2020屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 課時(shí)跟蹤練（五十二）直線(xiàn)與橢圓的綜合問(wèn)題（提升課） 文（含解析）新人教A版

課時(shí)跟蹤練(五十二) A組　基礎(chǔ)鞏固 1．直線(xiàn)y＝kx－k＋1與橢圓＋＝1的位置關(guān)系為(　　) A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定 解析：由于直線(xiàn)y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1過(guò)定點(diǎn)(1，1)，又(1，1)在橢圓內(nèi)，故直線(xiàn)與橢圓相交． 答案：A 2．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的一條弦所在的直線(xiàn)方程是x－y＋5＝0，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是M(－4，1)，則橢圓的離心率是(　　) A. B. C. D. 解析：設(shè)直線(xiàn)與橢圓交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，分別代入橢圓方程，由點(diǎn)差法可知yM＝－xM，代入k＝1，M(－4，1)，解得＝，e＝ ＝， 故選C. 答案：C 3．(2019·呂梁模擬)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)P，使得(＋)·＝0(O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△F1PF2的面積是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：因?yàn)?＋)·＝(＋)·＝·＝0，所以PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，則m＋n＝4，m2＋n2＝12，2mn＝4，所以S△F1PF2＝mn＝1.故選D. 答案：D 4．若直線(xiàn)ax＋by－3＝0與圓x2＋y2＝3沒(méi)有公共點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，b)，則過(guò)點(diǎn)P的一條直線(xiàn)與橢圓＋＝1的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．1或2 解析：由題意得，圓心(0，0)到直線(xiàn)ax＋by－3＝0的距離為 >，所以a2＋b2<3.又a，b不同時(shí)為零，所以0<a2＋b2<3.由0<a2＋b2<3，可知|a|<，|b|<，由橢圓的方程和其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，短半軸長(zhǎng)為，所以P(a，b)在橢圓內(nèi)部，所以過(guò)點(diǎn)P的一條直線(xiàn)與橢圓＋＝1的公共點(diǎn)有2個(gè)．故選C. 答案：C 5．斜率為1的直線(xiàn)l與橢圓＋y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最大值為(　　) A．2 B. C. D. 解析：設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝x＋t，代入＋y2＝1，消去y得x2＋2tx＋t2－1＝0，由題意知Δ＝(2t)2－5(t2－1)>0，即t2<5，|AB|＝＝ ≤(當(dāng)且僅當(dāng)t＝0時(shí)取等號(hào))．故選C. 答案：C 6．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為A(1，0)，過(guò)其焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1，則橢圓方程為_(kāi)_______． 解析：因?yàn)闄E圓＋＝1的右頂點(diǎn)為A(1，0)，所以b＝1，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c)，因?yàn)檫^(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1，所以＝1，a＝2，所以橢圓方程為＋x2＝1. 答案：＋x2＝1 7．(2019·贛南五校聯(lián)考)橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線(xiàn)y＝(x＋c)與橢圓E的一個(gè)交點(diǎn)M滿(mǎn)足∠MF1F2＝2∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于________． 解析：由已知得直線(xiàn)y＝(x＋c)過(guò)M、F1兩點(diǎn)，所以直線(xiàn)MF1的斜率為，所以∠MF1F2＝60°，則∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°，則MF1＝c，MF2＝c，由點(diǎn)M在橢圓E上知，c＋c＝2a，故e＝＝－1. 答案：－1 8．已知直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P(2，1)且與橢圓＋＝1交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)AB的方程為_(kāi)_______． 解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，因?yàn)锳，B兩點(diǎn)在橢圓上，所以＋＝1，① ＋＝1，② ①－②得， ＋＝0，又AB的中點(diǎn)為P(2，1)，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，即＋＝0，所以kAB＝＝－，故AB的方程為y－1＝－(x－2)，即8x＋9y－25＝0. 答案：8x＋9y－25＝0 9．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，其中左焦點(diǎn)為F(－2，0)． (1)求橢圓C的方程； (2)若直線(xiàn)y＝x＋m與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M在圓x2＋y2＝1上，求m的值． 解：(1)由題意，得 解得 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)， 由消去y得，3x2＋4mx＋2m2－8＝0， Δ＝96－8m2>0，所以－2<m<2， 因?yàn)閤0＝＝－，所以y0＝x0＋m＝， 因?yàn)辄c(diǎn)M(x0，y0)在圓x2＋y2＝1上， 所以＋＝1，所以m＝±. 10.(2019·衡陽(yáng)模擬)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率為，直線(xiàn)y＝1與C的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為. (1)求橢圓C的方程； (2)分別過(guò)F1、F2作l1、l2滿(mǎn)足l1∥l2，設(shè)l1、l2與C的上半部分分別交于A、B兩點(diǎn)，求四邊形ABF2F1面積的最大值． 解：(1)易知橢圓過(guò)點(diǎn)，所以＋＝1，① 又＝，② a2＝b2＋c2，③ 由①②③得a2＝4，b2＝3， 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)設(shè)直線(xiàn)l1的方程為x＝my－1，它與C的另一個(gè)交點(diǎn)為D. 將直線(xiàn)l1與橢圓C的方程聯(lián)立，消去x， 得(3m2＋4)y2－6my－9＝0， Δ＝144(m2＋1)>0. |AD|＝·， 又F2到l1的距離d＝， 所以S△ADF2＝. 令t＝，t≥1，則S△ADF2＝， 當(dāng)t＝1時(shí)，S△ADF2取得最大值，為3. 又S四邊形ABF2F1＝(|BF2|＋|AF1|)·d＝(|AF1|＋|DF1|)·d＝|AD|·d＝SADF2， 所以四邊形ABF2F1面積的最大值為3. B組　素養(yǎng)提升 11．已知橢圓E的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1且斜率為2的直線(xiàn)交橢圓E于P，Q兩點(diǎn)，若△PF1F2為直角三角形，則橢圓E的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：由題意可知，∠F1PF2是直角，且tan ∠PF1F2＝2， 所以＝2， 又|PF1|＋|PF2|＝2a， 所以|PF1|＝，|PF2|＝. 根據(jù)勾股定理得＋＝(2c)2， 所以離心率e＝＝. 答案：A 12．過(guò)橢圓＋＝1內(nèi)的一點(diǎn)P(2，－1)的弦，恰好被點(diǎn)P平分，則這條弦所在的直線(xiàn)方程是(　　) A．5x－3y－13＝0 B．5x＋3y－13＝0 C．5x－3y＋13＝0 D．5x＋3y＋13＝0 解析：設(shè)弦的端點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 故×＋×＝0， 又x1＋x2＝4，y1＋y2＝－2，故斜率k＝. 故這條弦所在直線(xiàn)方程為y＋1＝(x－2)，即5x－3y－13＝0. 答案：A 13．已知直線(xiàn)l：y＝kx＋2過(guò)橢圓＋＝1(a>b>0)的上頂點(diǎn)B和左焦點(diǎn)F，且被圓x2＋y2＝4截得的弦長(zhǎng)為L(zhǎng)，若L≥，則橢圓離心率e的取值范圍是________． 解析：依題意，知b＝2，kc＝2. 設(shè)圓心到直線(xiàn)l的距離為d，則L＝2≥， 解得d2≤. 又因?yàn)閐＝，所以≤，解得k2≥. 于是e2＝＝＝，所以0<e2≤，解得0<e≤. 答案： 14．(2018·天津卷)設(shè)橢圓＋＝1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，已知橢圓的離心率為，|AB|＝. (1)求橢圓的方程； (2)設(shè)直線(xiàn)l：y＝kx(k<0)與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，l與直線(xiàn)AB交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M均在第四象限．若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍，求k的值． 解：(1)設(shè)橢圓的焦距為2c，由已知有＝，又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b.又|AB|＝＝，從而a＝3，b＝2. 所以，橢圓的方程為＋＝1. (2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x1，y1)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x2，y2)， 由題意知，x2>x1>0，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(－x1，－y1)． 由△BPM的面積是△BPQ面積的2倍，可得|PM|＝2|PQ|， 從而x2－x1＝2[x1－(－x1)]，即x2＝5x1. 易知直線(xiàn)AB的方程為2x＋3y＝6， 由方程組消去y，可得x2＝. 由方程組消去y， 可得x1＝. 由x2＝5x1，可得 ＝5(3k＋2)，兩邊平方，整理得18k2＋25k＋8＝0，解得k＝－或k＝－. 當(dāng)k＝－時(shí)，x2＝－9<0，不合題意，舍去； 當(dāng)k＝－時(shí)，x2＝12，x1＝，符合題意． 所以k的值為－. 7