陜西省吳堡縣吳堡中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第一章 數(shù)列求和的若干常用方法素材 北師大版必修5（通用）

數(shù)列求和的若干常用方法 數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，也是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)考查對(duì)象。除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧.如某些特殊數(shù)列的求和可采用分部求和法轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的和或用裂項(xiàng)求和法、錯(cuò)位相減法、逆序相加法、組合化歸法，遞推法等。本文就此總結(jié)如下，供參考。 一、分組求和法 所謂分組法求和就是：對(duì)一類既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列的數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并。 例1．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和，數(shù)列{bn}滿 . （Ⅰ）證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn。 解析：（Ⅰ）由， 兩式相減得：， 同定義知是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列. （Ⅱ） 等式左、右兩邊分別相加得： = 例2． 已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，前10項(xiàng)的和為145，求： 解析：首先由 則： 二、裂項(xiàng)求和法 這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的. 通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：（1） （2） （3）等。 例3. 在數(shù)列{an}中，，又， 求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和. 解析： ∵ 　 ∴ ∴ 數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和 ＝ ＝ 例4．設(shè)｛an｝是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，并且對(duì)所有自然數(shù)n，an與2的等差中項(xiàng)等于Sn與2的等比中項(xiàng). (1)寫出數(shù)列｛an｝的前三項(xiàng)；(2)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式(寫出推證過(guò)程)； (3)令bn=(n∈N)，求：b1+b2+…+bn-n. 解析：(1)略；(2) an=4n-2.； (3)令cn=bn-1, 則cn== = b1+b2+…+bn-n=c1+c2+…+cn = 評(píng)析：一般地，若數(shù)列為等差數(shù)列，且公差不為0，首項(xiàng)也不為0，則求和：首先考慮則=。下列求和： 也可用裂項(xiàng)求和法。 三、 錯(cuò)位相減法 設(shè)數(shù)列的等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)和求解，均可用錯(cuò)位相減法。 例5.已知，數(shù)列是首項(xiàng)為a，公比也為a的等比數(shù)列，令， 求數(shù)列的前項(xiàng)和。 解析： ①-②得： 。 例6．已知數(shù)列是等差數(shù)列，且 （Ⅰ）略；（Ⅱ）令求數(shù)列前n項(xiàng)和的公式. 解析：（Ⅰ）略；（Ⅱ）解：由得 ① ② 將①式減去②式，得 所以 四、組合化歸法 例7.求和：。 解析： 而連續(xù)自然數(shù)可表示為組合數(shù)的形式，于是，數(shù)列的求和便轉(zhuǎn)化為組合數(shù)的求和問(wèn)題了。 評(píng)析：可轉(zhuǎn)化為連續(xù)自然數(shù)乘積的數(shù)列求和問(wèn)題，均可考慮組合化歸法。 五、 逆序相加法 例8.設(shè)數(shù)列是公差為，且首項(xiàng)為的等差數(shù)列， 求和： 解析：因?yàn)? 評(píng)析：此類問(wèn)題還可變換為探索題形： 已知數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在等差數(shù)列使得 對(duì)一切自然數(shù)n都成立。 六、 遞推法 例6. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和與滿足：成等比數(shù)列，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和。 解析：由題意： 評(píng)析：本題的常規(guī)方法是先求通項(xiàng)公式，然后求和，但逆向思維，直接求出數(shù)列的前項(xiàng)和的遞推公式，是一種最佳解法。