陜西省吳堡縣吳堡中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第一章 如何由遞推公式求通項(xiàng)公式典型例題素材 北師大版必修5（通用）

如何由遞推公式求通項(xiàng)公式 高中數(shù)學(xué)遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求解是高考的熱點(diǎn)之一，是一類考查思維能力的題型，要求考生進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯推理。找到數(shù)列的通項(xiàng)公式，重點(diǎn)是遞推的思想：從一般到特殊，從特殊到一般；化歸轉(zhuǎn)換思想，通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃?，轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列，達(dá)到化陌生為熟悉的目的。 下面就遞推數(shù)列求通項(xiàng)的基本類型作一個(gè)歸納，以供參考。 類型一： 或 分析：利用迭加或迭乘方法。即： 或 例1.(1) 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 （2）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 解：（1）由題知： （2） 兩式相減得： 即： 類型二： 分析：把原遞推公式轉(zhuǎn)為：，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。 例2.已知數(shù)列中，，求的通項(xiàng)公式。 解：由 可轉(zhuǎn)化為： 令 即 類型三： 分析：在此只研究?jī)煞N較為簡(jiǎn)單的情況，即是多項(xiàng)式或指數(shù)冪的形式。 （1）是多項(xiàng)式時(shí)轉(zhuǎn)為，再利用換元法轉(zhuǎn)為等比數(shù)列 （2）是指數(shù)冪： 若時(shí)則轉(zhuǎn)化為，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列 若時(shí)則轉(zhuǎn)化為 例3.（1）設(shè)數(shù)列中，，求的通項(xiàng)公式。 （2）設(shè)數(shù)列中，，求的通項(xiàng)公式。 解：（1）設(shè) 與原式比較系數(shù)得： 即 令 (2)設(shè) 展開(kāi)后得： 對(duì)比得： 令 類型四： 分析：這種類型一般是等式兩邊取對(duì)數(shù)后得：，再采用類型二進(jìn)行求解。 例4.設(shè)數(shù)列中，，求的通項(xiàng)公式。 解：由，兩邊取對(duì)數(shù)得: 設(shè)展開(kāi)后與上式對(duì)比得： 令，則 ，即 也即 類型五： 分析：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后再換元可轉(zhuǎn)化為類型二。 例5.已知數(shù)列滿足：，求的通項(xiàng)公式。 解：原式兩邊取倒數(shù)得： 即