江蘇省南京市建鄴高級中學高三數(shù)學第一輪復習《第5課時 函數(shù)的單調(diào)性》學案

第5課時 函數(shù)的單調(diào)性 【考點概述】 ①理解函數(shù)的單調(diào)性、最大（?。┲导捌鋷缀我饬x； ②理解函數(shù)單調(diào)性的定義，掌握函數(shù)單調(diào)性的判定與證明，能利用函數(shù)的單調(diào)性解決一些問題． 【重點難點】： 領(lǐng)會函數(shù)單調(diào)性的實質(zhì)，明確單調(diào)性是一個局部概念，并能利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明具體函數(shù)的單調(diào)性，領(lǐng)會函數(shù)最值的實質(zhì)，明確它是一個整體概念，學會利用函數(shù)的單調(diào)性求最值． 【知識掃描】 1.增函數(shù)和減函數(shù) 一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為： 如果對于定義域內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值，當時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是___________. 如果對于定義域內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值，當時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是___________. 2.單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間 如果一個函數(shù)在某個區(qū)間上是_____________或是____________，就說這個函數(shù)在這個區(qū)間上具有_____________（區(qū)間稱為____________）。 3.最大（?。┲? （前面已復習過） 4.判斷函數(shù)單調(diào)性的方法 （1）定義法：利用定義嚴格判斷。 （2）導數(shù)法 ①若在某個區(qū)間內(nèi)可導，當時，為______函數(shù)；當時，為______函數(shù)。 ②若在某個區(qū)間內(nèi)可導，當在該區(qū)間上遞增時，則______0，當 在該區(qū)間上遞減時，則______0。 （3）利用函數(shù)的運算性質(zhì)：如若為增函數(shù)，則①為增函數(shù)； ②為減函數(shù)（）；③為增函數(shù)（）；④為增 函數(shù)（）；⑤為減函數(shù)。 （4）利用復合函數(shù)關(guān)系判斷單調(diào)性 法則是“___________”即兩個簡單函數(shù)的單調(diào)性相同，則這兩個函數(shù)的復合函數(shù)為_______，若兩個簡單函數(shù)的單調(diào)性相反，則這兩個函數(shù)的復合函數(shù)為_______， （5）圖像法 （6）奇函數(shù)在兩個對稱區(qū)間上具有_____的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱區(qū)間上具有_________的單調(diào)性； 【熱身練習】 1.設(shè)函數(shù)是上的減函數(shù)，則的取值范圍為 . 2．已知函數(shù)在定義域R上是單調(diào)減函數(shù)，且，則的取值范圍是 。 3． 函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，則= ． 4．已知：函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍是_____ 5．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是________________. 【范例透析】 【例1】已知函數(shù)， （1）當時，求最大值； （2）求實數(shù)的取值范圍，使在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)。 【例2】已知函數(shù)， （1）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明上是單調(diào)遞增函數(shù)； （2）若的定義域、值域都是，求實數(shù)a的值. 【例3】已知函數(shù)和的圖像關(guān)于原點對稱，且。 （1）求函數(shù)的解析式； （2）若在上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍。 ﹡【例4】函數(shù)對任意的a,b∈R，都有，并且當x>0時，>1. (1).求證：是R上的增函數(shù)。 （2）.若，解不等式 【方法規(guī)律總結(jié)】 1. 高考中主要考察求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性的應(yīng)用（如：利用函數(shù)單調(diào)性求值域、比較大小、解不等式等），多以小題的形式出現(xiàn)。但近幾年常以導數(shù)為工具研究函數(shù)單調(diào)性問題在大題中是必考內(nèi)容。 2. 用定義證明（判斷）函數(shù)在某一區(qū)間上的單調(diào)性，其步驟是： （1） 設(shè)是該區(qū)間上的任意兩個值，且； （2） 作差，然后變形；( 注意變形結(jié)果) （3） 判定的符號 （4） 根據(jù)定義作出結(jié)論。 注意：1。單調(diào)性定義中的要有任意性，不能由兩個特殊值的大小決定單調(diào)性。 2.不同的單調(diào)區(qū)間不能用并集表示 【鞏固練習】 1．如果函數(shù)f（x）= x2+2（a－1）x+2在區(qū)間（－∞，4］上是減函數(shù)，那么實數(shù)a的取值范圍是___________________. 2．已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),則與的大小關(guān)系是 ． 3．在R上為減函數(shù)，則 . 4．若函數(shù)是區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是 . 5．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。 ﹡6. 如果函數(shù)的定義域為，且增函數(shù)，， (1).求證：； （2）.已知，且，求a的取值范圍。 第5課時 函數(shù)的單調(diào)性參考答案 【熱身練習】 1. 2. 3. 25 4. 5. [-1, 1] 4.解析：對稱軸方程為，在上是增函數(shù)，所以，解得。 5.解析：由得，函數(shù)定義域為。 令，則它的單調(diào)遞減區(qū)間為，而為增函數(shù)，所以所求單調(diào)遞減區(qū)間是。 【范例透析】 例1．解: （1）。 （2）由題意知函數(shù)的對稱軸必須在區(qū)間的右側(cè)或左側(cè) 右函數(shù)的對稱軸為. ，即. 例2． 解：（1）設(shè)， ， 上是單調(diào)遞增函數(shù)。 （2）∵的定義域、值都是上是單調(diào)增函數(shù)， ∴。 例3．解：（1）設(shè)為圖像上任一點，則關(guān)于原點的對稱點在的圖像上，且即 點在函數(shù)圖像上， ，即故。 （2） ①當時，在上是增函數(shù)，滿足要求； ②當時，對稱軸的方程為 （i）當時，解得； （ii）當時，，解得 綜上， 【鞏固練習】 1．答案：a≤－3 解析 ：對稱軸x=1－a，由1－a≥4，得a≤－3. 2．答案：　 解析：　∵a2－a＋1＝(a－)2＋≥， 在上是減函數(shù)，． 3．答案： 4．答案：或 解析：對稱軸，或，解得或。