直線 距離型 對形如z＝|Ax＋By＋C|型的目標(biāo)函數(shù)，可先變形為z＝·的形式，將問題化為求可行域內(nèi)的點(x，y)到直線Ax＋By＋C＝0的距離的倍的最值 線性規(guī)劃中的參數(shù)問題 1.常見問題形式 (1)由可行域求線性約束條件； (2)由最優(yōu)解或最值求參數(shù)的取值范圍． 2．處理方法 (1)對于形式(1)，由可行域的端點寫出邊界直線的方程，由區(qū)域特點確定不等號即可． (2)對于形式(2)，解答問題時，必須明確線性目標(biāo)函數(shù)的最值一般在可行域的頂點或邊界取得，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法求解．同時，要注意邊界直線的斜率與目標(biāo)函數(shù)表示的直線的斜率之間的關(guān)系． [例3]　(2018·湖北八校聯(lián)考)若實數(shù)x，y滿足不等式組其中m>0，且x＋y的最大值為9，則實數(shù)m＝(　　) A．4 B．3 C．1 D．2 [解析]　根據(jù)不等式組畫出可行域如圖中陰影部分所示． 設(shè)z＝x＋y，由 得A.易知當(dāng)z＝x＋y經(jīng)過點A時，z取得最大值，故＋＝9，解得m＝1. [答案]　C [方法技巧] 求解線性規(guī)劃中含參問題的兩種基本方法 (1)把參數(shù)當(dāng)成常數(shù)用，根據(jù)線性規(guī)劃問題的求解方法求出最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)確定最值，通過構(gòu)造方程或不等式求解參數(shù)的值或范圍； (2)先分離含有參數(shù)的式子，通過觀察的方法確定含參的式子所滿足的條件，確定最優(yōu)解的位置，從而求出參數(shù)．　　 1.(2018·山東德州模擬)已知x，y滿足則z＝4x－y的最小值為(　　) A．4 B．6 C．12 D．16 解析：選B　作出不等式組表示的區(qū)域如圖，結(jié)合圖形可知當(dāng)動直線z＝4x－y經(jīng)過點A(2,2)時，動直線y＝4x－z在y軸的截距最小，zmin＝4×2－2＝6，故選B. 2.設(shè)x，y滿足約束條件則的取值范圍是(　　) A．[1,5] B．[2,6] C．[2,10] D．[3,11] 解析：選D　設(shè)z＝＝＝1＋2·，設(shè)z′＝，則z′的幾何意義為動點P(x，y)到定點D(－1，－1)的斜率，畫出可行域如圖中陰影部分所示，易得z′∈[kDA，kDB]，則z′∈[1,5]，∴z＝1＋2·z′∈[3,11]． 3.(2018·浙江寧波九校期末聯(lián)考)設(shè)實數(shù)x，y滿足則z＝y(tǒng)－4x的取值范圍是________；z＝y(tǒng)－4|x|的取值范圍是________． 解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖．①當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線z＝y(tǒng)－4x經(jīng)過點A(2,2)時，z取得最小值2－4×2＝－6；經(jīng)過點B(－4,8)時，z取得最大值8－4×(－4)＝24，所以z＝y(tǒng)－4x的取值范圍是[－6,24]．②因為z＝y(tǒng)－4|x|＝所以由圖知，當(dāng)x<0時，z在點B(－4,8)處取得最小值8＋4×(－4)＝－8，在點C(0,4)處取得最大值4，所以當(dāng)x<0時，z∈[－8,4)．當(dāng)x≥0時，z在點A(2,2)處取得最小值2－4×2＝－6，在點C(0,4)處取得最大值4－4×0＝4，所以x≥0時，z∈[－6,4]．綜上，z＝y(tǒng)－4|x|的取值范圍是[－8，4]． 答案：[－6,24]　[－8,4] 4.(2018·北京朝陽模擬)若實數(shù)x，y滿足 則x2＋y2的最小值是________． 解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示． ∵x2＋y2表示可行域內(nèi)任意一點P(x，y)與原點(0,0)距離的平方， ∴當(dāng)P在線段AB上且OP⊥AB時，x2＋y2取得最小值， ∴(x2＋y2)min＝2＝. 答案： 5.已知約束條件若目標(biāo)函數(shù)z＝x＋ay(a≥0)恰好在點(2,2)處取到最大值，則a的取值范圍為________． 解析：作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示， 當(dāng)a＝0時，z＝x， 即x＝z，此時不成立． 故a≠0.由z＝x＋ay得y＝－x＋. 由解得即A(2,2)． 要使目標(biāo)函數(shù)z＝x＋ay(a≥0)僅在點A(2,2)處取得最大值，則陰影部分區(qū)域在直線y＝－x＋的下方， 即目標(biāo)函數(shù)的斜率k＝－，滿足k>kAC，即－>－3. ∵a>0，∴a>， 即a的取值范圍為. 答案： 突破點(三)　線性規(guī)劃的實際應(yīng)用　 線性規(guī)劃的實際應(yīng)用 解線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟 [典例]　(2018·山西運(yùn)城期中)某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)甲產(chǎn)品1件需消耗A原料1千克，B原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1件需消耗A原料2千克，B原料1千克；每件甲產(chǎn)品的利潤是300元，每件乙產(chǎn)品的利潤是400元，公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中，要求每天消耗A，B原料都不超過12千克，通過合理安排計劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤是(　　) A．1 800元 B．2 400元 C．2 800元 D．3 100元 [解析]　設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件，乙產(chǎn)品y件，依題意有目標(biāo)函數(shù)z＝300x＋400y，作出的可行域，其中A(0,6)，B(4,4)，C(6,0)，如圖所示．由z＝300x＋400y得y＝－x＋，由圖可知，目標(biāo)函數(shù)在點B(4,4)取得最大值，最大值為2 800.所以公司共可獲得的最大利潤是2 800元．故選C. [答案]　C [方法技巧] 求解線性規(guī)劃應(yīng)用題的三個注意點 (1)明確問題中的所有約束條件，并根據(jù)題意判斷約束條件是否能夠取到等號． (2)注意結(jié)合實際問題的實際意義，判斷所設(shè)未知數(shù)x，y的取值范圍，特別注意分析x，y是否為整數(shù)、是否為非負(fù)數(shù)等． (3)正確地寫出目標(biāo)函數(shù)，一般地，目標(biāo)函數(shù)是等式的形式．　　 1．(2018·云南昆明第三中學(xué)月考)某蔬菜收購點租用車輛，將100噸新鮮黃瓜運(yùn)往某市銷售，可供租用的卡車和農(nóng)用車分別為10輛和20輛．若每輛卡車載重8噸，運(yùn)費960元，每輛農(nóng)用車載重2.5噸，運(yùn)費360元，則蔬菜收購點運(yùn)完全部黃瓜支出的最低運(yùn)費為(　　) A．11 280元 B．12 480元 C．10 280元 D．11 480元 解析：選B　設(shè)租用的卡車和農(nóng)用車分別為x輛和y輛，運(yùn)完全部黃瓜支出的運(yùn)費為z元，則目標(biāo)函數(shù)z＝960x＋360y. 如圖所示，不等式組表示的平面區(qū)域是△ABC內(nèi)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點，其中A(10,8)，B(10,20)，C(6.25,20)．當(dāng)直線l：z＝960x＋360y經(jīng)過點A(10,8)時，運(yùn)費最低，且最低運(yùn)費為zmin＝960×10＋360×8＝12 480(元)，故選B. 2．(2018·南昌模擬)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料．已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示．如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為(　　) 甲 乙 原料限額 A(噸) 3 2 12 B(噸) 1 2 8 A.12萬元 B．16萬元 C．17萬元 D．18萬元 解析：選D　根據(jù)題意，設(shè)每天生產(chǎn)甲x噸，乙y噸，則目標(biāo)函數(shù)為z＝3x＋4y，作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，作出直線3x＋4y＝0并平移，易知當(dāng)直線經(jīng)過點A(2,3)時，z取得最大值且zmax＝3×2＋4×3＝18，故該企業(yè)每天可獲得最大利潤為18萬元，選D. [全國卷5年真題集中演練——明規(guī)律]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2017·全國卷Ⅱ)設(shè)x，y滿足約束條件則z＝2x＋y的最小值是(　　) A．－15 B．－9 C．1 D．9 解析：選A　作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示．易求得可行域的頂點A(0，1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，當(dāng)直線z＝2x＋y過點B(－6，－3)時，z取得最小值，zmin＝2×(－6)－3＝－15. 2．(2013·全國卷Ⅱ)已知a＞0，x，y滿足約束條件若z＝2x＋y的最小值為1，則a＝(　　) A. B． C．1 D．2 解析：選B　由已知約束條件，作出可行域如圖中△ABC內(nèi)部及邊界部分，由目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y的幾何意義為直線l：y＝－2x＋z在y軸上的截距，知當(dāng)直線l過可行域內(nèi)的點B(1，－2a)時，目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y的最小值為1，則2－2a＝1，a＝，故選B. 3．(2017·全國卷Ⅰ)設(shè)x，y滿足約束條件則z＝3x－2y的最小值為________． 解析：畫出不等式組 所表示的可行域如圖中陰影部分所示，由可行域知，當(dāng)直線y＝x－過點A時，在y軸上的截距最大，此時z最小，由解得∴zmin＝－5. 答案：－5 4．(2015·全國卷Ⅰ)若x，y滿足約束條件則的最大值為________． 解析：畫出可行域如圖陰影所示，∵表示過點(x，y)與原點(0,0)的直線的斜率，∴點(x，y)在點A處時最大．由得 ∴A(1,3)．∴的最大值為3. 答案：3 5．(2016·全國卷Ⅰ)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個工時．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2 100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900 元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為________元． 解析：設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，由已知可得約束條件為即 目標(biāo)函數(shù)為z＝2 100x＋900y， 由約束條件作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示． 作直線2 100x＋900y＝0，即7x＋3y＝0并上下平移，易知當(dāng)直線經(jīng)過點M時，z取得最大值，聯(lián)立 解得B(60,100)． 則zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 答案：216 000 [課時達(dá)標(biāo)檢測] [小題對點練——點點落實] 對點練(一)　二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 1．(2018·青島月考)若實數(shù)x，y滿足不等式組則該約束條件所圍成的平面區(qū)域的面積是(　　) A．3 B． C．2 D．2 解析：選C　因為直線x－y＝－1與x＋y＝1互相垂直，所以如圖所示的可行域為直角三角形， 易得A(0,1)，B(1,0)，C(2,3)， 故|AB|＝，|AC|＝2， 所以其面積為×|AB|×|AC|＝2. 2．在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組表示一個三角形區(qū)域，則實數(shù)k的取值范圍是(　　) A．(－∞，－1) B．(1，＋∞) C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析：選A　易知直線y＝k(x－1)－1過定點(1，－1)，畫出不等式組表示的可行域示意圖，如圖所示． 當(dāng)直線y＝k(x－1)－1位于y＝－x和x＝1兩條虛線之間時，表示的是一個三角形區(qū)域．所以直線y＝k(x－1)－1 的斜率的范圍為(－∞，－1)，即實數(shù)k的取值范圍是(－∞，－1)． 3．(2018·山西臨汾一中月考)不等式y(tǒng)(x＋y－2)≥0在平面直角坐標(biāo)系中表示的區(qū)域(用陰影部分表示)是(　　) 解析：選C　由y(x＋y－2)≥0，得或所以不等式y(tǒng)(x＋y－2)≥0在平面直角坐標(biāo)系中表示的區(qū)域是C項． 4．(2018·河北卓越聯(lián)盟聯(lián)考)已知點(－3，－1)和(4，－6)在直線3x－2y－a＝0的兩側(cè)，則實數(shù)a的取值范圍為(　　) A．(－7,24) B．(－∞，－7)∪(24，＋∞) C．(－24,7) D．(－∞，－24)∪(7，＋∞) 解析：選A　由題意可知(－9＋2－a)(12＋12－a)<0，所以(a＋7)·(a－24)<0，所以－7<a<24. 5．(2018·山東濰坊月考)直線x＋my＋1＝0與不等式組表示的平面區(qū)域有公共點，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A. B． C. D． 解析：選D　由題意，知直線x＋my＋1＝0過定點D(－1,0)，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖陰影所示，當(dāng)m＝0時，直線為x＝－1，此時直線和平面區(qū)域沒有公共點，故m≠0.x＋my＋1＝0的斜截式方程為y＝－x－，斜率k＝－. 要使直線和平面區(qū)域有公共點，則直線x＋my＋1＝0的斜率k>0，即k＝－>0，即m<0，且滿足kCD≤k≤kAD. 由解得即C(2,1)，CD的斜率kCD＝＝.由解得即A(2,4)，AD的斜率kAD＝＝，即≤k≤，則≤－≤，解得－3≤m≤－，故選D. 對點練(二)　簡單的線性規(guī)劃問題 1．(2018·河南八市重點高中聯(lián)考)已知△ABC中，A(1,1)，B(1,3)，C(1＋，2)，若點(x，y)在三角形內(nèi)部(不包含邊界)，則z＝－2x＋y的取值范圍是(　　) A．(－，－1) B．(－1,1) C．(－2，1) D．(－1，) 解析：選C　如圖，畫出三角形ABC，其內(nèi)部即為可行域．當(dāng)直線y＝2x＋z經(jīng)過點B時，zmax＝－2＋3＝1，經(jīng)過點C時，zmin＝－2×(1＋)＋2＝－2.故選C. 2．(2017·河南鄭州二模)若實數(shù)x，y滿足且z＝2x＋y的最小值為4，則實數(shù)b的值為(　　) A．1 B．2 C. D．3 解析：選D　作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影所示，由圖可知z＝2x＋y在點A處取得最小值，且由解得∴A(1,2)． 又由題意可知A在直線y＝－x＋b上， ∴2＝－1＋b，解得b＝3，故選D. 3．(2018·山東泰安檢測)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M為不等式組所表示的區(qū)域上一動點，已知點A(－1,2)，則直線AM斜率的最小值為(　　) A．－ B．－2 C．0 D． 解析：選B　作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖四邊形OBCD及其內(nèi)部，其中B(2,0)，C(4,6)，D(0,2)． 點A(－1,2)，當(dāng)M位于O時，AM的斜率最?。藭rAM的斜率k＝＝－2，故選B. 4．(2018·四川南充高中模擬)若實數(shù)x，y滿足約束條件則z＝的最大值為________． 解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示．z＝的幾何意義是可行域內(nèi)的點與點D(－1,0)連線的斜率，由圖象知直線AD的斜率最大．由得所以A(1,3)，此時z＝＝，即為要求的最大值． 答案： 5．(2018·湖北黃石模擬)已知變量x，y滿足約束條件則z＝x－2y的最大值為________． 解析：作出不等式組表示的可行域如圖所示，因為目標(biāo)函數(shù)y＝－的斜率小