（廣東專用）2020高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第八章第六節(jié) 課時(shí)跟蹤訓(xùn)練 理

課時(shí)知能訓(xùn)練 一、選擇題 1．(2020·廣州模擬)已知橢圓＋＝1的左焦點(diǎn)F1，右頂點(diǎn)A，上頂點(diǎn)B且∠F1BA＝90°，則橢圓的離心率是(　　) A.　　　　　　　B. C. D. 【解析】　由題意知|F1B|＝a，|AB|＝， |AF1|＝a＋c， ∴a2＋a2＋b2＝(a＋c)2， ∴a2－ac－c2＝0. ∴1－e－e2＝0，即e2＋e－1＝0， 又0＜e＜1，∴e＝. 【答案】　A 2．橢圓x2＋my2＝1的焦點(diǎn)在y軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則m的值為(　　) A. B. C．2 D．4 【解析】　由題意知a2＝，b2＝1，且a＝2b， ∴＝4， ∴m＝. 【答案】　A 3．已知橢圓：＋＝1的焦距為4，則m等于(　　) A．4 B．8 C．4或8 D．以上均不對(duì) 【解析】　由，得2＜m＜10， 由題意知(10－m)－(m－2)＝4或(m－2)－(10－m)＝4， 解得m＝4或m＝8. 【答案】　C 4．若橢圓上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之比為2∶1，則此橢圓離心率的取值范圍是(　　) A．[，] B．[，] C．(，1) D．[，1) 【解析】　設(shè)P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是2k，k，根據(jù)橢圓的定義可知3k＝2a，又橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之差的最大值為2c，即k≤2c，∴2a≤6c，∴e≥. 【答案】　D 5．(2020·汕尾質(zhì)檢)已知P為橢圓＋＝1上的一點(diǎn)，M、N分別為圓(x＋3)2＋y2＝1和圓(x－3)2＋y2＝4上的點(diǎn)，則|PM|＋|PN|的最小值為(　　) A．5 B．7 C．13 D．15 【解析】　由題意知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2分別是兩圓的圓心， 且|PF1|＋|PF2|＝10，從而|PM|＋|PN|的最小值為|PF1|＋|PF2|－1－2＝7. 【答案】　B 二、填空題 6．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，若其離心率是，焦距是8，則該橢圓的方程為________． 【解析】　由題意知＝，c＝4， ∴a＝8，∴b2＝a2－c2＝64－16＝48， ∴橢圓方程為＋＝1. 【答案】?。? 7．在△ABC中，|AB|＝|AC|，頂點(diǎn)A、B在橢圓＋＝1(a＞b＞0)上，頂點(diǎn)C為橢圓的左焦點(diǎn)，線段AB過橢圓的右焦點(diǎn)F且垂直于長軸，則該橢圓的離心率為________． 【解析】　 如圖所示，由橢圓的對(duì)稱性可知|AC|＝|CB|， 又|AB|＝|AC|， ∴△ABC為等邊三角形， ∵AB過點(diǎn)F且垂直于x軸， ∴|AF|＝， ∴在Rt△AFC中|CF|＝|AF|＝·＝2c， ∴b2＝2ac整理得，e2＋2e－＝0 解得e＝或e＝－(舍)． 【答案】　 8．(2020·福建四校聯(lián)考)已知兩定點(diǎn)M(－1,0)，N(1,0)，若直線上存在點(diǎn)P，使|PM|＋|PN|＝4，則該直線為“A型直線”．給出下列直線，其中是“A型直線”的是________(填序號(hào))． ①y＝x＋1；②y＝2；③y＝－x＋3；④y＝－2x＋3. 【解析】　以M、N為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓方程為＋＝1， 則“A型直線”和該橢圓有交點(diǎn)．容易驗(yàn)證直線①、④經(jīng)過橢圓內(nèi)一點(diǎn)，故直線①④是“A型直線”，直線②和橢圓沒有交點(diǎn)，故直線②不是“A型直線”． 對(duì)于直線③，由得7x2－24x＋24＝0，此方程無解， 從而直線③和橢圓無交點(diǎn)，故不是“A型直線”． 【答案】　①④ 三、解答題 9．(2020·陜西高考)設(shè)橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)過點(diǎn)(0,4)，離心率為. (1)求C的方程； (2)求過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)． 【解】　(1)將(0,4)代入C的方程得＝1，∴b＝4. 又由e＝＝，得＝， 即1－＝，∴a＝5，∴C的方程為＋＝1. (2)過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線方程為y＝(x－3)． 設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 將直線方程y＝(x－3)代入C的方程，得 ＋＝1，即x2－3x－8＝0， 解得x1＝，x2＝. 設(shè)線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x′，y′)，則x′＝＝， y′＝＝(x1＋x2－6)＝－， 即中點(diǎn)坐標(biāo)為(，－)． 圖8－6－2 10．如圖8－6－2所示，點(diǎn)A，B分別是橢圓＋＝1長軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且位于x軸上方，PA⊥PF. (1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (2)設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值． 【解】　(1) 由已知可知點(diǎn)A(－6,0)，F(xiàn)(4,0)， 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則 ＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)，且y＞0， 由已知得 即2x2＋9x－18＝0， 解得x＝，y＝， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)． (2)直線AP的方程為x－y＋6＝0， 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,0)，由題意可知 ＝|m－6|， 又－6≤m≤6， ∴m＝2， ∴d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2＝(x－)2＋15. ∴當(dāng)x＝時(shí)，d取得最小值. 圖8－6－3 11．(2020·江蘇高考)如圖8－6－3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M，N分別是橢圓＋＝1的頂點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P，A兩點(diǎn)，其中點(diǎn)P在第一象限．過P作x軸的垂線，垂足為C，連結(jié)AC并延長，交橢圓于點(diǎn)B.設(shè)直線PA的斜率為k. (1)若直線PA平分線段MN，求k的值； (2)當(dāng)k＝2時(shí)，求點(diǎn)P到直線AB的距離d； (3)對(duì)任意的k＞0，求證：PA⊥PB. 【解】　(1)由題設(shè)知，a＝2，b＝，故M(－2,0) ，N(0，－)，所以線段MN中點(diǎn)的坐標(biāo)為(－1，－)．由于直線PA平分線段MN，故直線PA過線段MN的中點(diǎn)，又直線PA過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以k＝＝. (2)直線PA的方程為y＝2x，代入橢圓方程得＋＝1， 解得x＝±，因此P(，)，A(－，－)． 于是C(，0)，直線AC的斜率為＝1， 故直線AB的方程為x－y－＝0. 因此，d＝＝. (3)證明　法一　將直線PA的方程y＝kx代入＋＝1， 解得x＝±. 記μ＝，則P(μ，μk)，A(－μ，－μk)，于是C(μ，0)． 故直線AB的斜率為＝，其方程為y＝(x－μ)， 代入橢圓方程得(2＋k2)x2－2μk2x－μ2(3k2＋2)＝0， 解得x＝或x＝－μ.因此B(，)． 于是直線PB的斜率k1＝＝＝－.因此k1k＝－1，所以PA⊥PB. 法二　設(shè)P(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＞0，x2＞0，x1≠x2， A(－x1，－y1)，C(x1,0)． 設(shè)直線PB，AB的斜率分別為k1，k2. 因?yàn)镃在直線AB上，所以k2＝＝＝. 從而k1k＋1＝2k1k2＋1＝2··＋1 ＝＋1＝＝＝0. 因此k1k＝－1，所以PA⊥PB.