2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 三角函數(shù)、解三角形 第一節(jié) 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)學(xué)案 理（含解析）新人教A版

第一節(jié)　任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù) 2019考綱考題考情 考綱要求 考題舉例 考向標(biāo)簽 1.了解任意角的概念 2．了解弧度制概念，能進行弧度與角度的互化 3．理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義 2016·四川高考·T3(誘導(dǎo)公式) 命題角度： 1．象限角及終邊相同的角的表示 2．弧度制及其應(yīng)用 3．三角函數(shù)的定義及應(yīng)用 核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)建模、直觀想象 1．角的有關(guān)概念 (1)從運動的角度看，角可分為正角、負角和零角。 (2)從終邊位置來看，角可分為象限角與軸線角。 (3)若β與α是終邊相同的角，則β用α表示為β＝2kπ＋α，k∈Z。 2．弧度與角度的互化 (1)1弧度的角 長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角。 (2)角α的弧度數(shù) 如果半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l，那么角α的弧度數(shù)的絕對值是|α|＝。 (3)角度與弧度的換算 ①1°＝rad；②1 rad＝°。 (4)弧長、扇形面積的公式 設(shè)扇形的弧長為l，圓心角大小為α(rad)，半徑為r，則l＝|α|r，扇形的面積為S＝lr＝|α|·r2。 3．任意角的三角函數(shù) (1)定義：設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝(x≠0)。 (2)幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示。正弦線的起點都在x軸上，余弦線的起點都是原點，正切線的起點都是點(1,0)。如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的正弦線，余弦線和正切線。 1．區(qū)分兩個概念 (1)第一象限角未必是銳角，但銳角一定是第一象限角。 (2)不相等的角未必終邊不相同，終邊相同的角也未必相等。 2．一個口訣 三角函數(shù)值在各象限的符號：一全正、二正弦、三正切、四余弦。 3．三角函數(shù)定義的推廣 設(shè)點P(x，y)是角α終邊上任意一點且不與原點重合，r＝|OP|，則sinα＝，cosα＝，tanα＝。 一、走進教材 1．(必修4P10A組T7改編)角－225°＝________弧度，這個角在第________象限。 答案?。《? 2．(必修4P15練習(xí)T2改編)設(shè)角θ的終邊經(jīng)過點P(4，－3)，那么2cosθ－sinθ＝________。 解析　由已知并結(jié)合三角函數(shù)的定義，得sinθ＝－，cosθ＝，所以2cosθ－sinθ＝2×－＝。 答案　 3．(必修4P10A組T6改編)一條弦的長等于半徑，這條弦所對的圓心角大小為________弧度。 答案　 二、走近高考 4．(2018·北京高考)在平面直角坐標(biāo)系中，，，，是圓x2＋y2＝1上的四段弧(如圖)，點P在其中一段上，角α以O(shè)x為始邊，OP為終邊。若tanα<cosα<sinα，則P所在的圓弧是(　　) A． B． C． D． 解析　設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)，利用三角函數(shù)的定義可得<x<y，所以x<0，y>0，所以P所在的圓弧是。故選C。 答案　C 三、走出誤區(qū) 微提醒：①終邊相同的角理解出錯；②三角函數(shù)符號記憶不準(zhǔn)；③求三角函數(shù)值不考慮終邊所在象限。 5．下列與的終邊相同的角的表達式中正確的是(　　) A．2kπ－45°(k∈Z) B．k·360°＋π(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) 解析　與的終邊相同的角可以寫成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有C正確。故選C。 答案　C 6．若sinα<0，且tanα>0，則α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析　由sinα<0知α的終邊在第三、第四象限或y軸的非正半軸上；由tanα>0知α的終邊在第一或第三象限，故α是第三象限角。故選C。 答案　C 7．已知角α的終邊在直線y＝－x上，且cosα<0，則tanα＝________。 解析　如圖，由題意知，角α的終邊在第二象限，在其上任取一點P(x，y)，則y＝－x，由三角函數(shù)的定義得tanα＝＝＝－1。 答案?。? 考點一象限角及終邊相同的角的表示 【例1】　(1)設(shè)θ是第三象限角，且＝－cos，則是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 (2)(2019·福州模擬)與－2 010°終邊相同的最小正角是________。 解析　(1)因為θ是第三象限角，所以π＋2kπ<θ<＋2kπ(k∈Z)，故＋kπ<<＋kπ(k∈Z)，當(dāng)k＝2n(n∈Z)時，＋2nπ<<＋2nπ(n∈Z)，是第二象限角；當(dāng)k＝2n＋1時，＋2nπ<<＋2nπ(n∈Z)，是第四象限角，又＝－cos，即cos<0，因此是第二象限角。 (2)因為－2 010°＝(－6)×360°＋150°，所以150°與－2 010°終邊相同，又終邊相同的兩個角相差360°的整數(shù)倍，所以在0°～360°中只有150°與－2 010°終邊相同，故與－2 010°終邊相同的最小正角是150°。 答案　(1)B　(2)150° 1．利用終邊相同的角的集合求適合某些條件的角：先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需的角。 2．確定kα，(k∈N*)的終邊位置的方法 先用終邊相同角的形式表示出角α的范圍，再寫出kα或的范圍，然后根據(jù)k的可能取值討論確定kα或的終邊所在位置。 【變式訓(xùn)練】　(1)設(shè)集合M＝，N＝，那么(　　) A．M＝N B．M?N C．N?M D．M∩N＝? (2)已知角α的終邊在如圖所示陰影表示的范圍內(nèi)(不包括邊界)，則角α用集合可表示為________。 解析　(1)由于M＝＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N＝＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，顯然有M?N。故選B。 解析：由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇數(shù)；而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整數(shù)，因此必有M?N。故選B。 (2)在[0,2π)內(nèi)，終邊落在陰影部分角的集合為，所以，所求角的集合為。 答案　(1)B　(2) 考點二弧度制及其應(yīng)用 【例2】　已知一扇形的圓心角為α，半徑為R，弧長為l。若α＝，R＝10 cm，求扇形的面積。 解　由已知得α＝，R＝10，所以S扇形＝α·R2＝··102＝(cm2)。 【互動探究】　(1)若例題條件不變，求扇形的弧長及該弧所在弓形的面積。 (2)若例題條件改為：“若扇形周長為20 cm”，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？ 解　(1)l＝α·R＝×10＝(cm)， S弓形＝S扇形－S三角形 ＝·l·R－·R2·sin ＝··10－·102· ＝(cm2) (2)由已知得，l＋2R＝20。 所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以當(dāng)R＝5 cm時，S取得最大值25 cm2，此時l＝10 cm，α＝2 rad。 應(yīng)用弧度制解決問題的方法 1．利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度。 2．求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決。 3．在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形。 【變式訓(xùn)練】　若圓弧長度等于該圓內(nèi)接正方形的邊長，則其圓心角的弧度數(shù)是________。 解析　設(shè)圓半徑為r，則圓內(nèi)接正方形的對角線長為2r，所以正方形邊長為r，所以其圓心角的弧度數(shù)是＝。 答案　 考點三三角函數(shù)的定義及應(yīng)用微點小專題 方向1：三角函數(shù)的定義 【例3】　(1)函數(shù)y＝loga(x－3)＋2(a>0且a≠1)的圖象過定點P，且角α的終邊過點P，則sinα＋cosα的值為(　　) A． B． C． D． (2)已知角α的終邊經(jīng)過點P(－x，－6)，且cosα＝－，則＋＝________。 解析　(1)因為函數(shù)y＝loga(x－3)＋2的圖象過定點P(4,2)，且角α的終邊過點P，所以x＝4，y＝2，r＝2，所以sinα＝，cosα＝，所以sinα＋cosα＝＋＝。選D。 (2)因為角α的終邊經(jīng)過點P(－x，－6)，且cosα＝－，所以cosα＝＝－，即x＝。所以P。所以sinα＝－。所以tanα＝＝，則＋＝－＋＝－。 答案　(1)D　(2)－ 三角函數(shù)定義主要應(yīng)用于兩方面 1．已知角的終邊上一點P的坐標(biāo)，則可先求出點P到原點的距離，然后用三角函數(shù)定義求解三角函數(shù)值。特別地，若角α的終邊落在某條直線上，一般要分類討論。 2．已知角α的某個三角函數(shù)值，可依據(jù)三角函數(shù)值設(shè)出角α終邊上某一符合條件的點的坐標(biāo)來解決相關(guān)問題。 方向2：三角函數(shù)值的符號 【例4】　(1)使lg(sinθ·cosθ)＋有意義的θ為(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 (2)若角α的終邊落在直線y＝－x上，則＋＝________。 解析　(1)由題意知sinθ·cosθ>0且－cosθ≥0，由sinθ·cosθ>0，知θ為第一、三象限角，又由－cosθ≥0，即cosθ≤0知θ為第二、三象限角或θ在x軸的負半軸上，所以可知θ為第三象限角。故選C。 (2)因為角α的終邊落在直線y＝－x上，所以角α的終邊位于第二或第四象限。當(dāng)角α的終邊位于第二象限時，＋＝＋＝0；當(dāng)角α的終邊位于第四象限時，＋＝＋＝0。所以＋＝0。 答案　(1)C　(2)0 要判定三角函數(shù)值的符號，關(guān)鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角，再根據(jù)正、余弦函數(shù)值在各象限的符號確定值的符號。如果角不能確定所在象限，那就要進行分類討論求解。 方向3：三角函數(shù)線的應(yīng)用 【例5】　函數(shù)y＝lg(2sinx－1)＋的定義域為________________。 解析　要使原函數(shù)有意義，必須有：即如圖，在單位圓中作出相應(yīng)三角函數(shù)線，由圖可知，原函數(shù)的定義域為。 答案　 三角函數(shù)線的應(yīng)用問題的求解思路 確定單位圓與角的終邊的交點，作出所需要的三角函數(shù)線，然后求解。 【題點對應(yīng)練】　 1．(方向1)已知角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，P(m，－2m)(m≠0)是角α終邊上的一點，則tan的值為(　　) A．3 B． C．－ D．－3 解析　因為P(m，－2m)(m≠0)是角α終邊上的一點，所以tanα＝－2。所以tan＝＝＝－。故選C。 答案　C 2．(方向2)已知點P(tanα，cosα)在第三象限，則角α的終邊在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　由題意知tanα<0，cosα<0，根據(jù)三角函數(shù)值的符號規(guī)律可知，角α的終邊在第二象限。故選B。 答案　B 3．(方向3)若－<α<－，從單位圓中的三角函數(shù)線觀察sinα，cosα，tanα的大小是(　　) A．sinα<tanα<cosα B．cosα<sinα<tanα C．sinα<cosα<tanα D．tanα<sinα<cosα 解析　如圖所示，作出角α的正弦線MP，余弦線OM，正切線AT，觀察可得，AT>OM>MP，故有sinα<cosα<tanα。故選C。 答案　C 1．(配合例1使用)如圖所示，寫出終邊落在直線y＝x上的角的集合(用弧度制表示)。 解　在0～2π范圍內(nèi)，終邊落在直線y＝x上的角有兩個，分別是和π，即在[0,2π)內(nèi)終邊落在該直線上的角是，π。 因此，所有與終邊相同的角的集合是S＝，所有與π終邊相同的角的集合是T＝。 所以，終邊落在直線y＝x上的角的集合為 S∪T＝∪＝∪＝。 2．(配合例2使用)若圓弧長度等于該圓內(nèi)接等腰直角三角形的周長，則其圓心角的弧度數(shù)是________。 解析　設(shè)圓的半徑為r，則圓內(nèi)接等腰直角三角形的斜邊長為2r，一條直角邊長為r，所以周長為2r＋2r，所以圓弧所對圓心角的弧度數(shù)是＝2＋2。 答案　2＋2 3．(配合例2使用)若扇形的周長為18，則扇形面積取得最大值時，扇形圓心角的弧度數(shù)是________。 解析　設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，則l＋2r＝18，即l＝18－2r，所以扇形面積S＝l·r＝(18－2r)·r＝－r2＋9r，當(dāng)r＝時，S取得最大值，此時l＝18－2r＝9，所以圓心角的弧度數(shù)是＝＝2。 答案　2 4．(配合例3使用)已知A(xA，yA)是單位圓(圓心為坐標(biāo)原點O，半徑為1)上任一點，將射線OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)到OB，OB交單位圓于點B(xB，yB)，已知m>0，若myA－2yB的最大值為3，則m＝________。 解析　設(shè)∠xOA＝α，由三角函數(shù)的定義，得yA＝sinα，yB＝sin，則myA－2yB＝msinα－2sin＝(m－1)sinα－cosα，其最大值為＝3，又m>0，所以m＝＋1。 答案　＋1 11