2020屆高考數學總復習 課時跟蹤練（三十五）專題探究課（三） 文（含解析）新人教A版

課時跟蹤練(三十五) A組　基礎鞏固 1．(2019·開封定位測試)已知數列{an}滿足a1＝，且an＋1＝. (1)求證：數列是等差數列； (2)若bn＝anan＋1，求數列{bn}的前n項和Sn. (1)證明：易知an≠0，因為an＋1＝， 所以＝，所以－＝， 又因為a1＝，所以＝2， 所以數列是以2為首項，為公差的等差數列． (2)解：由(1)知，＝2＋(n－1)＝，即an＝， 所以bn＝＝4， Sn＝4 ＝4＝. 2．已知{an}是等差數列，{bn}是等比數列，a1＝1，b1＝2，b2＝2a2，b3＝2a3＋2. (1)求{an}，{bn}的通項公式； (2)若的前n項和為Sn，求證：Sn<2. (1)解：設{an}的公差為d，{bn}的公比為q， 由題意得 解得或(舍) 所以an＝n，bn＝2n. (2)證明：由(1)知＝， 所以Sn＝＋＋＋…＋＋， Sn＝＋＋＋…＋＋＋， 兩式相減得Sn＝＋＋＋…＋－＝－， 所以Sn＝2－－，所以Sn<2. 3．(2018·天津卷)設{an}是等差數列，其前n項和為Sn(n∈N*)；{bn}是等比數列，公比大于0，其前n項和為Tn(n∈N*)，已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6. (1)求Sn和Tn； (2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整數n 的值． 解：(1)設等比數列{bn}的公比為q(q>0)． 由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q2－q－2＝0. 因為q>0，可得q＝2，故bn＝2n－1. 所以Tn＝＝2n－1. 設等差數列{an}的公差為d.由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4. 由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋13d＝16，從而a1＝1，d＝1， 故an＝n，所以Sn＝. (2)由(1)，有T1＋T2＋…＋Tn＝(21＋22＋…＋2n)－n＝－n ＝2n＋1－n－2. 由Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn可得 ＋2n＋1－n－2＝n＋2n＋1， 整理得n2－3n－4＝0， 解得n＝－1(舍去)，或n＝4. 所以n的值為4. 4．(2019·安陽模擬)設等差數列{an}的前n項和為Sn，點(n，Sn)在函數f(x)＝x2＋Bx＋C－1(B，C∈R)的圖象上，且a1＝C. (1)求數列{an}的通項公式； (2)記bn＝an(a2n－1＋1)，求數列{bn}的前n項和Tn. 解：(1)設數列{an}的公差為d， 則Sn＝na1＋d＝n2＋n， 又Sn＝n2＋Bn＋C－1，兩式對照得 解得所以a1＝C＝1， 所以數列{an}的通項公式為an＝2n－1. (2)由(1)知bn＝(2n－1)(2·2n－1－1＋1)＝(2n－1)2n， 則Tn＝1×2＋3×22＋…＋(2n－1)·2n， 2Tn＝1×22＋3×23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1， 兩式相減得 Tn＝(2n－1)·2n＋1－2(22＋23＋…＋2n)－2 ＝(2n－1)·2n＋1－－2 ＝(2n－3)·2n＋1＋6. B組　素養(yǎng)提升 5．(2019·安慶模擬)已知公差不為0的等差數列{an}的首項a1＝2，且a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比數列． (1)求數列{an}的通項公式； (2)設bn＝，n∈N*，Sn是數列{bn}的前n項和，求使Sn<成立的最大的正整數n. 解：(1)設{an}的公差為d. 由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比數列， 可得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，又a1＝2， 所以(3＋d)2＝3(3＋3d)，解得d＝3(d＝0舍去)， 則an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1. (2)bn＝＝＝， Sn＝ ＝＝. 則Sn<即<，解得n<12， 則所求最大的正整數n為11. 6．在等差數列{an}中，a2＝6，a3＋a6＝27. (1)求數列{an}的通項公式； (2)記數列{an}的前n項和為Sn，且Tn＝，若對于一切正整數n，總有Tn≤m成立，求實數m的取值范圍． 解：(1)設公差為d，由題意得 解得所以an＝3n. (2)因為Sn＝3(1＋2＋3＋…＋n)＝n(n＋1)， 所以Tn＝，Tn＋1＝， 所以Tn＋1－Tn＝－＝， 所以當n≥3時，Tn＞Tn＋1，且T1＝1＜T2＝T3＝， 所以Tn的最大值是，故實數m的取值范圍是. 4