高中數(shù)學(xué) 2-3-1第2章 第1課時 等比數(shù)列的概念及通項公式同步檢測 新人教B版必修5

第2章 2.3 第1課時等比數(shù)列的概念及通項公式 一、選擇題 1．公差不為零的等差數(shù)列{an}，a2，a3，a7成等比數(shù)列，則它的公比為(　　) A．－4 B．－ C. D．4 [答案]　D [解析]　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意知d≠0， 且a＝a2a7，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)， 化簡，得a1＝－d. ∴a2＝a1＋d＝－d＋d＝d， a3＝a2＋d＝d＋d＝d， ∴＝4，故選D. 2．若2a，b,2c成等比數(shù)列，則函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸的交點個數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．0或2 [答案]　B [解析]　由題意，得b2＝4ac，令ax2＋bx＋c＝0， ∴Δ＝b2－4ac＝0，故函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸相切，故選B. 3．在等比數(shù)列{an}中，a5·a6·a7＝3，a6·a7·a8＝24，則a7·a8·a9的值等于(　　) A．48 B．72 C．144 D．192 [答案]　D [解析]　設(shè)公比為q，則a6·a7·a8＝a5·a6·a7·q3， ∴q3＝＝8. 又a7·a8·a9＝a6·a7·a8·q3＝24×8＝192. 4．(2020·全國卷Ⅰ)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，則a4a5a6＝(　　) A．5 B．7 C．6 D．4 [答案]　A [解析]　由等比數(shù)列的性質(zhì)知a1a2a3＝(a1a3)·a2＝a＝5， a7a8a9＝(a7a9)·a8＝a＝10，所以a2a8＝50， 所以a4a5a6＝(a4a6)·a5＝a＝()3＝(50)3＝5. 5．(2020·福州高二檢測)等比數(shù)列{an}的各項為正數(shù)，公比為q，若q2＝4，則的值為(　　) A. B．± C．2 D．±2 [答案]　A [解析]　由q2＝4得q＝±2， 因為數(shù)列{an}各項為正數(shù)，所以q＝2， 又因為a4＝a3q，a5＝a4q， ∴a4＋a5＝a3q＋a1q＝(a3＋a4)q， ∴＝＝. 6．(2020·沈陽高二檢測)已知等比數(shù)列{an}，若a1＋a2＝20，a3＋a4＝80，則a5＋a6等于(　　) A．480 B．320 C．240 D．120 [答案]　B [解析]　∵a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6成等比數(shù)列，∴(a3＋a4)2＝(a1＋a2)·(a5＋a6)，即802＝20·(a5＋a6)．∴a5＋a6＝320，故選B. 二、填空題 7．設(shè)數(shù)列{an}為公比q>1的等比數(shù)列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的兩根，則a6＋a7＝________. [答案]　18 [解析]　由題意得a4＋a5＝2，a4a5＝，∵q>1，∴a5>a4，解得a4＝，a5＝，∴q＝3，∴a6＋a7＝a5(q＋q2)＝18. 8．若a1，a2，a3，a4，a5為等比數(shù)列，其公比為2，則＝________. [答案]　 [解析]　由已知：a3＝2a2，a4＝4a2，a5＝8a2， ∴＝＝＝. 三、解答題 9．已知{an}為等比數(shù)列，a3＝2，a2＋a4＝，求{an}的通項公式． [解析]　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q≠0. a2＝＝，a4＝a3q＝2q， 又∵＋2q＝， 解得q＝或q＝3. 當(dāng)q＝時，a1＝18， ∴an＝18×()n－1＝2×33－n； 當(dāng)q＝3時，a1＝， ∴an＝×3n－1＝2×3n－3. 10．(2020·宿州高二檢測)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，首項a1＝2，a4＝16. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且b3＝a3，b5＝a5，求數(shù)列{bn}的通項公式及前n項的和． [解析]　(1)因為數(shù)列{an}是等比數(shù)列且a1＝2，a4＝16， 所以q3＝＝＝8，故q＝2. 數(shù)列{an}的通項公式為：an＝a1·qn－1＝2·2n－1＝2n. (2)由(1)知：b3＝a3＝23＝8，b5＝a5＝25＝32， 而數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，故數(shù)列{bn}的公差d＝＝＝12. 所以{bn}的遞項公式bn＝b3＋(n－3)d ＝8＋(n－3)·12 即bn＝12n－28(n∈N＋)，又b1＝－16，所以其前n項的和 Sn＝＝6n2－22n. 能力提升 一、選擇題 1．(2020·江西文)等比數(shù)列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5>a2，則an＝(　　) A．(－2)n－1 B．－(－2)n－1 C．(－2)n D．－(－2)n [答案]　A [解析]　由a5＝－8a2，a5>a2知a1>0，根據(jù)a5＝－8a2有a1q4＝－8a1q得q＝－2.所以an＝(－2)n－1. 2．公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a4是a3與a7的等比中項，S8＝32，則S10等于(　　) A．18 B．24 C．60 D．90 [答案]　C [解析]　由a＝a3·a7，得(a1＋3d)2＝(a1＋3d)(a1＋6d)，得2a1＋3d＝0， 又∵S8＝8a1＋28d＝32， ∴a1＝－3，d＝2， ∴Sn＝10a1＋45d＝60. 故選C. 二、填空題 3．已知a、b、c成等差數(shù)列，且a、c、b成等比數(shù)列，則a:b:c＝________.(其中a、b、c不相等)． [答案]　4:1:(－2) [解析]　由已知，得 由①，得a＝2b－c，代入②得2b2－bc－c2＝0，解得b＝－c，或(b＝c舍去)． ∴c＝－2b.∴a＝2b－c＝4b. ∴a:b:c＝4b:b:(－2b)＝4:1:(－2)． 4．已知各項都為正數(shù)的等比數(shù)列的任何一項都等于它后面相鄰兩項的和，則該數(shù)列的公比q＝________. [答案]　 [解析]　設(shè)該正項等比數(shù)列為{an}，公比為q，由題意，得 an＝an＋1＋an＋2＝anq＋anq2， ∴q2＋q－1＝0，∵q>0，∴q＝. 三、解答題 5．(2020·全國Ⅰ文)記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比數(shù)列，求Sn. [解析]　設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，依題設(shè)有 ， 即， 解得a1＝1，d＝3或a1＝8，d＝－4， 因此Sn＝n(3n－1)，或Sn＝2n(5－n)． 6．有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和為12，求這四個數(shù)． [解析]　設(shè)四個數(shù)依次為a－d，a，a＋d，，依題意，得 ， 解得a＝4或9. 當(dāng)a＝4時，d＝4，這四個數(shù)依次為0,4,8,16. 當(dāng)a＝9時，d＝－6，這四個數(shù)為15,9,3,1. ∴這四個數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1. 7．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3…)． 求證：數(shù)列{}是等比數(shù)列． [解析]　∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn. ∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)， 整理得nSn＋1＝2(n＋1)Sn. ∴＝2. 故{}是以2為公比的等比數(shù)列． 8．(2020·江西)已知兩個等比數(shù)列{an}，{bn}，滿足a1＝a(a>0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3. (1)若a＝1，求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若數(shù)列{an}唯一，求a的值． [解析]　(1)設(shè){an}的公比為q，則 b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2， 由b1，b2，b3成等比數(shù)列得(2＋q)2＝2(3＋q2) 即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋，q2＝2－ 所以{an}的通項公式為an＝(2＋)n－1 或an＝(2－)n－1. (2)設(shè){an}的公比為q，則由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a－1＝0(*) 由a>0得Δ＝4a2＋4a>0，故方程(*)有兩個不同的實根． 由{an}唯一，知方程(*)必有一根為0，代入(*)得a＝.