2020屆高考數(shù)學總復習 課時跟蹤練（十四）導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（基礎課） 文（含解析）新人教A版

課時跟蹤練(十四) A組　基礎鞏固 1．函數(shù)f(x)＝cos x－x在(0，π)上的單調(diào)性是(　　) A．先增后減 B．先減后增 C．單調(diào)遞增 D．單調(diào)遞減 解析：易知f′(x)＝－sin x－1，x∈(0，π)， 所以f′(x)<0，則f(x)＝cos x－x在(0，π)上單調(diào)遞減． 答案：D 2．函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則y＝f′(x)的圖象可能是(　　) 解析：由函數(shù)f(x)的圖象可知，f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以在(－∞，0)上，f′(x)>0；在(0，＋∞)上，f′(x)<0，選項D滿足． 答案：D 3．(2019·龍泉二中月考)若函數(shù)f(x)＝x3－12x在區(qū)間(k－1，k＋1)上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是(　　) A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3 B．不存在這樣的實數(shù)k C．－2<k<2 D．－3<k<－1或1<k<3 解析：因為f(x)＝x3－12x，所以f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝2， 若函數(shù)f(x)＝x3－12x在(k－1，k＋1)上不是單調(diào)函數(shù)， 則方程f′(x)＝0在(k－1，k＋1)內(nèi)有解． 所以k－1<－2<k＋1或k－1<2<k＋1，解得－3<k<－1或1<k<3. 答案：D 4．若f(x)＝，e<a<b，則(　　) A．f(a)>f(b) B．f(a)＝f(b) C．f(a)<f(b) D．f(a)f(b)>1 解析：f′(x)＝，當x>e時，f′(x)<0，則f(x)在(e，＋∞)上為減函數(shù)，所以f(a)>f(b)． 答案：A 5．(2019·保定一中模擬)函數(shù)f(x)的定義域為R，f(－1)＝2，對任意x∈R，f′(x)＞2，則f(x)＞2x＋4的解集為(　　) A．(－1，1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞) 解析：由f(x)＞2x＋4，得f(x)－2x－4＞0，設F(x)＝f(x)－2x－4，則F′(x)＝f′(x)－2， 因為f′(x)＞2，所以F′(x)＞0在R上恒成立，所以F(x)在R上單調(diào)遞增． 又F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f(x)－2x－4＞0等價于F(x)＞F(－1)，所以x＞－1. 答案：B 6．(2017·山東卷)若函數(shù)exf(x)(e＝2.718 28…是自然對數(shù)的底數(shù))在f(x)的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)f(x)具有M性質(zhì)．下列函數(shù)中具有M性質(zhì)的是(　　) A．f(x)＝2－x B．f(x)＝x2 C．f(x)＝3－x D．f(x)＝cos x 解析：若f(x)具有性質(zhì)M，則[exf(x)]′＝ex[f(x)＋f′(x)]>0在f(x)的定義域上恒成立，即f(x)＋f′(x)>0在f(x)的定義域上恒成立． 對于選項A，f(x)＋f′(x)＝2－x－2－xln 2＝2－x(1－ln 2)>0，符合題意． 經(jīng)驗證，選項B，C，D均不符合題意． 故選A. 答案：A 7．已知函數(shù)f′(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)，f(1)＝，對任意實數(shù)都有f(x)－f′(x)>0，設F(x)＝，則不等式F(x)<的解集為(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(1，e) D．(e，＋∞) 解析：F′(x)＝＝， 又f(x)－f′(x)>0，知F′(x)<0. 所以F(x)在定義域R上單調(diào)遞減． 由F(x)<＝F(1)，得x>1. 所以不等式F(x)<的解集為(1，＋∞)． 答案：B 8．函數(shù)f(x)＝x2－2ln x的單調(diào)遞減區(qū)間是________． 解析：因為f′(x)＝2x－＝(x>0)，所以當x∈(0，1)時，f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)，因此f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，1)． 答案：(0，1) 9．若函數(shù)f(x)＝ax3＋3x2－x恰好有三個單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：由題意知f′(x)＝3ax2＋6x－1，由函數(shù)f(x)恰好有三個單調(diào)區(qū)間，得f′(x)有兩個不相等的零點，需滿足a≠0，且Δ＝36＋12a＞0，解得a＞－3，所以實數(shù)a的取值范圍是(－3，0)∪(0，＋∞)． 答案：(－3，0)∪(0，＋∞) 10．(2019·昆明調(diào)研)已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(1)＝1，f(x)的導數(shù)f′(x)<，則不等式f(x2)<＋的解集為________． 解析：設F(x)＝f(x)－x，所以F′(x)＝f′(x)－， 因為f′(x)<，所以F′(x)＝f′(x)－<0， 即函數(shù)F(x)在R上單調(diào)遞減． 因為f(x2)<＋，所以f(x2)－<f(1)－， 所以F(x2)<F(1)，而函數(shù)F(x)在R上單調(diào)遞減， 所以x2>1，解得x<－1或x>1，即不等式的解集為{x|x<－1或x>1}． 答案：{x|x<－1或x>1} 11．討論函數(shù)f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1的單調(diào)性． 解：f(x)的定義域為(0，＋∞)． f′(x)＝＋2ax＝. (1)當a≥1時，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增； (2)當a≤0時，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減； (3)當0<a<1時，令f′(x)＝0，解得x＝ . 故當x∈時，f′(x)<0；當x∈時，f′(x)>0. 所以f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增． 12．(2019·徐州調(diào)研)設函數(shù)f(x)＝ax2－a－ln x，g(x)＝－，其中a∈R，e＝2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)． (1)討論f(x)的單調(diào)性； (2)證明：當x>1時，g(x)>0. (1)解：由題意得f′(x)＝2ax－＝(x>0)． 當a≤0時，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減． 當a>0時，由f′(x)＝0得x＝， 當x∈時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減； 當x∈時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增． (2)證明：令s(x)＝ex－1－x，則s′(x)＝ex－1－1. 當x>1時，s′(x)>0，所以s(x)>s(1)，即ex－1>x， 從而g(x)＝－＝>0. 故當x>1時，g(x)>0. B組　素養(yǎng)提升 13．(2019·湖北聯(lián)考)若函數(shù)f(x)＝kex－x2在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則實數(shù)k的取值范圍是________． 解析：由f(x)＝kex－x2，得f′(x)＝kex－x. 因為函數(shù)f(x)＝kex－x2在(0，＋∞)上單調(diào)遞增． 所以f′(x)＝kex－x≥0在(0，＋∞)上恒成立，即k≥在(0，＋∞)上恒成立． 令g(x)＝，則g′(x)＝，所以當0<x<1時，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當x>1時，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，所以g(x)max＝g(1)＝，所以k≥. 答案： 14．(2019·天津市濱海新區(qū)八校聯(lián)考)設函數(shù)f(x)＝x2ex. (1)求在點(1，f(1))處的切線方程； (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (3)當x∈[－2，2]時，使得不等式f(x)≤2a＋1能成立的實數(shù)a的取值范圍． 解：(1)因為f′(x)＝2xex＋x2ex，所以k＝f′(1)＝3e，且f(1)＝e. 故切線方程為3ex－y－2e＝0. (2)令f′(x)>0，即xex(x＋2)>0，解得x>0或x<－2. 令f′(x)<0，得－2<x<0. 所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(－∞，－2)和(0，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間是(－2，0)． (3)由(2)知f(x)在區(qū)間(－2，0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0，2)上單調(diào)遞增． 所以f(x)min＝f(0)＝0. 當x∈[－2，2]時，不等式f(x)≤2a＋1能成立，須2a＋1≥f(x)min，即2a＋1≥0，故a≥－， 所以實數(shù)a的取值范圍為. 6