2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系 2.1.3 空間中直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系 2.1.4 平面與平面之間的位置關(guān)系課時(shí)作業(yè)(含解析)新人教A版必修2
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2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系 2.1.3 空間中直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系 2.1.4 平面與平面之間的位置關(guān)系課時(shí)作業(yè)(含解析)新人教A版必修2
2.1.3 空間中直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系 2.1.4 平面與平面之間的位置關(guān)系
A級(jí) 基礎(chǔ)鞏固
一、選擇題
1.正方體的六個(gè)面中相互平行的平面有( B )
A.2對(duì) B.3對(duì)
C.4對(duì) D.5對(duì)
[解析] 正方體的六個(gè)面中有3對(duì)相互平行的平面.
2.三棱臺(tái)ABC-A′B′C′的一條側(cè)棱AA′所在直線(xiàn)與平面BCC′B′之間的關(guān)系是( A )
A.相交
B.平行
C.直線(xiàn)在平面內(nèi)
D.平行或直線(xiàn)在平面內(nèi)
[解析] 由棱臺(tái)的定義知,棱臺(tái)的所有側(cè)棱所在的直線(xiàn)都交于同一點(diǎn),而任一側(cè)面所在的平面由兩條側(cè)棱所在直線(xiàn)所確定,故這條側(cè)棱與不含這條側(cè)棱的任意一個(gè)側(cè)面所在的平面都相交.
3.若直線(xiàn)a∥平面α,直線(xiàn)b∥平面α,則a與b的位置關(guān)系是( D )
A.平行 B.相交
C.異面 D.以上都有可能
[解析] 如圖所示,長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,A1B1∥平面AC,A1D1∥平面AC,有A1B1∩A1D1=A1;又D1C1∥平面AC,有A1B1∥D1C1;取BB1和CC1的中點(diǎn)M、N,則MN∥B1C1,則MN∥平面AC,有A1B1與MN異面,故選D.
4.如果直線(xiàn)a∥平面α,那么直線(xiàn)a與平面α內(nèi)的( D )
A.唯一一條直線(xiàn)不相交
B.僅兩條相交直線(xiàn)不相交
C.僅與一組平行直線(xiàn)不相交
D.任意一條直線(xiàn)都不相交
[解析] 根據(jù)直線(xiàn)和平面平行定義,易知排除A、B.對(duì)于C,僅有一組平行線(xiàn)不相交,不正確,應(yīng)排除C.與平面α內(nèi)任意一條直線(xiàn)都不相交,才能保證直線(xiàn)a與平面α平行,∴D正確.
5.平面α∥平面β,直線(xiàn)a∥α,則( D )
A.a(chǎn)∥β B.a(chǎn)在面β上
C.a(chǎn)與β相交 D.a(chǎn)∥β或a?β
[解析] 如圖(1)滿(mǎn)足a∥α,α∥β,此時(shí)a∥β;
如圖(2)滿(mǎn)足a∥α,α∥β,此時(shí)a?β,故選D.
6.設(shè)P是異面直線(xiàn)a,b外一點(diǎn),則過(guò)P與a,b都平行的直線(xiàn)有________條( C )
A.1 B.2
C.0 D.0或1
[解析] 反證法.若存在直線(xiàn)c∥a,且c∥b,則a∥b與a,b異面矛盾.故選C.
二、填空題
7.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中判斷下列位置關(guān)系:
(1)AD1所在的直線(xiàn)與平面BCC1的位置關(guān)系是_平行_;
(2)平面A1BC1與平面ABCD的位置關(guān)系是_相交_.
8.兩個(gè)不重合的平面可以把空間分成_三或四_部分.
[解析] 兩平面平行時(shí),把空間分成三部分.兩平面相交時(shí),把空間分成四部分.
三、解答題
9.如圖所示,直線(xiàn)A′B與長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′的六個(gè)面所在的平面有什么位置關(guān)系?平面A′ABB′與長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′的其余五個(gè)面的位置關(guān)系如何?
[解析] ∵直線(xiàn)A′B與平面ABB′A′有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn),
∴直線(xiàn)A′B在平面ABB′A′內(nèi).
∵直線(xiàn)A′B與平面ABCD,平面BCC′B′都有且只有一個(gè)公共點(diǎn)B,
∴直線(xiàn)A′B與平面ABCD,平面BCC′B′相交.
∵直線(xiàn)A′B與平面ADD′A′,平面A′B′C′D′都有且只有一個(gè)公共點(diǎn)A′,
∴直線(xiàn)A′B與平面ADD′A′,平面A′B′C′D′相交.
∵直線(xiàn)A′B與平面DCC′D′沒(méi)有公共點(diǎn),
∴直線(xiàn)A′B與平面DCC′D′平行.
平面A′B∥平面CD′,
平面A′ABB′與平面AD′、平面BC′、平面AC平面A′C′都相交.
10.如圖所示,已知平面α∩β=l,點(diǎn)A∈α,點(diǎn)B∈α,點(diǎn)C∈β,且A?l,B?l,直線(xiàn)AB與l不平行,那么平面ABC與平面β的交線(xiàn)與l有什么關(guān)系?證明你的結(jié)論.
[解析] 平面ABC與平面β的交線(xiàn)與l相交.
證明:∵AB與l不平行,且AB?α,l?α,
∴AB與l一定相交.設(shè)AB∩l=P,
則P∈AB,P∈l.
又∵AB?平面ABC,l?β,
∴P∈平面ABC,P∈β.
∴點(diǎn)P是平面ABC與平面β的一個(gè)公共點(diǎn),而點(diǎn)C也是平面ABC與平面β的一個(gè)公共點(diǎn),且P,C是不同的兩點(diǎn),
∴直線(xiàn)PC就是平面ABC與平面β的交線(xiàn).
即平面ABC∩平面β=PC,而PC∩l=P,
∴平面ABC與平面β的交線(xiàn)與l相交.
B級(jí) 素養(yǎng)提升
一、選擇題
1.直線(xiàn)a在平面γ外,則( D )
A.a(chǎn)∥γ B.a(chǎn)與γ至少有一個(gè)公共點(diǎn)
C.a(chǎn)∩γ=A D.a(chǎn)與γ至多有一個(gè)公共點(diǎn)
[解析] 直線(xiàn)α在平面γ外,包括兩種情況,一種是平行,另一種相交,故選D.
2.若平面α∥平面β,則( A )
A.平面α內(nèi)任一條直線(xiàn)與平面β平行
B.平面α內(nèi)任一條直線(xiàn)與平面β內(nèi)任一條直線(xiàn)平行
C.平面α內(nèi)存在一條直線(xiàn)與平面β不平行
D.平面α內(nèi)一條直線(xiàn)與平面β內(nèi)一條直線(xiàn)有可能相交
3.若三個(gè)平面兩兩相交,且三條交線(xiàn)互相平行,則這三個(gè)平面把空間分成( C )
A.5部分 B.6部分
C.7部分 D.8部分
[解析] 垂直于交線(xiàn)的截面如圖,把空間分成7部分,故選C.
4.已知異面直線(xiàn)a,b分別在平面α,β內(nèi),且α∩β=c,那么直線(xiàn)c一定( C )
A.與a,b都相交
B.只能與a,b中的一條相交
C.至少與a,b中的一條相交
D.與a,b都平行
[解析] 若c與a,b都不相交,則c與a,b都平行,從而a∥b,與a,b異面矛盾,故c至少與a,b中的一條相交.
二、填空題
5.下列結(jié)論正確的有_①⑤__.
①若直線(xiàn)與平面有兩個(gè)公共點(diǎn),則直線(xiàn)在平面內(nèi);
②若直線(xiàn)l上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi),則l∥α;
③若直線(xiàn)l與平面α相交,則l與平面α內(nèi)的任意直線(xiàn)都是異面直線(xiàn);
④如果兩條異面直線(xiàn)中的一條與一個(gè)平面平行,則另一條直線(xiàn)一定與該平面相交;
⑤若直線(xiàn)l與平面α平行,則l與平面α內(nèi)的直線(xiàn)平行或異面;
⑥若平面α∥平面β,直線(xiàn)a?α,直線(xiàn)b?β,則直線(xiàn)a∥b.
[解析]?、亠@然是正確的;②中,直線(xiàn)l還可能與α相交,所以②是錯(cuò)誤的;③中,直線(xiàn)l和平面α內(nèi)過(guò)l與α交點(diǎn)的直線(xiàn)都相交而不是異面,所以③是錯(cuò)誤的;④中,異面直線(xiàn)中的另一條直線(xiàn)和該平面的關(guān)系不能具體確定,它們可以相交,可以平行,還可以在該平面內(nèi),所以④是錯(cuò)誤的;⑤中,直線(xiàn)l與平面α沒(méi)有公共點(diǎn),所以直線(xiàn)l與平面α內(nèi)的直線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn),即它們平行或異面,所以⑤是正確的;⑥中,分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的直線(xiàn)可以平行,也可以異面,所以⑥是錯(cuò)誤的.
6.將一個(gè)長(zhǎng)方體的四個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面延展成平面后,可將空間分成_27_部分.
7.已知直線(xiàn)a,b分別在兩個(gè)不同的平面α,β內(nèi).則下列說(shuō)法正確的是_①__(填序號(hào)).
①若直線(xiàn)a和直線(xiàn)b相交,則平面α和平面β相交;
②若平面α和平面β相交,則直線(xiàn)a和直線(xiàn)b相交.
[解析] 若直線(xiàn)a,b相交,設(shè)交點(diǎn)為P,則P∈a,P∈b.又a?α,b?β,所以P∈α,P∈β,故α,β相交.反之,若α,β相交,則a,b可能相交,也可能異面或平行.
三、解答題
8.已知三個(gè)平面α、β、γ,如果α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b,且直線(xiàn)c?β,c∥b.
(1)判斷c與α的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)判斷c與a的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.
[解析] (1)c∥α,因?yàn)棣痢桅拢驭僚cβ沒(méi)有公共點(diǎn).又c?β,所以c與α無(wú)公共點(diǎn),所以c∥α.
(2)c∥a,因?yàn)棣痢桅?,所以α與β沒(méi)有公共點(diǎn).又γ∩α=a,γ∩β=b,則a?α,b?β,且a、b?γ,所以a、b沒(méi)有公共點(diǎn).由于a,b都在平面γ內(nèi),因此a∥b.又c∥b,所以c∥a.
9.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是AA1的中點(diǎn),畫(huà)出過(guò)D1、C、E的平面與平面ABB1A1的交線(xiàn),并說(shuō)明理由.
[解析] 如圖,取AB的中點(diǎn)F,連接EF、A1B、CF.
∵E是AA1的中點(diǎn),∴EF∥A1B.
在正方體ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥BC,A1D1=BC,
∴四邊形A1BCD1是平行四邊形.
∴A1B∥CD1,∴EF∥CD1.
∴E、F、C、D1四點(diǎn)共面.
∵E∈平面ABB1A1,E∈平面D1CE,
F∈平面ABB1A1,F(xiàn)∈平面D1CE,
∴平面ABB1A1∩平面D1CE=EF.
∴過(guò)D1、C、E的平面與平面ABB1A1的交線(xiàn)為EF.
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