2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 專題一 平面向量、三角函數(shù)與解三角形 第四講 三角函數(shù)與解三角形的綜合問題限時規(guī)范訓(xùn)練 理

第四講 三角函數(shù)與解三角形的綜合問題 1．(2019·黔東南州一模)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足bcos A－asin B＝0. (1)求A； (2)已知a＝2，B＝，求△ABC的面積． 解析：(1)∵bcos A－asin B＝0. ∴由正弦定理可得：sin Bcos A－sin Asin B＝0， ∵sin B>0，∴cos A＝sin A，∴tan A＝， ∵A∈(0，π)，∴A＝. (2)∵a＝2，B＝，A＝， ∴C＝，∴b＝6， ∴S△ABC＝ab＝×2×6＝6. 2．(2019·崇明區(qū)一模)已知函數(shù)f(x)＝cos x·sin x＋cos2x－. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f(A)＝，a＝3，b＝4.求△ABC的面積． 解析：(1)函數(shù)f(x)＝cos x·sin x＋cos2x－＝sin 2x＋cos 2x＝sin， 令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z. (2)由f(A)＝，即sin＝， △ABC是銳角三角形，∴2A＋＝， 可得A＝， 余弦定理：cos A＝＝， 解得：c＝2＋1或c＝2－1(舍去)， △ABC的面積S＝bcsin A＝4＋. 3．(2019·涪城區(qū)校級模擬)將函數(shù)f(x)＝2 sin的圖象沿x軸向左平移φ(其中，0<φ<π)個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到偶函數(shù)g(x)的圖象． (1)求g(x)的解析式； (2)若g＝，α∈(0，π)，求sin α的值． 解析：(1)將函數(shù)f(x)＝2sin的圖象沿x軸向左平移φ個單位長度， 得y＝f(x＋φ)＝2sin的圖象； 再將所得的圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變， 得到y(tǒng)＝2sin的圖象， 即g(x)＝2sin； 又g(x)為偶函數(shù)，則＋φ＝，解得φ＝， 所以g(x)＝2cos 2x. (2)由(1)知，g(x)＝2cos 2x， 則g＝2cos＝， 所以cos＝； 又α∈(0，π)， 所以sin＝， 所以sin α＝sin ＝sincos－cossin ＝×－× ＝. 4.(2019·長春二模)如圖，在三角形ABC中，AB＝3，∠ABC＝30°，cos∠ACB＝. (1)求AC的長； (2)作CD⊥BC，連接AD，若AD∶CD＝2∶3，求△ACD的面積． 解析：(1)由sin∠ACB＝，AC＝sin B＝2. (2)cos∠ACD＝sin∠ACB＝，設(shè)CD＝3m，AD＝2m， 有4m2＝4＋9m2－2·2·3m·，m＝1或m＝， 當(dāng)m＝1時，CD＝3，sin∠ACD＝，S△ACD＝·AC·CDsin∠ACD＝. 當(dāng)m＝時，CD＝，sin∠ACD＝，S△ACD＝·AC·CDsin∠ACD＝. 5．(2019·江門一模)平面四邊形ABCD中，邊AB＝BC＝5，CD＝8，對角線BD＝7. (1)求內(nèi)角C的大??； (2)若A、B、C、D四點共圓，求邊AD的長． 解析：(1)在△BCD中， cos C＝＝， C＝. (2)因為A、B、C、D四點共圓，所以A＝π－C＝ 在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2×AB×AD×cos A， 49＝25＋AD2＋5AD，解得AD＝3或AD＝－8. 由于AD>0，所以AD＝3. 6．(2019·泉州一模)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b＝5，(a＋b)sin A＝2bsin(A＋C)． (1)證明：△ABC為等腰三角形； (2)點D在邊AB上，AD＝2BD，CD＝，求AB. 解析：(1)證明：∵(a＋b)sin A＝2bsin (A＋C)＝2bsin B， ∴由正弦定理＝，可得：a(a＋b)＝2b2，整理可得(a＋2b)(a－b)＝0， ∵a＋2b>0， ∴a＝b，△ABC為等腰三角形，得證． (2)設(shè)BD＝x，則AD＝2x， 由余弦定理可得：cos∠CDA＝，cos∠CDB＝， ∵∠CDA＝π－∠CDB， ∴＝－，解得：x＝2， ∴AB＝6. - 4 -