新課程背景下 高中二次函數(shù)教學探微 蘇教版（通用）

新課程背景下 高中二次函數(shù)教學探微 淮安市欽工中學 胡海洋 摘 要：本文從高中二次函數(shù)的概念入手，進一步研究了二次函數(shù)的解析式、性質(zhì)及應用，在對函數(shù)性質(zhì)的研究中，滲透著數(shù)形結(jié)合的思想，在二次函數(shù)的應用中，建立起二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式之間的有機聯(lián)系，有助于提高學生的思維能力、運算能力、想象能力和解決問題能力，為學生在高中階段學習其它函數(shù)提供了基礎(chǔ)和原型。 二次函數(shù)在高中數(shù)學中有著特殊的地位，對它的研究，是對進一步學習研究其它函數(shù)提供了一種函數(shù)原型。本文擬打算通過對二次函數(shù)的定義，單調(diào)性、對稱性的刻畫，描繪其在相關(guān)問題研究中的應用，以便見微知著，為對其它函數(shù)的教學提供原型啟發(fā)。 一、對函數(shù)概念的進一步理解 1、用映射的觀點定義函數(shù) 初中階段已經(jīng)講述了函數(shù)的定義，進入高中后,在學習集合和映射的基礎(chǔ)上，對函數(shù)的概念也進行了轉(zhuǎn)變，主要是用映射觀點來闡明函數(shù)，這里就以學生比較熟悉的函數(shù)（二次函數(shù)）為例來更深入的認識函數(shù)的概念。函數(shù)是對于非空的數(shù)集A、B，從一個集合A（定義域）到另一個集合B的映射?:A→B。使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)與集合A中的元素x對應，記為?(x)= ax2+ bx+c(a≠0)這里ax2+bx+c表示對應法則，又表示定義域中的元素x在值域中的象，從而使學生對函數(shù)的概念有一個較明確的認識。 例1：已知?(x)= 2x2+x+2，求?(x+1) 例2：設(shè)?(x+1)=x2-4x+1,求?(x) ２、研究函數(shù)的定義域及值域 例3：求函數(shù)y = 的定義域 例4：求函數(shù)y = 的值域 解決本題求值域的思想來自函數(shù)的概念，要求集合A（定義域）為非空的數(shù)集，也就是原式化至yx2-(y+1)x+y=0后，定義域要求此關(guān)于x的二次方程的未知數(shù)x一定要有解，故可利用△≥0求得x有解時對應的y的范圍（也就是函數(shù)的值域）。 練習： (1)求函數(shù)y = 的定義域 (2)求函數(shù)y=的值域； 二、二次函數(shù)解析式的確定 二次函數(shù)的標準形式是¦(x)=ax2+bx+c(a¹0)，另外有頂點式¦(x)=a(x-k)2+h和根軸式¦(x)=a(x-x1)(x-x2)，根據(jù)問題的實際情況而設(shè)出解析式，通過方程（組）求解。其最一般的方法是待定系數(shù)法。 例1、已知拋物線y=ax2+2x+c的對稱軸是x= 1，其最高點在直線y=2x+1上，求拋物線的方程。 例2、已知拋物線y=x2-2x+m與x軸有兩個不同的交點A、B，其坐標分別是A(x1，0)、B(x2，0)，其中x1<x2，且x12+x22=4。 （1）求這條拋物線的解析式； （2）設(shè)所求拋物線頂點為C，P是此拋物線上一點，且ÐPAC=900，求點P的坐標。 練習： 1、已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于兩點A(-3，0)、B(2，0)，且函數(shù)有最大值2。 （1）求二次函數(shù)的解析式； （2）設(shè)此二次函數(shù)圖象的頂點為P，求DABP的面積。 2、已知二次函數(shù)y=x2-kx+k+4的圖象與y軸交于點C，且與x軸正半軸交于A、B兩點，（點A在點B的左側(cè)），若點A，B的橫坐標是整數(shù)。 （1）確定這個二次函數(shù)的解析式并求它的頂點坐標； （2）若點D的坐標是(0，6)，點P(t，0)是線段AB上的一個動點，它可與點A重合，但不與點B重合，設(shè)四邊形PBCD的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式； 三、二次函數(shù)性質(zhì)的研究 高中階階段要加強對拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點坐標、對稱軸、最值、單調(diào)性等的研究，和對某些與二次函數(shù)有關(guān)的絕對值函數(shù)及圖象的研究。學習單調(diào)性時，必須讓學生對二次函數(shù)y=ax2+bx+c在區(qū)間（－∞，－b/2a]及[－b/2a，+∞） 上的單調(diào)性的結(jié)論用定義進行嚴格的論證，使它建立在嚴密理論的基礎(chǔ)上，與此同時，進一步充分利用函數(shù)圖象的直觀性，給學生配以適當?shù)木毩?，使學生逐步自覺地利用圖象學習二次函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)單調(diào)性。 1、最值的研究 例3：已知函數(shù)?(x)= x2+2ax ，x∈[-5,5] (1)當a=-1時，求函數(shù)?(x)的最大值與最小值； (2)求函數(shù)?(x)的最大值g(a)，并求g(a)的最大值。 2、單調(diào)性、對稱性的研究 例1：畫出下列函數(shù)的圖象，并通過圖象研究其單調(diào)性和對稱性。 （1）y=|x2－2| （2）y= x2-2|x|－3 這里要使學生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的差異和聯(lián)系。掌握把含有絕對值記號的函數(shù)用分段函數(shù)去表示，然后畫出其圖象，并通過圖象觀察其單調(diào)性和對稱性。 練習： (1)已知函數(shù)y=3x2+2tx+6圖象關(guān)于直線x=1對稱,求實數(shù)t的值； (2)二次函數(shù)y=3x2+2(a-1)x+6在區(qū)間(-∞,1)上是減函數(shù)，求a的取值范圍。 四、二次函數(shù)的相關(guān)應用 （一）、在二次方程中的應用 二次方程實根的分布問題，就是討論二次函數(shù)的圖象與x軸交點與坐標原點的位置關(guān)系的問題，因此，理解交點及二次函數(shù)系數(shù)（a─開口方向，a、b—對稱軸，c—圖象與y軸的交點）的幾何意義，掌握二次函數(shù)圖象的特點，是解決此類問題的關(guān)健。 例1、已知關(guān)于x的方程x2+(a+1)x+2a=0，分別在下列條件下，求實數(shù)a的取值范圍。 （1）有一個根小于-1，有一個根大于1； （2）兩根均在（-1，1）內(nèi)。 例2、已知關(guān)于x的方程kx2-4kx+1=0的兩個正根a、b滿足：|lga-lgb|£1，試求實數(shù)k的取值范圍。 例3、關(guān)于x的實系數(shù)方程x2+ax+b=0的兩實根a、b，請證明： （1）如果|a|<2，|b|<2，那么2|a|<4+b，且|b|<4； （2）如果2|a|<4+b，且|b|<4，那么|a|<2，|b|<2。 例4、設(shè)二次函數(shù)¦(x)=ax2+bx+c（a>0），方程¦(x)-x=0的兩根x1，x2滿足0<x1<x2<。 （1）當xÎ(0，x1)時，證明x<¦(x)<x1； （2）設(shè)函數(shù)¦(x)的圖象關(guān)于直線x=x0對稱，證明：x0<。 練習： 1、已知二次函數(shù)¦(x)=x2+x+a（a>0）滿足¦(m)<0，試判斷¦(m+1)的符號。 2、設(shè)集合A={(x，y)|y=x2+mx+2}，集合B={(x，y)|x-y+1=0且0£x£2}，若AÇB¹f，求實數(shù)m的取值范圍。 3、若拋物線y=x2+ax+2與連接兩點M(0，1)，N(2，3)的線段（含端點）有兩個相異交點，求a的取值范圍。 4、若二次函數(shù)¦(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在區(qū)間[-1，1]內(nèi)至少存在一點C，使¦(c)>0，求實數(shù)p的取值范圍。 （二）、在二次三項式中的應用 例5、已知a、b、c是實數(shù)，函數(shù)¦(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，當-1£x£1時，|¦(x)|£1，證明： （1）|c|£1； （2）當-1£x£1時，|g(x)|£2； （3）設(shè)a>0，當-1£x£1時，g(x)的最大值是2，求¦(x)。 例6、實系數(shù)多項式p(x)=ax2+bx+c(a³0，b³0)，當|x|£1時，|p(x)|£1，令q(x)=cx2+bx+a，試證明當|x|£1時，|q(x)|£2。 例7、已知二次函數(shù)¦(x)=ax2+bx+c(a¹0)，當-1£x£1時，有|¦(x)|£1，求證當-2£x£2時，|¦(x)|£7。 練習： 1、已知二次函數(shù)¦(x)=ax2+bx+c(a¹0)的圖象與直線y=25有公共點，且二次不等式ax2+bx+c>0的解集是(-1/2,1/3)，求實數(shù)a、b、c的取值范圍。 2、已知二次函數(shù)¦(x)=ax2+bx+c滿足|¦(-1)|£1，|¦(0)|£1，|¦(1)|£1，求證：當|x|£1時，|¦(x)|£。 3、試證明不存在滿足下列條件的二次三項式： （1）當-1£x£1時，|¦(x)£1； （2）|¦(2)|>8。 4、設(shè)二次三項式ax2+bx+c在區(qū)間[0，1]上的值的絕對值均不超過1，試求|a|+|b|+|c|的最大值。 5、若關(guān)于x的不等式x2-ax-6a<0的解集為一開區(qū)間，且此區(qū)間的長度不超過5，試求a的值。 6、已知二次函數(shù)¦(x)=ax2+bx+c和一次函數(shù)g(x)= -bx，其中a>b>c，a+b+c=0，(a、b、cÎR) （1）求證：兩圖象交于不同的兩點A、B； （2）求線段AB在x軸上的射影A1B1之長的取值范圍。 （三）、在二次不等式中的應用 解決二次不等式恒成立的問題，關(guān)健是理解二次函數(shù)的圖象在開口向上（或向下）的情況下，當其與x軸沒有交點時，其函數(shù)值大于（或小于）零恒成立。 例8、若不等式8x4+8(a-2)x2-a+5>0對任意實數(shù)x均成立，求實數(shù)a的取值范圍。 練習： 1、設(shè)對任意x，不等式x2log2+2xlog2+log2>0恒成立，求a的取值范圍。 2、對于滿面足k2-7k+12<0的一切k，不等式x<k恒成立，試求x的取值范圍。 二次函數(shù)是中學數(shù)學中很重要的內(nèi)容，它既簡單又具有豐富的內(nèi)涵和外延。二次函數(shù)作為最基本的初等函數(shù)，可以以它為素材來研究函數(shù)的單調(diào)性、對稱性、最值等性質(zhì)，還可建立起二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式之間的有機聯(lián)系；結(jié)合圖形，二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，它可以聯(lián)系其它平面曲線討論相互之間關(guān)系。 在二次函數(shù)的研究過程中既可以滲透代數(shù)的思想，也可以使數(shù)形結(jié)合的思想得以展示。對學生數(shù)學思想的形成，思維能力、運算能力、想象能力及解決問題能力的提高都具有奠基性的意義。