2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 三角函數(shù)、解三角形 第一節(jié) 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)學(xué)案 理(含解析)新人教A版
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2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 三角函數(shù)、解三角形 第一節(jié) 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)學(xué)案 理(含解析)新人教A版
第一節(jié) 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)
2019考綱考題考情
考綱要求
考題舉例
考向標(biāo)簽
1.了解任意角的概念
2.了解弧度制概念,能進(jìn)行弧度與角度的互化
3.理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義
2016·四川高考·T3(誘導(dǎo)公式)
命題角度:
1.象限角及終邊相同的角的表示
2.弧度制及其應(yīng)用
3.三角函數(shù)的定義及應(yīng)用
核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)建模、直觀想象
1.角的有關(guān)概念
(1)從運(yùn)動的角度看,角可分為正角、負(fù)角和零角。
(2)從終邊位置來看,角可分為象限角與軸線角。
(3)若β與α是終邊相同的角,則β用α表示為β=2kπ+α,k∈Z。
2.弧度與角度的互化
(1)1弧度的角
長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角。
(2)角α的弧度數(shù)
如果半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l,那么角α的弧度數(shù)的絕對值是|α|=。
(3)角度與弧度的換算
①1°=rad;②1 rad=°。
(4)弧長、扇形面積的公式
設(shè)扇形的弧長為l,圓心角大小為α(rad),半徑為r,則l=|α|r,扇形的面積為S=lr=|α|·r2。
3.任意角的三角函數(shù)
(1)定義:設(shè)α是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),那么sinα=y(tǒng),cosα=x,tanα=(x≠0)。
(2)幾何表示:三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示。正弦線的起點(diǎn)都在x軸上,余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn),正切線的起點(diǎn)都是點(diǎn)(1,0)。如圖中有向線段MP,OM,AT分別叫做角α的正弦線,余弦線和正切線。
1.區(qū)分兩個概念
(1)第一象限角未必是銳角,但銳角一定是第一象限角。
(2)不相等的角未必終邊不相同,終邊相同的角也未必相等。
2.一個口訣
三角函數(shù)值在各象限的符號:一全正、二正弦、三正切、四余弦。
3.三角函數(shù)定義的推廣
設(shè)點(diǎn)P(x,y)是角α終邊上任意一點(diǎn)且不與原點(diǎn)重合,r=|OP|,則sinα=,cosα=,tanα=。
一、走進(jìn)教材
1.(必修4P10A組T7改編)角-225°=________弧度,這個角在第________象限。
答案?。《?
2.(必修4P15練習(xí)T2改編)設(shè)角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(4,-3),那么2cosθ-sinθ=________。
解析 由已知并結(jié)合三角函數(shù)的定義,得sinθ=-,cosθ=,所以2cosθ-sinθ=2×-=。
答案
3.(必修4P10A組T6改編)一條弦的長等于半徑,這條弦所對的圓心角大小為________弧度。
答案
二、走近高考
4.(2018·北京高考)在平面直角坐標(biāo)系中,,,,是圓x2+y2=1上的四段弧(如圖),點(diǎn)P在其中一段上,角α以O(shè)x為始邊,OP為終邊。若tanα<cosα<sinα,則P所在的圓弧是( )
A. B.
C. D.
解析 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),利用三角函數(shù)的定義可得<x<y,所以x<0,y>0,所以P所在的圓弧是。故選C。
答案 C
三、走出誤區(qū)
微提醒:①終邊相同的角理解出錯;②三角函數(shù)符號記憶不準(zhǔn);③求三角函數(shù)值不考慮終邊所在象限。
5.下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是( )
A.2kπ-45°(k∈Z) B.k·360°+π(k∈Z)
C.k·360°-315°(k∈Z) D.kπ+(k∈Z)
解析 與的終邊相同的角可以寫成2kπ+(k∈Z),但是角度制與弧度制不能混用,所以只有C正確。故選C。
答案 C
6.若sinα<0,且tanα>0,則α是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析 由sinα<0知α的終邊在第三、第四象限或y軸的非正半軸上;由tanα>0知α的終邊在第一或第三象限,故α是第三象限角。故選C。
答案 C
7.已知角α的終邊在直線y=-x上,且cosα<0,則tanα=________。
解析 如圖,由題意知,角α的終邊在第二象限,在其上任取一點(diǎn)P(x,y),則y=-x,由三角函數(shù)的定義得tanα===-1。
答案?。?
考點(diǎn)一象限角及終邊相同的角的表示
【例1】 (1)設(shè)θ是第三象限角,且=-cos,則是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
(2)(2019·福州模擬)與-2 010°終邊相同的最小正角是________。
解析 (1)因?yàn)棣仁堑谌笙藿?,所以π?kπ<θ<+2kπ(k∈Z),故+kπ<<+kπ(k∈Z),當(dāng)k=2n(n∈Z)時,+2nπ<<+2nπ(n∈Z),是第二象限角;當(dāng)k=2n+1時,+2nπ<<+2nπ(n∈Z),是第四象限角,又=-cos,即cos<0,因此是第二象限角。
(2)因?yàn)椋? 010°=(-6)×360°+150°,所以150°與-2 010°終邊相同,又終邊相同的兩個角相差360°的整數(shù)倍,所以在0°~360°中只有150°與-2 010°終邊相同,故與-2 010°終邊相同的最小正角是150°。
答案 (1)B (2)150°
1.利用終邊相同的角的集合求適合某些條件的角:先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合,然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需的角。
2.確定kα,(k∈N*)的終邊位置的方法
先用終邊相同角的形式表示出角α的范圍,再寫出kα或的范圍,然后根據(jù)k的可能取值討論確定kα或的終邊所在位置。
【變式訓(xùn)練】 (1)設(shè)集合M=,N=,那么( )
A.M=N B.M?N
C.N?M D.M∩N=?
(2)已知角α的終邊在如圖所示陰影表示的范圍內(nèi)(不包括邊界),則角α用集合可表示為________。
解析 (1)由于M=={…,-45°,45°,135°,225°,…},N=={…,-45°,0°,45°,90°,135°,180°,225°,…},顯然有M?N。故選B。
解析:由于M中,x=·180°+45°=k·90°+45°=(2k+1)·45°,2k+1是奇數(shù);而N中,x=·180°+45°=k·45°+45°=(k+1)·45°,k+1是整數(shù),因此必有M?N。故選B。
(2)在[0,2π)內(nèi),終邊落在陰影部分角的集合為,所以,所求角的集合為。
答案 (1)B (2)
考點(diǎn)二弧度制及其應(yīng)用
【例2】 已知一扇形的圓心角為α,半徑為R,弧長為l。若α=,R=10 cm,求扇形的面積。
解 由已知得α=,R=10,所以S扇形=α·R2=··102=(cm2)。
【互動探究】 (1)若例題條件不變,求扇形的弧長及該弧所在弓形的面積。
(2)若例題條件改為:“若扇形周長為20 cm”,當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時,這個扇形的面積最大?
解 (1)l=α·R=×10=(cm),
S弓形=S扇形-S三角形
=·l·R-·R2·sin
=··10-·102·
=(cm2)
(2)由已知得,l+2R=20。
所以S=lR=(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25,
所以當(dāng)R=5 cm時,S取得最大值25 cm2,此時l=10 cm,α=2 rad。
應(yīng)用弧度制解決問題的方法
1.利用扇形的弧長和面積公式解題時,要注意角的單位必須是弧度。
2.求扇形面積最大值的問題時,常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題,利用配方法使問題得到解決。
3.在解決弧長問題和扇形面積問題時,要合理地利用圓心角所在的三角形。
【變式訓(xùn)練】 若圓弧長度等于該圓內(nèi)接正方形的邊長,則其圓心角的弧度數(shù)是________。
解析 設(shè)圓半徑為r,則圓內(nèi)接正方形的對角線長為2r,所以正方形邊長為r,所以其圓心角的弧度數(shù)是=。
答案
考點(diǎn)三三角函數(shù)的定義及應(yīng)用微點(diǎn)小專題
方向1:三角函數(shù)的定義
【例3】 (1)函數(shù)y=loga(x-3)+2(a>0且a≠1)的圖象過定點(diǎn)P,且角α的終邊過點(diǎn)P,則sinα+cosα的值為( )
A. B.
C. D.
(2)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-x,-6),且cosα=-,則+=________。
解析 (1)因?yàn)楹瘮?shù)y=loga(x-3)+2的圖象過定點(diǎn)P(4,2),且角α的終邊過點(diǎn)P,所以x=4,y=2,r=2,所以sinα=,cosα=,所以sinα+cosα=+=。選D。
(2)因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過點(diǎn)P(-x,-6),且cosα=-,所以cosα==-,即x=。所以P。所以sinα=-。所以tanα==,則+=-+=-。
答案 (1)D (2)-
三角函數(shù)定義主要應(yīng)用于兩方面
1.已知角的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo),則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離,然后用三角函數(shù)定義求解三角函數(shù)值。特別地,若角α的終邊落在某條直線上,一般要分類討論。
2.已知角α的某個三角函數(shù)值,可依據(jù)三角函數(shù)值設(shè)出角α終邊上某一符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)來解決相關(guān)問題。
方向2:三角函數(shù)值的符號
【例4】 (1)使lg(sinθ·cosθ)+有意義的θ為( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
(2)若角α的終邊落在直線y=-x上,則+=________。
解析 (1)由題意知sinθ·cosθ>0且-cosθ≥0,由sinθ·cosθ>0,知θ為第一、三象限角,又由-cosθ≥0,即cosθ≤0知θ為第二、三象限角或θ在x軸的負(fù)半軸上,所以可知θ為第三象限角。故選C。
(2)因?yàn)榻铅恋慕K邊落在直線y=-x上,所以角α的終邊位于第二或第四象限。當(dāng)角α的終邊位于第二象限時,+=+=0;當(dāng)角α的終邊位于第四象限時,+=+=0。所以+=0。
答案 (1)C (2)0
要判定三角函數(shù)值的符號,關(guān)鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角,再根據(jù)正、余弦函數(shù)值在各象限的符號確定值的符號。如果角不能確定所在象限,那就要進(jìn)行分類討論求解。
方向3:三角函數(shù)線的應(yīng)用
【例5】 函數(shù)y=lg(2sinx-1)+的定義域?yàn)開_______________。
解析 要使原函數(shù)有意義,必須有:即如圖,在單位圓中作出相應(yīng)三角函數(shù)線,由圖可知,原函數(shù)的定義域?yàn)椤?
答案
三角函數(shù)線的應(yīng)用問題的求解思路
確定單位圓與角的終邊的交點(diǎn),作出所需要的三角函數(shù)線,然后求解。
【題點(diǎn)對應(yīng)練】
1.(方向1)已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,P(m,-2m)(m≠0)是角α終邊上的一點(diǎn),則tan的值為( )
A.3 B.
C.- D.-3
解析 因?yàn)镻(m,-2m)(m≠0)是角α終邊上的一點(diǎn),所以tanα=-2。所以tan===-。故選C。
答案 C
2.(方向2)已知點(diǎn)P(tanα,cosα)在第三象限,則角α的終邊在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析 由題意知tanα<0,cosα<0,根據(jù)三角函數(shù)值的符號規(guī)律可知,角α的終邊在第二象限。故選B。
答案 B
3.(方向3)若-<α<-,從單位圓中的三角函數(shù)線觀察sinα,cosα,tanα的大小是( )
A.sinα<tanα<cosα B.cosα<sinα<tanα
C.sinα<cosα<tanα D.tanα<sinα<cosα
解析 如圖所示,作出角α的正弦線MP,余弦線OM,正切線AT,觀察可得,AT>OM>MP,故有sinα<cosα<tanα。故選C。
答案 C
1.(配合例1使用)如圖所示,寫出終邊落在直線y=x上的角的集合(用弧度制表示)。
解 在0~2π范圍內(nèi),終邊落在直線y=x上的角有兩個,分別是和π,即在[0,2π)內(nèi)終邊落在該直線上的角是,π。
因此,所有與終邊相同的角的集合是S=,所有與π終邊相同的角的集合是T=。
所以,終邊落在直線y=x上的角的集合為
S∪T=∪=∪=。
2.(配合例2使用)若圓弧長度等于該圓內(nèi)接等腰直角三角形的周長,則其圓心角的弧度數(shù)是________。
解析 設(shè)圓的半徑為r,則圓內(nèi)接等腰直角三角形的斜邊長為2r,一條直角邊長為r,所以周長為2r+2r,所以圓弧所對圓心角的弧度數(shù)是=2+2。
答案 2+2
3.(配合例2使用)若扇形的周長為18,則扇形面積取得最大值時,扇形圓心角的弧度數(shù)是________。
解析 設(shè)扇形的半徑為r,弧長為l,則l+2r=18,即l=18-2r,所以扇形面積S=l·r=(18-2r)·r=-r2+9r,當(dāng)r=時,S取得最大值,此時l=18-2r=9,所以圓心角的弧度數(shù)是==2。
答案 2
4.(配合例3使用)已知A(xA,yA)是單位圓(圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,半徑為1)上任一點(diǎn),將射線OA繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)到OB,OB交單位圓于點(diǎn)B(xB,yB),已知m>0,若myA-2yB的最大值為3,則m=________。
解析 設(shè)∠xOA=α,由三角函數(shù)的定義,得yA=sinα,yB=sin,則myA-2yB=msinα-2sin=(m-1)sinα-cosα,其最大值為=3,又m>0,所以m=+1。
答案?。?
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