2020屆高考數(shù)學總復習 課時跟蹤練（六十八）不等式證明的基本方法 文（含解析）新人教A版

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1、課時跟蹤練(六十八) A組　基礎鞏固 1．已知n≥2，求證： >－. 證明：要證 >－， 只需證明 >， 也就是證 >，只需證＋>， 只需證>0，只需證n>1， 因為n≥2>1，所以 >－. 2．設函數(shù)f(x)＝x＋－1(x>0)的最小值為M，正數(shù)a，b滿足＋＝Mab. (1)求M的值； (2)是否存在正數(shù)a，b，使得a6＋b6＝ ？并說明理由． 解：(1)f(x)＝x＋－1≥2－1＝3(當且僅當x＝2時，取等號)． 所以f(x)的最小值M＝3. (2)不存在，理由如下： 假設存在正數(shù)a，b，使得a6＋b6＝， 則a6＋b6＝≥2＝2a3b3， 所以ab≤.

2、因為＋＝Mab＝3ab≥2， 所以ab≥，與ab≤矛盾，所以不存在a，b滿足題意． 3．設a，b為正實數(shù)，且＋＝2. (1)求a2＋b2的最小值； (2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值． 解：(1)由2＝＋≥2得ab≥， 當且僅當a＝b＝時取等號． 故a2＋b2≥2ab≥1，當且僅當a＝b＝時取等號． 所以a2＋b2的最小值是1. (2)由＋＝2可得a＋b＝2ab， 因為(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝8a2b2－4ab≥4(ab)3， 所以(ab)2－2ab＋1≤0，即(ab－1)2≤0， 所以ab－1＝0，即ab＝1. 4．(2019·廣東中山模擬)

3、已知函數(shù)f(x)＝x＋1＋|3－x|，x≥－1. (1)求不等式f(x)≤6的解集； (2)若f(x)的最小值為n，正數(shù)a，b滿足2nab＝a＋2b，求證：2a＋b≥. (1)解：根據題意， 若f(x)≤6，則有或 解得－1≤x≤4，故原不等式的解集為{x|－1≤x≤4}． (2)證明：函數(shù)f(x)＝x＋1＋|3－x|＝ 分析可得f(x)的最小值為4，即n＝4， 則正數(shù)a，b滿足8ab＝a＋2b，即＋＝8， 所以2a＋b＝(2a＋b)＝ ≥＝， 原不等式得證． 5．已知函數(shù)f(x)＝|x－1|. (1)解不等式f(x)＋f(x＋4)≥8； (2)若|a|<1，|b|

4、<1，且a≠0，求證：f(ab)>|a|f. (1)解：f(x)＋f(x＋4)＝|x－1|＋|x＋3|＝ 當x<－3時，由－2x－2≥8，解得x≤－5； 當－3≤x≤1時，4≥8不成立； 當x>1時，由2x＋2≥8，解得x≥3. 所以，不等式f(x)＋f(x＋4)≥8的解集為{x|x≤－5或x≥3}． (2)證明：要證f(ab)>|a|f，即證|ab－1|>|a－b|. 因為|a|<1，|b|<1， 所以|ab－1|2－|a－b|2＝(a2b2－2ab＋1)－(a2＋b2－2ab)＝a2b2－(a2＋b2)＋1＝(a2－1)(b2－1)>0. 所以|ab－1|>|a－b|，

5、 故原不等式f(ab)>|a|f成立． B組　素養(yǎng)提升 6．(2019·晉中模擬)已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|. (1)若?x0∈R，使不等式f(x0－2)－f(x0－3)≥u成立，求滿足條件的實數(shù)u的集合M； (2)已知t為集合M中的最大正整數(shù)，若a>1，b>1，c>1，且(a－1)(b－1)(c－1)＝t，求證：abc≥8. (1)解：由已知f(x－2)－f(x－3)＝|x－1|－|x－2| ＝則－1≤|x－1|－|x－2|≤1， 由于?x0∈R，使不等式|x0－1|－|x0－2|≥u成立， 所以u≤1，即M＝{u|u≤1}． (2)證明：由(1)知t＝1，則(a－1)(

6、b－1)(c－1)＝1， 因為a>1，b>1，c>1，所以a－1>0，b－1>0，c－1>0， 則a＝(a－1)＋1≥2>0(當且僅當a＝2時等號成立)， b＝(b－1)＋1≥2>0(當且僅當b＝2時等號成立)， c＝(c－1)＋1≥2>0(當且僅當c＝2時等號成立)， 則abc≥8＝8(當且僅當a＝b＝c＝2時等號成立)． 7．設a，b，c，d均為正數(shù)，且a＋b＝c＋d，證明： (1)若ab>cd，則＋>＋； (2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要條件． 證明：(1)因為a，b，c，d為正數(shù)，且a＋b＝c＋d， 欲證＋＞＋，只需證明(＋)2＞(＋)2， 也就是證明a

7、＋b＋2＞c＋d＋2， 只需證明＞，即證ab＞cd. 由于ab＞cd，因此＋＞＋. (2)①若|a－b|<|c－d|，則(a－b)2<(c－d)2， 所以(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd. 又a＋b＝c＋d，所以ab＞cd. 由(1)得＋>＋. ②若＋>＋，則(＋)2>(＋)2， 所以a＋b＋2>c＋d＋2. 因為a＋b＝c＋d，所以ab>cd. 于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2. 因此|a－b|<|c－d|. 綜上，＋> ＋是|a－b|<|c－d|的充要條件． 8．(2019·百發(fā)聯(lián)盟TOP20聯(lián)考)已知函數(shù)f(x

8、)＝|2x－3|＋|2x－1|的最小值為M. (1)若m，n∈[－M，M]，求證：2|m＋n|≤|4＋mn|； (2)若a，b∈(0，＋∞)，a＋2b＝M，求＋的最小值． (1)證明：因為f(x)＝|2x－3|＋|2x－1|≥|2x－3－(2x－1)|＝2，所以M＝2. 要證明2|m＋n|≤|4＋mn|，只需證明4(m＋n)2≤(4＋mn)2， 因為4(m＋n)2－(4＋mn)2＝4(m2＋2mn＋n2)－(16＋8mn＋m2n2)＝(m2－4)(4－n2)， 因為m，n∈[－2，2]，所以m2，n2∈[0，4]， 所以(m2－4)(4－n2)≤0， 所以4(m＋n)2－(4＋mn)2≤0， 所以4(m＋n)2≤(4＋mn)2， 所以2|m＋n|≤|4＋mn|. (2)解：由(1)得，a＋2b＝2， 因為a，b∈(0，＋∞)， 所以＋＝(a＋2b) ＝≥＝4， 當且僅當a＝1，b＝時，等號成立． 所以＋的最小值為4. 5