2020屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 課時(shí)跟蹤練（二十四）正弦定理和余弦定理 文（含解析）新人教A版

課時(shí)跟蹤練(二十四) A組　基礎(chǔ)鞏固 1．(2019·沈陽質(zhì)檢)已知△ABC中，A＝，B＝，a＝1，則b等于(　　) A．2 B．1 C. D. 解析：由正弦定理＝，得＝， 所以＝，所以b＝. 答案：D 2．(2016·全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a＝，c＝2，cos A＝，則b＝(　　) A. B. C．2 D．3 解析：由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×，解得b＝3或b＝－(舍去)，故選D. 答案：D 3．(2019·石家莊檢測)在△ABC中，cos2 ＝(a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊)，則△ABC的形狀為(　　) A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 解析：因?yàn)閏os2 ＝， 所以2cos2 －1＝－1，所以cos B＝， 所以＝，所以c2＝a2＋b2. 所以△ABC為直角三角形． 答案：B 4．(2019·開封模擬)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若A＝，＝2sin Asin B，且b＝6，則c＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 解析：在△ABC中，A＝，b＝6， 所以a2＝b2＋c2－2bccos A，即a2＝36＋c2－6c，① 又＝2sin Asin B， 所以＝2ab， 即cos C＝＝，所以a2＋36＝4c2，② 由①②解得c＝4或c＝－6(不合題意，舍去)，因此c＝4. 答案：C 5．(2019·石家莊一模)在△ABC中，AB＝2，C＝，則AC＋BC的最大值為(　　) A. B．2 C．3 D．4 解析：在△ABC中，AB＝2，C＝， 則＝＝＝4， 則AC＋BC＝4sin B＋4sin A ＝4sin＋4sin A ＝2cos A＋6sin A＝4sin(A＋θ)， 所以AC＋BC的最大值為4. 答案：D 6．(2018·浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，則sin B＝__________，c＝________． 解析：(1)如圖，由正弦定理＝，得sin B＝·sin A＝×＝. (2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc·cos A，得7＝4＋c2－4c×cos 60°，即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)． 答案：　3 7．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，則b＝________． 解析：由cos C＝，0<C<π，得sin C＝. 由cos A＝，0<A<π，得sin A＝. 所以sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C) ＝sin Acos C＋sin Ccos A＝， 根據(jù)正弦定理得b＝＝. 答案： 8．(2019·荊州一模)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知a＝2，cos A＝，sin B＝2sin C，則△ABC的面積是________． 解析：由sin B＝2sin C，cos A＝， 可得b＝2c，sin A＝＝， 所以由a2＝b2＋c2－2bccos A，可得8＝4c2＋c2－3c2， 解得c＝2(舍負(fù))，則b＝4. 所以S△ABC＝bcsin A＝×2×4×＝. 答案： 9．(2018·北京卷)在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B＝－. (1)求∠A； (2)求AC邊上的高． 解：(1)在△ABC中，因?yàn)閏os B＝－， 所以sin B＝＝. 由正弦定理得sin A＝＝. 由題設(shè)知<∠B<π，所以0<∠A<. 所以∠A＝. (2)在△ABC中， 因?yàn)閟in C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝， 所以AC邊上的高為asin C＝7×＝. 10．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a2－ab－2b2＝0. (1)若B＝，求A，C； (2)若C＝，c＝14，求S△ABC. 解：(1)由已知B＝，a2－ab－2b2＝0結(jié)合正弦定理化簡整理得2sin2 A－sin A－1＝0， 解得sin A＝1或sin A＝－(舍)． 因?yàn)?<A<π，所以A＝， 又A＋B＋C＝π， 所以C＝π－－＝. (2)由題意及余弦定理可知a2＋b2＋ab＝196，① 由a2－ab－2b2＝0得(a＋b)(a－2b)＝0， 因?yàn)閍＋b>0， 所以a－2b＝0，即a＝2b，② 聯(lián)立①②解得b＝2，a＝4. 所以S△ABC＝absin C＝14. B組　素養(yǎng)提升 11．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長分別為a，b，c，sin A，sin B，sin C成等比數(shù)列，且c＝2a，則cos B的值為(　　) A. B. C. D. 解析：因?yàn)閟in A，sin B，sin C成等比數(shù)列， 所以sin2 B＝sin Asin C，由正弦定理得b2＝ac， 又c＝2a，故cos B＝＝＝. 答案：B 12．(2019·合肥質(zhì)檢)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cos C＝，bcos A＋acos B＝2，則△ABC的外接圓面積為(　　) A．4π B．8π C．9π D．36π 解析：在△ABC中，由cos C＝可得sin C＝，又bcos A＋acos B＝c＝2，設(shè)△ABC的外接圓的半徑為R，則由正弦定理可得2R＝＝＝6，R＝3，則外接圓的面積為πR2＝9π，故選C. 答案：C 13．(2017·全國卷Ⅰ改編)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，則C＝________． 解析：因?yàn)閍＝2，c＝， 所以由正弦定理可知，＝， 故sin A＝sin C. 又B＝π－(A＋C)， 故sin B＋sin A(sin C－cos C) ＝sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C ＝sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C ＝(sin A＋cos A)sin C ＝0. 又C為△ABC的內(nèi)角， 故sin C≠0， 則sin A＋cos A＝0，即tan A＝－1. 又A∈(0，π)，所以A＝. 從而sin C＝sin A＝×＝. 由A＝知C為銳角，故C＝. 答案： 14．(2019·濰坊一模)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知(a＋2c)cos B＋bcos A＝0. (1)求B； (2)若b＝3，△ABC的周長為3＋2，求△ABC的面積． 解：(1)由已知及正弦定理得 (sin A＋2sin C)cos B＋sin Bcos A＝0， 即(sin Acos B＋sin Bcos A)＋2sin Ccos B＝0， 即sin(A＋B)＋2sin Ccos B＝0， 又sin(A＋B)＝sin C，所以cos B＝－， 因?yàn)?<B<π，所以B＝. (2)由余弦定理，得9＝a2＋c2－2accos B. 所以a2＋c2＋ac＝9，則(a＋c)2－ac＝9. 因?yàn)閍＋b＋c＝3＋2，所以a＋c＝2， 所以ac＝3，所以S△ABC＝acsin B＝×3×＝. 7