陜西省吳堡縣吳堡中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第一章 疊加、疊乘、迭代遞推、代數(shù)轉(zhuǎn)化拓展資料素材 北師大版必修5（通用）

疊加、 疊乘、迭代遞推、代數(shù)轉(zhuǎn)化 已知數(shù)列的遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式的方法大約分為兩類：一類是根據(jù)前幾項的特點歸納猜想出a的表達(dá)式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明；另一類是將已知遞推關(guān)系，用代數(shù)法、迭代法、換元法，或是轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列（等差或等比）的方法求通項．第一類方法要求學(xué)生有一定的觀察能力以及足夠的結(jié)構(gòu)經(jīng)驗，才能順利完成，對學(xué)生要求高．第二類方法有一定的規(guī)律性，只需遵循其特有規(guī)律方可順利求解．在教學(xué)中，我針對一些數(shù)列特有的規(guī)律總結(jié)了一些求遞推數(shù)列的通項公式的解題方法． 一、疊加相消． 類型一：形如a＝a+ f (n)， 其中f (n) 為關(guān)于n的多項式或指數(shù)形式（a）或可裂項成差的分式形式．——可移項后疊加相消． 例1：已知數(shù)列｛a｝,a＝0,n∈N，a＝a＋（2n－1），求通項公式a． 解：∵a=a＋（2n－1） ∴a=a＋（2n－1） ∴a－a =1 、a－a=3 、…… a－a=2n－3 ∴a= a＋(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a)=0＋1＋3＋5＋…＋(2n－3) =[1＋(2n－3)]( n－1)=( n－1)2 n∈N 練習(xí)1：⑴.已知數(shù)列｛a｝,a=1, n∈N，a=a＋3 n ， 求通項公式a． ⑵.已知數(shù)列｛a｝滿足a＝3，，n∈N，求a． 二、疊乘相約． 類型二：形如.其中f (n) = （p≠0，m≠0,b –c = km,k∈Z）或 =kn（k≠0）或= km( k ≠ 0, 0＜m且m ≠ 1)． 例2：已知數(shù)列｛a｝, a=1，a＞0,( n＋1) a2 －n a2＋aa=0，求a． 解：∵( n＋1) a2 －n a2＋aa=0 ∴ [(n＋1) a－na](a＋a)= 0 ∵ a＞0 ∴ a＋a ＞0 ∴ (n＋1) a－na=0 ∴ ∴ 練習(xí)2：⑴已知數(shù)列｛a｝滿足S= a( n∈N), S是{ a}的前n項和,a=1,求a． ⑵.已知數(shù)列｛a｝滿足a= 3 na( n∈N)，且a=1，求a． 三、逐層迭代遞推． 類型三：形如a= f (a)，其中f (a)是關(guān)于a的函數(shù).——需逐層迭代、細(xì)心尋找其中規(guī)律． 例3：已知數(shù)列｛a｝，a=1, n∈N，a= 2a＋3 n ,求通項公式a． 解： ∵a= 2 a＋3 n ∴ a=2 a＋3 n-1 =2(2 a＋3 n-2)＋3 n-1 = 22(2 a＋3 n-3)＋2·3 n-2＋3 n-1 =……=2 n-2(2 a＋3 )＋2 n-3·3 2＋2 n-4·3 3＋2 n-5·3 4＋…＋22·3 n-3＋2·3 n-2＋3 n-1 =2 n-1＋2 n-2·3 ＋2 n-3·3 2＋2 n-4·3 3＋…＋22·3 n-3＋2·3 n-2＋3 n-1 練習(xí)3:⑴.若數(shù)列｛a｝中，a=3，且a=a（n∈N），求通項a. ⑵.已知數(shù)列｛a｝的前n項和S滿足S=2a+，n∈N,求通項a． 四、運(yùn)用代數(shù)方法變形，轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求解． 類型四：形如= ，（pq ≠ 0）．且的數(shù)列，——可通過倒數(shù)變形為基本數(shù)列問題． 當(dāng)p = －q時，則有： 轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列； 當(dāng)p ≠ －q時，則有：．同類型五轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列． 例4：若數(shù)列｛a｝中，a=1，a= n∈N，求通項a． 解： ∵ 又 ∴ ， ∴ ∴ ∵ ∴數(shù)列{ a}是首項為1，公差為的等差數(shù)列． ∴=1＋ ∴a= n∈N 練習(xí)4：已知f (n) = ，數(shù)列{ a}滿足 a=1，a=f (a)，求a． 類型五：形如a＝pa+ q ,pq≠0 ，p、q為常數(shù)． 當(dāng)p ＝1時，為等差數(shù)列； 當(dāng)p ≠1時，可在兩邊同時加上同一個數(shù)x，即a+ x = pa+ q + x a+ x = p(a+ )， 令x = ∴x = 時，有a+ x = p(a+ x )， 從而轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列 {a+ } 求解． 例5：已知數(shù)列{a}中，a=1，a= a+ 1，n= 1、2、3、…，求通項a． 解：∵ a= a+ 1 a－2 =(a －2) 又∵a－2 = -1≠0 ∴數(shù)列{ a－2}首項為-1，公比為的等比數(shù)列． ∴ a－2 = -1 即 a= 2 －2 n∈N 練習(xí)5：⑴.已知 a=1，a= 2 a+ 3 (n = 2、3、4…) ，求數(shù)列{a}的通項． ⑵. 已知數(shù)列｛a｝滿足a= ，a=，求a． 類型六：形如a＝pa+ f (n)，p≠0且 p為常數(shù)，f (n)為關(guān)于n的函數(shù)． 當(dāng)p ＝1時，則 a＝a+ f (n) 即類型一． 當(dāng)p ≠1時，f (n)為關(guān)于n的多項式或指數(shù)形式（a）或指數(shù)和多項式的混合形式． ⑴若f (n)為關(guān)于n的多項式（f (n) = kn + b或kn+ bn + c，k、b、c為常數(shù)），——可用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列． 例6：已知數(shù)列{ a}滿足a=1，a= 2a＋n，n∈N求a． 解：令a+ x[a(n+1)+ b(n+1) + c] = 2(a+ an+ bn + c) 即 a= 2 a+ (2a–ax)n+ (2b -2ax – bx)n +2c –ax –bx – cx 比較系數(shù)得： 令x = 1，得： ∴ a+ (n+1)+2(n+1) + 3 = 2(a+ n+2n + 3) ∵ a+1+2×1+3 = 7 令b= a+ n+2n + 3 則 b= 2b b= 7 ∴數(shù)列{ b}為首項為7，公比為2德等比數(shù)列 ∴ b= 7× 2 即 a+ n+2n + 3 = 7× 2 ∴ a= 7× 2－( n+2n + 3 ) n∈N ⑵若f (n)為關(guān)于n的指數(shù)形式（a）． ①當(dāng)p不等于底數(shù)a時，可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列； ②當(dāng)p等于底數(shù)a時，可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列． 例7：（同例3）若a=1，a= 2 a+ 3，(n = 2、3、4…) ，求數(shù)列{a}的通項a． 解: ∵ a= 2 a+ 3 ∴ 令a+ x×3= 2(a+x×3) 得 a= 2 a－x×3 令-x×3= 3 x = -1 ∴ a－3= 2(a－3) 又 ∵ a－3 = - 2 ∴數(shù)列{}是首項為-2,公比為2的等比數(shù)列． ∴=-2·2 即a= 3-2 n∈N 例8：數(shù)列{ a}中,a=5且a=3a+ 3-1 (n = 2、3、4…) 試求通項a． 解： a=3a+ 3-1 a 3 {}是公差為1的等差數(shù)列． =+() = +() = n + a= ( n∈N ⑶若f (n)為關(guān)于n的多項式和指數(shù)形式（a）的混合式，則先轉(zhuǎn)換多項式形式在轉(zhuǎn)換指數(shù)形式．例如上面的例8． 練習(xí)6:⑴.已知數(shù)列{a}中a= 1,a= 3 a+ n ,; 求{a}的通項． ⑵設(shè)a為常數(shù)，且a= 3－2 a (n∈N且n ≥ 2 )． 證明：對任意n ≥ 1，a= [3+ (-1)2] +(-1)2a． 類型七：形如a= p a+ q a( pq ≠ 0， p、q為常數(shù)且p+ 4q > 0 )，——可用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列． 例9: 已知數(shù)列{a}中a= 1, a= 2且 ,; 求{a}的通項． 解:令a+x a= (1+x) a+ 2 a a+x a= (1+x)( a+ a) 令x = x+ x – 2 = 0 x = 1或 -2 當(dāng)x = 1時,a+ a=2(a+ a) 從而a+ a= 1 + 2 = 3 ∴數(shù)列{ a+ a}是首項為3且公比為2的等比數(shù)列. ∴ a+ a= 3 …… …… ① 當(dāng)x = - 2時, a- 2a= - (a-2a) , 而 a- 2a= 0 ∴ a- 2a= 0 …… …… ② 由①、②得: a= 2 , 練習(xí)7：⑴已知: a= 2, a= , ,(n = 1、2、3、……),求數(shù)列{ a}的通項． ⑵已知數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、……，根據(jù)規(guī)律求出該數(shù)列的通項． 五、數(shù)列的簡單應(yīng)用. 例10:設(shè)棋子在正四面體ABCD的表面從一個頂點移向另外三個頂點時等可能的.現(xiàn)拋擲骰子,根據(jù)其點數(shù)決定棋子是否移動,若投出的點數(shù)是奇數(shù),則棋子不動；若投出的點數(shù)是偶數(shù),棋子移動到另外一個頂點.若棋子初始位置在頂點A，則: ⑴投了三次骰子,棋子恰巧在頂點B的概率是多少? ⑵投了四次骰子,棋子都不在頂點B的概率是多少? ⑶投了四次骰子,棋子才到達(dá)頂點B的概率是多少？ 分析：考慮最后一次投骰子分為兩種情況 ①最后一次棋子動；②最后一次棋子不動． 解：∵ 事件投一次骰子棋子不動的概率為；事件投一次骰子棋子動且到達(dá)頂點B的概率為 =． ⑴．投了三次骰子,棋子恰巧在頂點B分為兩種情況 ①.最后一次棋子不動，即前一次棋子恰在頂點B；②.最后一次棋子動，且棋子移動到B點． 設(shè)投了i次骰子，棋子恰好在頂點B的概率為p，則棋子不在頂點B的概率為(1- p)．所以，投了i+1次骰子，棋子恰好在頂點B的概率：p= p×+ (1- p)× i = 1、2、3、4、…… ∴ p= + ×p ∵ p= = ∴ p= ∴ p= ⑵．投了四次骰子,棋子都不在頂點B，說明前幾次棋子都不在B點，應(yīng)分為兩種情況 ①最后一次棋子不動；②最后一次棋子動，且不到B點． 設(shè)投了i次骰子，棋子都不在頂點B的概率為,則投了i+1次骰子，棋子都不在頂點B的概率為：= ×+ ××(1﹣) i = 1、2、3、4、…… 即：= 又∵= +×(1﹣) = ∴ = () ⑶．投了四次骰子,棋子才到達(dá)頂點B；說明前三次棋子都不在B點，最后一次棋子動且 到達(dá)頂點B．設(shè)其概率為P則： P = × = ×()= 答：（略）． 例11：用磚砌墻，第一層（底層）用去了全部磚塊的一半多一塊；第二層用去了剩下的一半多一塊，…，依次類推，每層都用去了上層剩下的一半多一塊.如果第九層恰好磚塊用完，那么一共用了多少塊磚？ 分析：本題圍繞兩個量即每層的磚塊數(shù)a和剩下的磚塊數(shù)b，關(guān)鍵是找出a和b的關(guān)系式，通過方程(組)求解． 解：設(shè)第i層所用的磚塊數(shù)為a，剩下的磚塊數(shù)為b(i = 1、2、3、4、…… )則b= 0，且設(shè)b為全部的磚塊數(shù)，依題意，得 a=b+ 1，a=b+ 1，…… a=b+ 1 … … … … ① 又 b= a+ b … … … … … ② 聯(lián)立①②得 b-b=b+ 1 即b=b- 1 ∴ b+ 2 =(b+ 2) ∴ b+2 = ()(b+ 2 ) ∴ b+2 = 2×2 ∴ b= 1022 練習(xí)8：⑴十級臺階，可以一步上一級，也可以一步上兩級；問上完十級臺階有多少種不同走法？ ⑵. 三角形內(nèi)有n個點，由這n個點和三角形的三個頂點，這n + 3個點可以組成多少個不重疊(任意兩個三角形無重疊部分)的三角形？ ⑶．甲、乙、丙、丁四人傳球，球從一人手中傳向另外三個人是等可能的.若開始時球在甲的手中．若傳了n次球，球在甲手中的概率為a；球在乙手中的概率為b.(n = 1、2、3、4、…… ). ①問傳了五次球，球恰巧傳到甲手中的概率a和乙手中的概率b分別是多少？ ②若傳了n次球，試比較球在甲手中的概率a與球在乙手中的概率b的大小. ③傳球次數(shù)無限多時，球在誰手中的概率大？ 參考答案 練習(xí)1：⑴. a=(3 n-1) ⑵. a= 練習(xí)2：⑴. a= n -1 ⑵. a= 練習(xí)3：⑴. a= 3 (提示：可兩邊取對數(shù)) ⑵. a= [2+ (-1)] 練習(xí)4：a= 練習(xí)5：⑴ a= 2-3 ⑵ a= 練習(xí)6：⑴可得a+(n+1)+= 3(a+n +) 從而a=×3-(n +) ⑵ (略) 練習(xí)7：⑴a= 3 - ， ⑵由已知得a= a+ a a=[()-()] 練習(xí)8：⑴∵a= a+ a， a= 1，a= 2，∴a= 89 ⑵∵a= a+ 2 ，a= 3 ∴a= 2n+1 ⑶①∵a=(1 - a) b= (1 - b) a= 0 b= ∴a= ； b= . ②可解得a= -× b= +× ∴當(dāng)n為奇數(shù)時， a<<b；當(dāng)n為偶數(shù)時，a>>b ③當(dāng)n → ∞時，a→，b→ 故球在各人手中的概率一樣大．