陜西省吳堡縣吳堡中學高中數(shù)學 第一章 數(shù)列求和的若干常用方法素材 北師大版必修5（通用）

數(shù)列求和的若干常用方法 數(shù)列求和是數(shù)列的重要內容之一，也是高考數(shù)學的重點考查對象。除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分數(shù)列的求和都需要一定的技巧.如某些特殊數(shù)列的求和可采用分部求和法轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的和或用裂項求和法、錯位相減法、逆序相加法、組合化歸法，遞推法等。本文就此總結如下，供參考。 一、分組求和法 所謂分組法求和就是：對一類既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列的數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并。 例1．數(shù)列{an}的前n項和，數(shù)列{bn}滿 . （Ⅰ）證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列{bn}的前n項和Tn。 解析：（Ⅰ）由， 兩式相減得：， 同定義知是首項為1，公比為2的等比數(shù)列. （Ⅱ） 等式左、右兩邊分別相加得： = 例2． 已知等差數(shù)列的首項為1，前10項的和為145，求： 解析：首先由 則： 二、裂項求和法 這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應用. 裂項法的實質是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的. 通項分解（裂項）如：（1） （2） （3）等。 例3. 在數(shù)列{an}中，，又， 求數(shù)列{bn}的前n項的和. 解析： ∵ 　 ∴ ∴ 數(shù)列{bn}的前n項和 ＝ ＝ 例4．設｛an｝是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項和為Sn，并且對所有自然數(shù)n，an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項. (1)寫出數(shù)列｛an｝的前三項；(2)求數(shù)列｛an｝的通項公式(寫出推證過程)； (3)令bn=(n∈N)，求：b1+b2+…+bn-n. 解析：(1)略；(2) an=4n-2.； (3)令cn=bn-1, 則cn== = b1+b2+…+bn-n=c1+c2+…+cn = 評析：一般地，若數(shù)列為等差數(shù)列，且公差不為0，首項也不為0，則求和：首先考慮則=。下列求和： 也可用裂項求和法。 三、 錯位相減法 設數(shù)列的等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列的前項和求解，均可用錯位相減法。 例5.已知，數(shù)列是首項為a，公比也為a的等比數(shù)列，令， 求數(shù)列的前項和。 解析： ①-②得： 。 例6．已知數(shù)列是等差數(shù)列，且 （Ⅰ）略；（Ⅱ）令求數(shù)列前n項和的公式. 解析：（Ⅰ）略；（Ⅱ）解：由得 ① ② 將①式減去②式，得 所以 四、組合化歸法 例7.求和：。 解析： 而連續(xù)自然數(shù)可表示為組合數(shù)的形式，于是，數(shù)列的求和便轉化為組合數(shù)的求和問題了。 評析：可轉化為連續(xù)自然數(shù)乘積的數(shù)列求和問題，均可考慮組合化歸法。 五、 逆序相加法 例8.設數(shù)列是公差為，且首項為的等差數(shù)列， 求和： 解析：因為 評析：此類問題還可變換為探索題形： 已知數(shù)列的前項和，是否存在等差數(shù)列使得 對一切自然數(shù)n都成立。 六、 遞推法 例6. 已知數(shù)列的前項和與滿足：成等比數(shù)列，且，求數(shù)列的前項和。 解析：由題意： 評析：本題的常規(guī)方法是先求通項公式，然后求和，但逆向思維，直接求出數(shù)列的前項和的遞推公式，是一種最佳解法。