八年級(jí)數(shù)學(xué)暑假專題輔導(dǎo) 相似三角形

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1、 暑假專題——相似三角形 重點(diǎn)、難點(diǎn)： 1. 通過(guò)探索兩個(gè)三角形相似的識(shí)別方法，加強(qiáng)合情推理能力的培養(yǎng)，感受發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣，逐步掌握說(shuō)理的基本方法。 2. 通過(guò)相似三角形性質(zhì)復(fù)習(xí)，豐富與角、面積等相關(guān)的知識(shí)方法，開(kāi)闊研究角、面積等問(wèn)題的視野。 【知識(shí)縱橫】 1. 相似三角形 對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形（similar triangles）。 議一議： （1）兩個(gè)全等三角形一定相似嗎？為什么？ （2）兩個(gè)直角三角形一定相似嗎？?jī)蓚€(gè)等腰直角三角形呢？為什么？ （3）兩個(gè)等腰三角形一定相似嗎？?jī)蓚€(gè)等邊三角形呢？為什么？ 2. 相似比 相似三角形

2、對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比。 說(shuō)明：相似比要注意順序：如△ABC∽△A'B'C'的相似比，而△A'B'C'∽△ABC的相似比，這時(shí)。 3. 相似三角形的識(shí)別 （1）如果一個(gè)三角形的兩角分別與另一個(gè)三角形的兩角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。 （2）如果一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。 （3）如果一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。 【典型例題】 例1. 如圖，∠1＝∠2＝∠3，圖中相似三角形有（ ）對(duì)。 答：4對(duì) 例2. 如圖，已知：△ABC、△DEF，其中∠A＝50°，

3、∠B＝60°，∠C＝70°，∠D＝40°，∠E＝60°，∠F＝80°，能否分別將兩個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，使△ABC所分成的每個(gè)三角形與△DEF所分成的每個(gè)三角形分別對(duì)應(yīng)相似？ 如果可能，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種分割方案；若不能，說(shuō)明理由。 解： 例3. （2008·廣東?。┤鐖D所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)F在BA的延長(zhǎng)線上，連結(jié)CF交AD于點(diǎn)E。 （1）求證：△CDE∽△FAE； （2）當(dāng)E是AD的中點(diǎn)，且BC＝2CD時(shí)，求證：∠F＝∠BCF。 命題意圖：相似三角形的識(shí)別、特征在解題中的應(yīng)用。 解析：由AB∥DC得：∠F＝∠DCE，∠EAF＝∠D ∴△CDE∽△

4、FAE ，又E為AD中點(diǎn) ∴DE＝AE，從而CD＝FA，結(jié)合已知條件，易證 BF＝BC，∠F＝∠BCF 解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴AB∥CD ∴∠F＝∠DCE，∠EAF＝∠D ∴△CDE∽△FAE （2）∵E是AD中點(diǎn)，∴DE＝AE 由（1）得： ∴CD＝AF ∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴AB＝CD ∴AB＝CD＝AF ∴BF＝2CD，又BC＝2CD ∴BC＝BF ∴∠F＝∠BCF 思路探究：平行往往是證兩個(gè)三角形相似的重要條件，利用比例線段也可證明兩線段相等。 例4. 在梯形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，點(diǎn)P在線段AB上從A

5、向B運(yùn)動(dòng)， （1）是否存在一個(gè)時(shí)刻使△ADP∽△BCP； （2）若AD＝4，BC＝6，AB＝10，使△ADP∽△BCP，則AP的長(zhǎng)度為多少？ 解：（1）存在 （2）若△ADP∽△BCP，則 設(shè) 或 或 或 ∴AP長(zhǎng)度為4或6 例5. 如圖，在平行四邊形ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，DE：CE＝2：3，連結(jié)AE、BE、BD，且AE、BD交于點(diǎn)F，則（ ） A. 4：10：25 B. 4：9：25 C. 2：3：5 D. 2：5：25 （2001年黑龍江省中考題） 思路點(diǎn)撥：運(yùn)用與面積相關(guān)知識(shí)，把面積比轉(zhuǎn)化為線段比。 ∴選A 例

6、6. 如圖，有一批形狀大小相同的不銹鋼片，呈直角三角形，已知∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，試設(shè)計(jì)一種方案，用這批不銹鋼片裁出面積達(dá)最大的正方形不銹鋼片，并求出這種正方形不銹鋼片的邊長(zhǎng)。 思路點(diǎn)撥：要在三角形內(nèi)裁出面積最大的正方形，那么這正方形所有頂點(diǎn)應(yīng)落在△ABC的邊上，先畫(huà)出不同方案，把每種方案中的正方形邊長(zhǎng)求出。 解：如圖甲，設(shè)正方形EFGH邊長(zhǎng)為x，則AC＝4 而CD×AB＝AC×BC＝，得 又△CEH∽△CAB，得 于是，解得： 如圖乙，設(shè)正方形CFGH的邊長(zhǎng)為y cm 由GH∥AC，得： 即，解得： 即應(yīng)如圖乙那樣裁剪，這時(shí)正方形面積達(dá)最大，

7、它的邊長(zhǎng)為 例7. 如圖，已知直角梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，設(shè)，，作DE⊥DC，DE交AB于點(diǎn)E，連結(jié)EC。 （1）試判斷△DCE與△ADE、△DCE與△BCE是否分別一定相似？若相似，請(qǐng)加以證明。 （2）如果不一定相似，請(qǐng)指出a、b滿足什么關(guān)系時(shí)，它們就能相似？ 解：（1）△DCE與△ADE一定相似，△DCE與△BCE不一定相似，分別延長(zhǎng)BA、CD交于F點(diǎn) 由△FAD∽△FBC，得： 于是FD＝DC，從而可證△FED≌△CED 得∠AED＝∠DEC 所以△DEC∽△AED （2）作CG⊥AD交AD延長(zhǎng)線于G， 由△AED∽△GDC，有，得

8、要使△DCE與△BCE相似，那么一定成立 即，得 也就是當(dāng)時(shí)，△DCE與△BCE一定相似。 【模擬試題】（答題時(shí)間：40分鐘） 1. 如圖，已知DE∥BC，CD和BE相交于O，若，則AD：DB＝____________。 2. 如圖，△ABC中，CE：EB＝1：2，DE∥AC，若△ABC的面積為S，則△ADE的面積為_(kāi)___________。 3. 若正方形的4個(gè)頂點(diǎn)分別在直角三角形的3條邊上，直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為3cm和4cm，則此正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)___________。 （2000年武漢市中考題） 4. 閱讀下面的短文，并解答下列問(wèn)題： 我們把相似形

9、的概念推廣到空間：如果兩個(gè)幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就把它們叫做相似體。 如圖，甲、乙是兩個(gè)不同的正方體，正方體都是相似體，它們的一切對(duì)應(yīng)線段之比都等于相似比：，設(shè)分別表示這兩個(gè)正方體的表面積，則，又設(shè)分別表示這兩個(gè)正方體的體積，則。 （1）下列幾何體中，一定屬于相似體的是（ ） A. 兩個(gè)球體 B. 兩個(gè)圓錐體 C. 兩個(gè)圓柱體 D. 兩個(gè)長(zhǎng)方體 （2）請(qǐng)歸納出相似體的3條主要性質(zhì)： ①相似體的一切對(duì)應(yīng)線段（或?。╅L(zhǎng)的比等于____________； ②相似體表面積的比等于____________； ③相似體體積的比等于____________

10、。 （2001年江蘇省泰州市中考題） 5. 如圖，鐵道口的欄桿短臂長(zhǎng)1 m，長(zhǎng)臂長(zhǎng)16 m，當(dāng)短臂端點(diǎn)下降0.5 m時(shí)，長(zhǎng)臂端點(diǎn)升高（ ） A. 11.25 m B. 6.6 m C. 8 m D. 10.5 m 6. 如圖，D為△ABC的邊AC上的一點(diǎn)，∠DBC＝∠A，已知，△BCD與△ABC的面積的比是2：3，則CD的長(zhǎng)是（ ） A. B. C. D. 7. 如圖，在正三角形ABC中，D、E分別在AC、AB上，且，AE＝BE，則有（ ） A. △AED∽△BED B. △AED∽△CBD C. △AED∽△ABD

11、 D. △BAD∽△BCD （2001年杭州市中考題） 8. 如圖，已知△ABC中，DE∥FG∥BC，且AD：FD：FB＝1：2：3，則等于（ ） A. 1：9：36 B. 1：4：9 C. 1：8：27 D. 1：8：36 9. 如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ACD＝∠B，求證： 10. 如圖，△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，且AD＝AC，DE⊥BC，DE與AB相交于點(diǎn)E，EC與AD相交于點(diǎn)F。 （1）求證：△ABC∽△FCD； （2）若，求DE的長(zhǎng)。 （2000年河北省中考題） 11. 閱讀并解答問(wèn)題。 在給定的銳角△ABC中，

12、求作一個(gè)正方形DEFG，使D、E落在BC上，F(xiàn)、G分別落在AC、AB邊上，作法如下： 第一步：畫(huà)一個(gè)有3個(gè)頂點(diǎn)落在△ABC兩邊上的正方形D'E'F'G'。 第二步：連結(jié)BF'，并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F； 第三步：過(guò)F點(diǎn)作FE⊥BC于E； 第四步：過(guò)F點(diǎn)作FG∥BC交AB于點(diǎn)G； 第五步：過(guò)G點(diǎn)作GD⊥BC于點(diǎn)D。 四邊形DEFG即為所求作的四邊形DEFG，為正方形。 問(wèn)題： （1）證明上述所求作的四邊形DEFG為正方形； （2）在△ABC中，如果，∠BAC＝75°，求上述正方形DEFG的邊長(zhǎng)。 （江蘇省揚(yáng)州市中考題） 12. 如圖，在△ABC中，，在BC上有100個(gè)不同的點(diǎn)

13、，過(guò)這100個(gè)點(diǎn)分別作△ABC的內(nèi)接矩形…，設(shè)每個(gè)內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)分別為，則 ____________。 （安徽省競(jìng)賽題） 13. 如圖，在△ABC中，DE∥FG∥BC，GI∥EF∥AB，若△ADE、△EFG、△GIC的面積分別為，則△ABC的面積為_(kāi)___________。 14. 如圖，一個(gè)邊長(zhǎng)為3、4、5厘米的直角三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與正方形的頂點(diǎn)B重合，另兩個(gè)頂點(diǎn)分別在正方形的兩條邊AD、DC上，那么這個(gè)正方形的面積是____________厘米2。 （第11屆“希望杯”邀請(qǐng)賽試題） 15. 如圖，將一個(gè)矩形紙片ABCD沿AD和BC的中點(diǎn)連線對(duì)折，要使矩形AEFB與原

14、矩形相似，則原矩形的長(zhǎng)與寬的比為（ ） A. 2：1 B. C. D. 1：1 16. 如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝3AB，EF∥CD，EF將梯形ABCD分成面積相等的兩部分，則AE：ED等于（ ） A. 2 B. C. D. 【試題答案】 1. 3：1 2. 3. 或 4. （1）A；（2）相似比；相似比的平方；相似比的立方 5. C 6. C 7. B 8. C 9. 由△ABC∽△DCA，得 10. （1）略 （2）過(guò)A作AM⊥BC于M 由△ABC∽△FCD，得： 又，得 ∵DE∥AM， ，得 11. （1）易證明四邊形EFGD為矩形，由，而，得EF＝GF，故四邊形EFGD為正方形。 （2）過(guò)A作AQ⊥BC于Q交GF于P，且AQ＝BQ，∠BCA＝60°，∠QAC＝30°，，又 即，解得 由，得 12. 400 提示：從內(nèi)接一個(gè)矩形入手，探求內(nèi)接△ABC中任一矩形的長(zhǎng)與寬的關(guān)系。 13. 提示： 14. 解：設(shè)，則 由△BCE∽△EDF，得 又，即 15. C 16. C 提示：延長(zhǎng)DA、CB相交于G， 設(shè)，則 即