2021八年級數(shù)學(xué)下冊 1.1 等腰三角形同步練習(xí) （新版）北師大版

1.1等腰三角形 一、選擇題 1．如圖1－22所示，在△ABC中，AB＝AC，點D在AC上，且BD＝BC＝AD，則∠A等于 ( ) A．30° B．40° C．45° D．36° 2．在等腰梯形ABCD中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC，AD∥BC，如圖1－23所示，則圖中的等腰三角形有 ( ) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 3．如圖1－24所示，在 □ ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC交BC邊于點E，則BE等于 ( ) A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm 4．下面幾種三角形： ①有兩個角為60°的三角形； ②三個外角都相等的三角形； ③一條邊上的高也是這條邊上的中線的三角形； ④有一個角為60°的等腰三角形． 其中是等邊三角形的有 ( ) A．4個 B．3個 C．2個 D． 1個 二、填空題 5．用反證法證明命題“三角形中至少有一個角大于或等于60°”時，第一步應(yīng)假設(shè) . 6．等腰三角形的頂角α＞90°，如果過其頂角的頂點作一條直線將這個等腰三角形分 成了兩個等腰三角形，那么α的度數(shù)為 ． 三、解答題 7．如圖1－25所示，四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于O點，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求證： (1)△ABC≌△ADC； (2)BO＝DO． 8．文文和彬彬在證明“有兩個角相等的三角形是等腰三角形”這一命題時，畫出圖形， 如圖1－26所示，寫出已知、求證，她們對各自所作的輔助線描述如下： 文文：過點A作BC的中垂線AD，垂足為D． 彬彬：作△ABC的角平分線AD． 數(shù)學(xué)老師看了兩位同學(xué)的輔助線作法后，說：“彬彬的作法是正確的，而文文的作法 需要改正．” (1)請你簡要說明文文的輔助線作法錯在哪里； (2)根據(jù)彬彬的輔助線作法，完成證明過程． 9．四邊形ABCD是正方形． (1)如圖1－27(1)所示，點G是BC邊上任意一點(不與B，C兩點重合)，連接AG，作BF⊥AG于點F，DE⊥AG于點E．求證△ABF≌△DAE； (2)在(1)中，線段EF與AF，BF的等量關(guān)系是 ；(不需證明，直接寫出結(jié)論即可) (3)如圖1－27(2)所示，若點G是CD邊上任意一點(不與C，D兩點重合)，作BF⊥AG于點F，DE⊥AG于點E，那么圖中的全等三角形是 ，線段EF與AF，BF的等量關(guān)系是 ．(不需證明，直接寫出結(jié)論即可) 10．如圖1－28所示，D為△ABC的邊AB的延長線上一點，過D作DF⊥AC，垂足為F，交BC于E，且BD＝BE，求證△ABC是等腰三角形． 11．如圖1－29所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，點E在AC上．CE ＝BC，過點E作AC的垂線，交CD的延長線于點F，求證AB＝FC． 參考答案 1．D[提示：本題綜合考查三角形內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)．由AD＝BD，得∠A＝∠ABD，∠BDC＝2∠A，由BD＝BC，得∠C＝∠BDC＝2∠A．由AB＝AC，得∠ABC＝∠C＝2∠A，由三角形內(nèi)角和定理，得∠A+2∠A+2∠A＝180°，即　　　　　∠A＝36°．] 2．D[提示：△ABD，△ACD，△AOD，△BOC都是等腰三角形．] 3．A[提示：由DE平分∠ADC，得∠ADE＝∠CDE，由AD∥BC，得∠ADE＝∠CED，∴∠CED＝∠CDE，∴EC＝DC＝6 cm，∴BE＝BC－EC＝8－6＝2(cm)．] 4．B［提示：利用等邊三角形的判定定理可知①②④為等邊三角形，③為等腰三角形．] 5．三角形中沒有大于或等于60°的角(或三角形的所有內(nèi)角都小于60°) 6．108°[提示：畫出圖形，利用三角形內(nèi)角和求解．] 7．證明：(1)在△ABC和△ADC中，∵∠1＝∠2，AC＝AC，∠3＝∠4，∴△ABC≌△ADC． (2)由(1)知AB＝AD，又∵∠1＝∠2，AO＝AO，∴△ABO≌△ADO，∴OB＝OD． 8．解：(1)過點A作BC的垂線，不一定過BC的中點，如果連接點A和BC中點D，則AD與BC不一定垂直． (2)證明：作△ABC的角平分線AD，則∠BAD＝∠CAD，又∵∠B＝∠C，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD，∴AB＝AC． 9．(1)證明：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAF+∠DAE＝90°．在Rt△ABF中，∠BAF+∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠DAE．在△ABF與△DAE中，∠ABF＝∠DAE，∠AFB＝∠DEA＝90°，AB＝DA，∴△ABF≌△DAE(AAS)．(2)EF＝AF－BF (3)△ABF≌△DAE EF＝BF－AF 10．證明：∵DF⊥AC，∴∠DFA＝∠EFC＝90°，∴∠A+∠D＝90°，∠C+∠1＝　　　90°，∴∠A+∠D＝∠C+∠1．又∵BD＝BE，∴∠2＝∠D(等邊對等角)．又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠D，∴∠A+∠D＝∠C+∠D，∴∠A＝∠C，∴AB＝BC(等角對等邊)，∴△ABC是等腰三角形． 11．證明：FE⊥AC于點E，∠ACB＝90°，∴∠FEC＝∠ACB＝90°，∴∠F+∠ECF＝90°．又∵CD⊥AB于點D，∴∠A+∠ECF＝90°，∴∠A＝∠F．在△ABC和△FCE中，∠A＝∠F，∠ACB＝∠FEC，BC＝CE，∴△ABC≌△FCE，∴AB＝FC． 4