2020屆新高考數(shù)學(xué)藝考生總復(fù)習(xí) 第一章 集合、常用邏輯用語(yǔ)、不等式 第4節(jié) 一元二次不等式及其解法沖關(guān)訓(xùn)練

第4節(jié) 一元二次不等式及其解法 1．不等式≤x－2的解集是(　　) A．(－∞，0]∪(2,4]　　　 B．[0,2)∪[4，＋∞) C．[2,4) D．(－∞，2]∪(4，＋∞) 解析：B　[原不等式可化為≤0. 即 由標(biāo)根法知，0≤x<2或x≥4.] 2．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集為{x|x<－3或x>1}，則函數(shù)y＝f(－x)的圖象可以為(　　) 解析：B　[由f(x)<0的解集為{x|x<－3或x>1}知a<0，y＝f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)為(－3,0)，(1,0)， ∴f(－x)圖象開(kāi)口向下，與x軸交點(diǎn)為(3,0)，(－1,0)．] 3．“0<a<1”是“ax2＋2ax＋1>0的解集是實(shí)數(shù)集R”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：A　[當(dāng)a＝0時(shí)，1>0，顯然成立；當(dāng)a≠0時(shí)，故ax2＋2ax＋1>0的解集是實(shí)數(shù)集R等價(jià)于0≤a<1.因此，“0<a<1”是“ax2＋2ax＋1>0的解集是實(shí)數(shù)集R”的充分而不必要條件．] 4．(2019·海拉爾區(qū)模擬)關(guān)于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集中，恰有3個(gè)整數(shù)，則a的取值范圍是(　　 ) A．(4,5) B．(－3，－2)∪(4,5) C．(4,5] D．[－3，－2)∪(4,5] 解析：D　[∵關(guān)于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0， ∴不等式化為(x－1)(x－a)＜0，當(dāng)a＞1時(shí)，得1＜x＜a，此時(shí)解集中的整數(shù)為2,3,4，則4＜a≤5， 當(dāng)a＜1時(shí)，得a＜x＜1，此時(shí)解集中的整數(shù)為－2，－1,0，則－3≤a＜－2，故a的取值范圍是[－3，－2)∪(4,5]．] 5．若不等式組的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　 ) A．(－∞，－4] B．[－4，＋∞) C．[－4,20] D．[－40,20) 解析：B　[由x2－2x－3≤0，得－1≤x≤3.設(shè)f(x)＝x2＋4x－(1＋a)，根據(jù)已知可轉(zhuǎn)化為存在x0∈[－1,3]使f(x0)≤0.易知函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,3]上為增函數(shù)，故只需f(－1)＝－4－a≤0即可，解得a≥－4.] 6．(2019·四平模擬)已知不等式ax2－5x＋b＞0的解集為{x|－3＜x＜2}，則不等式bx2－5x＋a＞0的解集為_(kāi)_______________________． 解析：∵ax2－5x＋b＞0的解集為{x|－3＜x＜2}， ∴ax2－5x＋b＝0的根為－3、2，即－3＋2＝，－3×2＝.解得a＝－5，b＝30. 則不等式bx2－5x＋a＞0可化為30x2－5x－5＞0，解得. 答案： 7．若關(guān)于x的不等式4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______． 解析：∵4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立， ∴4x－2x＋1≥a在[1,2]上恒成立． 令y＝4x－2x＋1＝(2x)2－2×2x＋1－1＝(2x－1)2－1. ∵1≤x≤2，∴2≤2x≤4.由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)2x＝2，即x＝1時(shí)，y有最小值0.∴a的取值范圍為(－∞，0]． 答案：(－∞，0] 8．若不等式x2－(2＋m)x＋m－1>0對(duì)任意m∈[－1,1]恒成立，則x的取值范圍是________． 解析：把不等式化為(1－x)m＋x2－2x－1>0. 設(shè)f(m)＝(1－x)m＋x2－2x－1，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的一次函數(shù)．f(m)在區(qū)間[－1,1]上大于0恒成立，只需 即? 解得x<－1或x>3，故x的取值范圍是(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞) 9．解關(guān)于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)． 解：原不等式可化為ax2＋(a－2)x－2≥0? (ax－2)(x＋1)≥0. ①當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式化為x＋1≤0?x≤－1. ②當(dāng)a>0時(shí)，原不等式化為(x＋1)≥0?x≥或x≤－1.③當(dāng)a<0時(shí)，原不等式化為(x＋1)≤0. 當(dāng)>－1，即a<－2時(shí)，原不等式等價(jià)于－1≤x≤； 當(dāng)＝－1，即a＝－2時(shí)，原不等式等價(jià)于x＝－1； 當(dāng)<－1，即a>－2，原不等式等價(jià)于≤x≤－1. 綜上所述，當(dāng)a<－2時(shí)，原不等式的解集為； 當(dāng)a＝－2時(shí)，原不等式的解集為{－1}； 當(dāng)－2<a<0時(shí)，原不等式的解集為； 當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式的解集為(－∞，－1]； 當(dāng)a>0時(shí)，原不等式的解集為(－∞，－1]∪. 10．已知函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)镽. (1)求a的取值范圍； (2)若函數(shù)f(x)的最小值為，解關(guān)于x的不等式x2－x－a2－a＜0. 解：(1)∵函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)镽， ∴ax2＋2ax＋1≥0恒成立，當(dāng)a＝0時(shí)，1≥0恒成立． 當(dāng)a≠0時(shí)，則有解得0＜a≤1， 綜上可知，a的取值范圍是[0,1]． (2)∵f(x)＝＝， ∵a＞0，∴當(dāng)x＝－1時(shí)，f(x)min＝， 由題意得，＝，∴a＝， ∴不等式x2－x－a2－a＜0可化為 x2－x－＜0.解得－＜x＜， 所以不等式的解集為. 4