高中數學 第一章 常用邏輯用語 學業(yè)分層測評2 四種命題 四種命題間的相互關系 新人教A版選修1-1

【課堂新坐標】2016-2017學年高中數學 第一章 常用邏輯用語 學業(yè)分層測評2 四種命題 四種命題間的相互關系 新人教A版選修1-1 (建議用時：45分鐘) [學業(yè)達標] 一、選擇題 1．命題“若m＝10，則m2＝100”與其逆命題、否命題、逆否命題這四個命題中，真命題是(　　) A．原命題、否命題　　　 B．原命題、逆命題 C．原命題、逆否命題 D．逆命題、否命題 【解析】　因為原命題是真命題，所以逆否命題也是真命題． 【答案】　C 2．有下列四個命題： (1)“若x2＋y2＝0，則xy＝0”的否命題； (2)“若x＞y，則x2＞y2”的逆否命題； (3)“若x≤3，則x2－x－6＞0”的否命題； (4)“對頂角相等”的逆命題． 其中真命題的個數是(　　) A．0　　　　B．1 C．2　　　　D．3 【解析】　 (1) 假 原命題的否命題與其逆命題有相同的真假性，其逆命題為“若xy＝0，則x2＋y2＝0”，為假命題 (2) 假 原命題與其逆否命題具有相同的真假性．而原命題為假命題(如x＝0，y＝－1)，故其逆否命題為假命題 (3) 假 該命題的否命題為“若x＞3，則x2－x－6≤0”，很明顯為假命題 (4) 假 該命題的逆命題為“相等的角是對頂角”，顯然是假命題 【答案】　A 3．下列說法中錯誤的個數是(　　) ①命題“余弦函數是周期函數”的否命題是“余弦函數不是周期函數”； ②命題“若x＞1，則x－1＞0”的否命題是“若x≤1，則x－1≤0”； ③命題“兩個正數的和為正數”的否命題是“兩個負數的和為負數”； ④命題“x＝－4是方程x2＋3x－4＝0的根”的否命題是“x＝－4不是方程x2＋3x－4＝0的根”． A．1　　　　B．2 C．3　　　　D．4 【解析】?、馘e誤，否命題是“若一個函數不是余弦函數，則它不是周期函數”；②正確；③錯誤，否命題是“若兩個數不全為正數，則它們的和不為正數”；④錯誤，否命題是“若一個數不是－4，則它不是方程x2＋3x－4＝0的根”． 【答案】　C 4．已知命題p：若a＞0，則方程ax2＋2x＝0有解，則其原命題、否命題、逆命題及逆否命題中真命題的個數為(　　) A．3　　　　B．2 C．1　　　　D．0 【解析】　易知原命題和逆否命題都是真命題，否命題和逆命題都是假命題．故選B. 【答案】　B 5．在下列四個命題中，真命題是(　　) A．“x＝3時，x2＋2x－3＝0”的否命題 B．“若b＝3，則b2＝9”的逆命題 C．若ac>bc，則a>b D．“相似三角形的對應角相等”的逆否命題 【解析】　A中命題的否命題為“x≠3時，x2＋2x－3≠0”，是假命題；B中命題的逆命題為“若b2＝9，則b＝3”，是假命題；C中當c<0時，為假命題；D中原命題與逆否命題等價，都是真命題．故選D. 【答案】　D 二、填空題 6．“若x，y全為零，則xy＝0”的否命題為________． 【答案】　若x，y不全為零，則xy≠0 7．下列命題中： ①若一個四邊形的四條邊不相等，則它不是正方形； ②正方形的四條邊相等； ③若一個四邊形的四條邊相等，則它是正方形． 其中互為逆命題的有________；互為否命題的有________；互為逆否命題的有________．(填序號) 【答案】?、诤廷邸、俸廷邸、俸廷? 8．給出下列命題： ①命題“若b2－4ac<0，則方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)無實根”的否命題； ②命題“△ABC中，若AB＝BC＝CA，那么△ABC為等邊三角形”的逆命題； ③命題“若a>b>0，則>>0”的逆否命題； ④“若m>1，則mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集為R”的逆命題． 其中，真命題的序號為________. 【導學號：26160008】 【解析】　①否命題：若b2－4ac≥0，則方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有實根，真命題； ②逆命題：若△ABC為等邊三角形，則AB＝BC＝CA，真命題； ③因為命題“若a>b>0，則>>0”是真命題，故其逆否命題是真命題； ④逆命題：若mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集是R，則m>1，假命題． 所以應填①②③. 【答案】?、佗冖? 三、解答題 9．寫出命題“已知a，b∈R，若a2>b2，則a>b”的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷它們的真假． 【解】　逆命題：已知a，b∈R，若a>b，則a2>b2； 否命題：已知a，b∈R，若a2≤b2，則a≤b； 逆否命題：已知a，b∈R，若a≤b，則a2≤b2. 原命題是假命題． 逆否命題也是假命題． 逆命題是假命題． 否命題也是假命題． 10．已知命題p：“若ac≥0，則二次方程ax2＋bx＋c＝0沒有實根”． (1)寫出命題p的否命題； (2)判斷命題p的否命題的真假，并證明你的結論． 【解】　(1)命題p的否命題為“若ac＜0，則二次方程ax2＋bx＋c＝0有實根”． (2)命題p的否命題是真命題． 證明如下： ∵ac＜0， ∴－ac＞0?Δ＝b2－4ac＞0?二次方程ax2＋bx＋c＝0有實根． ∴該命題是真命題． [能力提升] 1．(2014陜西高考)原命題為“若<an，n∈N＋，則{an}為遞減數列”，關于其逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是(　　) A．真，真，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假 【解析】　<an?an＋1<an?{an}為遞減數列． 原命題與其逆命題都是真命題，所以其否命題和逆否命題也都是真命題，故選A. 【答案】　A 2．下列四個命題：①“若x＋y＝0，則x＝0，且y＝0”的逆否命題；②“正方形是矩形”的否命題；③“若x＝1，則x2＝1”的逆命題；④若m＞2，則x2－2x＋m＞0.其中真命題的個數為(　　) A．0　　　　B．1 C．2　　　　D．3 【解析】　命題①的逆否命題是“若x≠0，或y≠0，則x＋y≠0”，為假命題； 命題②的否命題是“若一個四邊形不是正方形，則它不是矩形”，為假命題； 命題③的逆命題是“若x2＝1，則x＝1”，為假命題； 命題④為真命題，當m＞2時，方程x2－2x＋m＝0的判別式Δ＜0，對應二次函數圖象開口向上且與x軸無交點，所以函數值恒大于0. 【答案】　B 3．已知命題“若m－1＜x＜m＋1，則1＜x＜2”的逆命題為真命題，則m的取值范圍是________. 【導學號：26160009】 【解析】　由已知得，若1＜x＜2成立，則m－1＜x＜m＋1也成立． ∴ ∴1≤m≤2. 【答案】　[1,2] 4．判斷命題：“若b≤－1，則關于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有實根”的逆否命題的真假． 【解】　(利用原命題)因為原命題與逆否命題真假性一致，所以只需判斷原命題真假即可． 方程判別式為Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因為b≤－1，所以Δ≥4＞0，故此方程有兩個不相等的實根，即原命題為真，故它的逆否命題也為真．