《點集拓撲學(xué)》第5章§5.1第一與第二可數(shù)性公理

第5章有關(guān)可數(shù)性的公理 §5.1第一與第二可數(shù)性公理 本節(jié)重點： 掌握滿足第一與第二可數(shù)性公理的空間的定義及相互間的關(guān)系； 掌握滿足第一與第二可數(shù)性公理的空間有關(guān)連續(xù)映射的不變性、有限可積性、可遺傳性等問題； 掌握滿足第一可數(shù)性公理的空間中在一點鄰近的性質(zhì)及序列的性質(zhì)； 掌握常見的空間哪些空間是第一可數(shù)性公理空間,哪些是第二可數(shù)性公理空間． 從§2.6節(jié)的討論可知，基和鄰域基對于確定拓撲空間的拓撲和驗證映射的連續(xù)性都有著重要的意義，它們的元素的“個數(shù)”越少，討論起來越是方便．因此我們試圖對拓撲空間的基或鄰域基的元素“個數(shù)”加以限制，但又希望加了限制的拓撲空間仍能包容絕大多數(shù)常見的拓撲空間，如：歐氏空間、度量空間等．以下的討論表明，將基或鄰域基的元素的“個數(shù)”限定為可數(shù)是恰當?shù)模? 某拓撲空間的一個基或在某一點處的一個鄰域基，如果是一個可數(shù)族，我們則分別稱之為一個可數(shù)基和一個可數(shù)鄰域基． 定義5.1.1一個拓撲空間如果有一個可數(shù)基，則稱這個拓撲空間是一個滿足第二可數(shù) 性公理的空間，或簡稱為九空間. 定理5.1.1實數(shù)空間滿足第二可數(shù)性公理 證明令為所有以有理數(shù)為它的兩個端點的開區(qū)間構(gòu)成的族.顯然是一個可數(shù)族. 設(shè)U是中的一個開集，對于每一個xUU,存在實數(shù)耳，使得以x為中心以耳為半 徑的球形鄰域 x- x+cU x x 選取有理數(shù) ，亠，r忑一E*<<X<<X+ ，使得”” x 于是我們有仏心）匚口=_53趙）.這也就是說可以表示為B中某些成員之并.這證明了B是的一個基. 有可數(shù)基B,所以滿足第二可數(shù)性公理. 由于離散空間中的每一個單點子集都是開集,而一個單點集不能表為異于自身的非空集合的并，因此離散空間的每一個基必定包含著它的所有單點子集.所以包含著不可數(shù)多個點的離散空間是不滿足第二可數(shù)性公理的空間. 定義5.1.一2個拓撲空間如果在它的每一點處有一個可數(shù)鄰域基,則稱這個拓撲空間 是一個滿足第一可數(shù)性公理的空間或簡稱為出空間. 定理5.1.每2一個度量空間都滿足第一可數(shù)性公理. 證明設(shè)X是一個度量空間，xUX則所有以x為中心以有理數(shù)為半徑的球形鄰域構(gòu)成x處的一個可數(shù)鄰域基. 例5.1.不1滿足第一可數(shù)性公理的空間的例子. 設(shè)X是包含著不可數(shù)多個點的可數(shù)補空間.我們證明X在它的任一點處都沒有可數(shù)鄰域基.因此X不滿足第一可數(shù)性公理. 用反證法來證明這一點.設(shè)X在點xUX處有一個可數(shù)鄰域基中.則對于任何yUX,yHx, ,,因此⑶匚，將這個包含關(guān)系式的兩邊分別 對于X中所有的異于x的點求并，可見z 由于X是一個不可數(shù)集，因此上式的左邊是一個不可數(shù)集；由于中中只有可數(shù)個元素,并且每一個元素的補集都是可數(shù)集,因此上式的右邊是一個可數(shù)集.矛盾. 定理5.1.每3一個滿足第二可數(shù)性公理的空間都滿足第一可數(shù)性公理. 證明設(shè)X是一個滿足第二可數(shù)性公理的空間,B是它的一個可數(shù)基.對于每一個xUX,根據(jù)定理 ”={BuB|xUB} 是點x處的一個鄰域基，它是B的一個子族所以是可數(shù)族.于是X在點x處有可數(shù)鄰域基B. 定理5.1的.逆3命題不成立.因為任何一個離散空間顯然滿足第一可數(shù)性公理,而前面 已經(jīng)說過包含著不可數(shù)多個點的離散空間不滿足第二可數(shù)性公理. 定理?.4設(shè)X和Y是兩個拓撲空間，f:X-Y是一個滿的連續(xù)開映射.如果X滿 足第二可數(shù)性公理（滿足第一可數(shù)性公理），則Y也滿足第二可數(shù)性公理（滿足第一可數(shù)性公理）.（這是關(guān)于連續(xù)映射下是否保持的性質(zhì)） 證明設(shè)X滿足第二可數(shù)性公理，鳳是它的一個可數(shù)基.由于f是一個開映射，耳={f（B）|BU民是由Y中開集構(gòu)成的一個可數(shù)族.只需證明豆是Y的一個基.設(shè)是Y中的一個開集，則八（是X中的一個開集.因此存在屍匚恥八切=%呂 由于f是一個滿射，我們有 即是屁中某些元素的并.這完成艮是Y的一個基的證明. 本定理關(guān)于滿足第一可數(shù)性公理的情形證明類似，請讀者自己補證. 根據(jù)定理5.1.可4見，拓撲空間滿足第一可數(shù)性公理和滿足第二可數(shù)性公理的性質(zhì)都是拓撲不變性質(zhì). 拓撲空間的某種性質(zhì)稱為可遺傳性質(zhì)，如果一個拓撲空間具有這個性質(zhì)那么它的任何一個子空間也都具有這個性質(zhì). 例如離散性，平庸性都是可遺傳的性質(zhì)，但連通性卻明顯是不可遺傳的. 拓撲空間的某種性質(zhì)稱為對于開子空間（或閉子空間）可遺傳的性質(zhì)，如果一個拓撲空間具有這個性質(zhì)那么它的任何一個開子空間（閉于空間）也都具有這個性質(zhì). 例如，局部連通性雖然不是可遺傳的性質(zhì)，但對于開子空間卻是可遺傳的.（參見§4.4習(xí)題第3題）將來我們會接觸到一些對閉子空間可遺傳的性質(zhì). 緊接著的兩個定理表明拓撲空間滿足第一（或第二）可數(shù)性公理的性質(zhì)是可遺傳的，也是有限可積的. 定理5.1.5滿足第二可數(shù)性公理（滿足第一可數(shù)性公理）的空間的任何一個子空間是滿足第二可數(shù)性公理（滿足第一可數(shù)性公理）的空間. 證明設(shè)X是一個滿足第二可數(shù)性公理的空間，B是它的一個可數(shù)基.如果Y是X的一個子集，根據(jù)定理?.集族Hb={BGY|BuB是子空間Y的一個基，它明顯是可數(shù)族. 本定理關(guān)于滿足第一可數(shù)性公理的情形證明類似，請讀者自己補證. 定理 設(shè)是個滿足第二可數(shù)性公理（滿足第一可數(shù)性公理） 的空間?則積空間XixX2x"xA滿足第二可數(shù)性公理（滿足第一可數(shù)性公理）. 證明我們只要證明=的情形. 設(shè)耳兀都是滿足第二可數(shù)性公理的空間，珀屁分別是它們的可數(shù)基.根據(jù)定理 ．4，集族 是積空間爼心的一個基，它明顯是一個可數(shù)族. 本定理當=時關(guān)于滿足第一可數(shù)性公理的情形證明類似，請讀者自己補證. 根據(jù)定理，定理和定理 易直接證明（參見習(xí)題）.） ，.我6們立即可知：（事實上，這個推論也容 推論 維歐氏空間必的每一個子空間都滿足第二可數(shù)性公理. 本節(jié)的余下部分我們討論滿足第一可數(shù)性公理的空間中序列的性質(zhì).讀者將會看到在這種拓撲空間中序列的性質(zhì)與我們在數(shù)學(xué)分析中見到過的有著較多的類似之處，特別是定理和定理的逆命題對于這類拓撲空間成立. 定理 設(shè)X是一個拓撲空間?如果在x£X處有一個可數(shù)鄰域基，則在點x 處有一個可數(shù)鄰域基厲也使得對于任何iu"+有5=5，即 證明設(shè)｛是點xUX處的一個可數(shù)鄰域基.對于每一個iu"+,令 容易直接驗證◎也便是點x處的滿足定理要求的一個可數(shù)鄰域基. (即厲仏是個鄰域基套一個套一個的.這個定理常用來選取趨向于X的序列中的 2«Z+ 點．) 定理設(shè)X是一個滿足第一可數(shù)性公理的空間，UX.則點xUX是集合 的一個凝聚點的充分必要條件是在集合一X中有一個序列收斂于 x． 和和證明和定理的充分性部分的證明已見于第二章定理 明.和 ，.以2下完成必要性部分的證 設(shè)xUX是集合的一個凝聚點，并且根據(jù)定理 可設(shè)®S是點x處的一個可 數(shù)鄰域基套，滿足條件：對于每一個，iu'+,5=%' 由于TS，可 選取召尹心一⑴).序列｛是在 X- X中的?我們證明i和=x(xf8)如下: 如果是x的一個鄰域，則由于◎也是x處的一個鄰域基套，所以存在N＞使得 .于是當i三N時，我們有 定理 設(shè)X和Y是兩個拓撲空間，其中X滿足第一可數(shù)性公理；xUX.則 映射f:XfY在點XUX處連續(xù)的充分必要條件是：如果X中的序列｛收斂于X, 中的序列fF)收斂于f(x). 證明定理的必要性部分的證明已見于定理 ，.以3下完成充分性部分的證明. 假設(shè)定理中陳述的條件成立，我們要證明映射f:X-Y在點x處連續(xù).用反證法. 映射f在點x處不連續(xù)，這也就是說f(x)有一個鄰域使得()不是x的鄰域. 假設(shè) 而這 又意味著，x的任何一個鄰域都不能包含在了1()中，即對于x的任何一個鄰域 ，包 含關(guān)系不成立，也就是說和吋5 總括上一段的論證可見：f(x)有一個鄰域使得對于x的任何一個鄰域有 現(xiàn)在設(shè)◎山+是點X處的一個可數(shù)鄰域基，滿足條件：對于每一個ieZ+, 5=%'.選取①認使得f(®)uf(u)V,即心)".明顯地，序列｛收斂于X.然而序列f(')在f(x)的鄰域中卻沒有任何一個點，所以不收斂于f(X).這與反證假設(shè)矛盾.因此反證假設(shè)不成立，所以映射f在點X處連續(xù). 定理設(shè)X和Y是兩個拓撲空間，其中X滿足第一可數(shù)性公理?則映射 f:X-Y是一個連續(xù)映射的充分必要條件是：如果X中的序列山收斂于xUX,則Y中的序列f()收斂于f(x). 證明這是因為一個映射是一個連續(xù)映射當且僅當這個映射在它的定義域的每一個點 處連續(xù).(參見定理2.3..)5 作業(yè):