高考數(shù)學(xué)三輪增分練 高考中檔大題規(guī)范練（三）概率與統(tǒng)計 理

(三)概率與統(tǒng)計 1．某項競賽分為初賽、復(fù)賽、決賽三個階段進行，每個階段選手要回答一個問題．規(guī)定正確回答問題者進入下一階段競賽，否則即遭淘汰．已知某選手通過初賽、復(fù)賽、決賽的概率分別是，，，且各階段通過與否相互獨立． (1)求該選手在復(fù)賽階段被淘汰的概率； (2)設(shè)該選手在競賽中回答問題的個數(shù)為ξ，求ξ的分布列與均值． 解　(1)記“該選手通過初賽”為事件A，“該選手通過復(fù)賽”為事件B，“該選手通過決賽”為事件C，則P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝. 那么該選手在復(fù)賽階段被淘汰的概率 P＝P(A)＝P(A)P()＝(1－)＝. (2)ξ可能取值為1,2,3. P(ξ＝1)＝1－＝，P(ξ＝2)＝(1－)＝， P(ξ＝3)＝＝. 故ξ的分布列為 ξ 1 2 3 P ξ的均值為E(ξ)＝1＋2＋3＝. 2．(2016山東)甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得3分；如果只有一個人猜對，則“星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得0分．已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果亦互不影響．假設(shè)“星隊”參加兩輪活動，求： (1)“星隊”至少猜對3個成語的概率； (2)“星隊”兩輪得分之和X的分布列和均值E(X)． 解　(1)記事件A：“甲第一輪猜對”，記事件B：“乙第一輪猜對”， 記事件C：“甲第二輪猜對”，記事件D：“乙第二輪猜對”， 記事件E：“‘星隊’至少猜對3個成語”． 由題意， E＝ABCD＋BCD＋ACD＋ABD＋ABC. 由事件的獨立性與互斥性， P(E)＝P(ABCD)＋P(BCD)＋P(ACD)＋P(ABD)＋P(ABC) ＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P()P(B)P(C)P(D)＋P(A)P()P(C)P(D)＋P(A)P(B)P()P(D)＋P(A)P(B)P(C)P() ＝＋2＝. 所以“星隊”至少猜對3個成語的概率為. (2)由題意，隨機變量X可能的取值為0,1,2,3,4,6.由事件的獨立性與互斥性，得 P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝2＝＝， P(X＝2)＝＋＋＋＝， P(X＝3)＝＋＝＝， P(X＝4)＝2＝＝， P(X＝6)＝＝＝. 故隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 4 6 P 所以均值E(X)＝0＋1＋2＋3＋4＋6＝. 3．(2016四川)我國是世界上嚴重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃調(diào)整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準x(噸)，一位居民的月用水量不超過x的部分按平價收費，超出x的部分按議價收費．為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖． (1)求直方圖中a的值； (2)設(shè)該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由； (3)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準x(噸)，估計x的值，并說明理由． 解　(1)由頻率分布直方圖知，月均用水量在[0,0.5)中的頻率為0.080.5＝0.04. 同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)中的頻率分別為0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02. 由0.04＋0.08＋0.5a＋0.20＋0.26＋0.5a＋0.06＋0.04＋0.02＝1，解得a＝0.30. (2)由(1)，知100位居民每人月均用水量不低于3噸的頻率為0.06＋0.04＋0.02＝0.12. 由以上樣本的頻率分布，可以估計全市30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300 0000.12＝36 000. (3)因為前6組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88>0.85， 而前5組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73<0.85. 所以2.5≤x<3.由0.30(x－2.5)＝0.85－0.73， 解得x＝2.9. 所以，估計月用水量標準為2.9噸時，85%的居民每月的用水量不超過標準． 4．(2016課標全國甲)某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下： 上年度出險次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 保費 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下： 一年內(nèi)出險次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 (1)求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率； (2)若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率； (3)求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值． 解　(1)設(shè)A表示事件“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”，則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1，故P(A)＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55. (2)設(shè)B表示事件“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60%”，則事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于3，故P(B)＝0.1＋0.05＝0.15. 又P(AB)＝P(B)， 故P(B|A)＝＝＝＝. 因此所求概率為. (3)記續(xù)保人本年度的保費為X，則X的分布列為 X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a P 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 E(X)＝0.85a0.30＋a0.15＋1.25a0.20＋1.5a0.20＋1.75a0.10＋2a0.05＝1.23a. 因此續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為1.23. 5．(2016課標全國丙)下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖． 注：年份代碼1－7分別對應(yīng)年份2008－2014 (1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明； (2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量． 附注： 參考數(shù)據(jù)：i＝9.32，iyi＝40.17, ＝0.55, ≈2.646. 參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝，回歸方程＝＋t中斜率和截距最小二乘估計公式分別為＝，＝－. 解　(1)由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得 ＝4，(ti－)2＝28, ＝0.55， (ti－)(yi－)＝iyi－i＝40.17－49.32＝2.89，r≈≈0.99. 因為y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系． (2)由＝≈1.331及(1)得＝＝≈0.103.＝－≈1.331－0.1034≈0.92. 所以y關(guān)于t的回歸方程為＝0.92＋0.10t. 將2016年對應(yīng)的t＝9代入回歸方程得＝0.92＋0.109＝1.82. 所以預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量將約為1.82億噸．