高考數(shù)學三輪增分練 高考壓軸大題突破練（四）函數(shù)與導數(shù)（2）理

(四)函數(shù)與導數(shù)(2) 1．(2016課標全國丙)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln x－x＋1. (1)討論f(x)的單調(diào)性； (2)證明：當x∈(1，＋∞)時，1<<x； (3)設(shè)c>1，證明：當x∈(0,1)時，1＋(c－1)x>cx. (1)解　由題設(shè)，f(x)的定義域為(0，＋∞)， f′(x)＝－1，令f′(x)＝0解得x＝1. 當0<x<1時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當x>1時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減． (2)證明　由(1)知，f(x)在x＝1處取得最大值，最大值為f(1)＝0. 所以當x≠1時，ln x<x－1. 故當x∈(1，＋∞)時，ln x<x－1，ln<－1， 即1<<x. (3)證明　由題設(shè)c>1，設(shè)g(x)＝1＋(c－1)x－cx， 則g′(x)＝c－1－cxln c．令g′(x)＝0，解得x0＝. 當x<x0時，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增； 當x>x0時，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減． 由(2)知1<<c，故0<x0<1. 又g(0)＝g(1)＝0，故當0<x<1時，g(x)>0. 所以當x∈(0,1)時，1＋(c－1)x>cx. 2．(2016課標全國甲)已知函數(shù)f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)． (1)當a＝4時，求曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程； (2)若當x∈(1，＋∞)時，f(x)>0，求a的取值范圍． 解　(1)f(x)的定義域為(0，＋∞)，當a＝4時，f(x)＝(x＋1)ln x－4(x－1)，f′(x)＝ln x＋－3，f′(1)＝－2，f(1)＝0，曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程為2x＋y－2＝0. (2)當x∈(1，＋∞)時，f(x)>0等價于ln x－>0，設(shè)g(x)＝ln x－，則 g′(x)＝－＝，g(1)＝0. ①當a≤2，x∈(1，＋∞)時，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1>0，故g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)單調(diào)遞增， 因此g(x)>0； ②當a>2時，令g′(x)＝0得， x1＝a－1－，x2＝a－1＋.由x2>1和x1x2＝1得x1<1，故當x∈(1，x2)時，g′(x)<0，g(x)在(1，x2)單調(diào)遞減，因此g(x)<0， 綜上，a的取值范圍是(－∞，2]． 3．(2016北京)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c. (1)求曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程； (2)設(shè)a＝b＝4，若函數(shù)f(x)有三個不同零點，求c的取值范圍； (3)求證：a2－3b＞0是f(x)有三個不同零點的必要而不充分條件． (1)解　由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，切線斜率k＝f′(0)＝b. 又f(0)＝c，所以切點坐標為(0，c)． 所以所求切線方程為y－c＝b(x－0)，即bx－y＋c＝0.(2)解　由a＝b＝4得f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c， 所以f′(x)＝3x2＋8x＋4＝(3x＋2)(x＋2)， 令f′(x)＝0，得(3x＋2)(x＋2)＝0， 解得x＝－2或x＝－， f′(x)，f(x)隨x的變化情況如下： x (－∞，－2) －2 － f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ c ↘ c－ ↗ 所以，當c＞0且c－＜0時，存在x1∈(－∞，－2)， x2∈，x3∈， 使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝0.由f(x)的單調(diào)性知，當且僅當c∈時，函數(shù)f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c有三個不同零點． (3)證明　當Δ＝4a2－12b＜0，即a2－3b＜0時， f′(x)＝3x2＋2ax＋b＞0，x∈(－∞，＋∞)， 此時函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增， 所以f(x)不可能有三個不同零點． 當Δ＝4a2－12b＝0時，f′(x)＝3x2＋2ax＋b只有一個零點，記作x0. 當x∈(－∞，x0)時，f′(x)＞0，f(x)在區(qū)間(－∞，x0)上單調(diào)遞增； 當x∈(x0，＋∞)時，f′(x)＞0，f(x)在區(qū)間(x0，＋∞)上單調(diào)遞增． 所以f(x)不可能有三個不同零點． 綜上所述，若函數(shù)f(x)有三個不同零點， 則必有Δ＝4a2－12b＞0， 故a2－3b＞0是f(x)有三個不同零點的必要條件． 當a＝b＝4，c＝0時，a2－3b＞0，f(x)＝x3＋4x2＋4x＝x(x＋2)2只有兩個不同零點， 所以a2－3b＞0不是f(x)有三個不同零點的充分條件． 因此a2－3b＞0是f(x)有三個不同零點的必要而不充分條件． 4．(2016山東)已知f(x)＝a(x－ln x)＋，a∈R. (1)討論f(x)的單調(diào)性； (2)當a＝1時，證明f(x)>f′(x)＋對于任意的x∈[1,2]成立． (1)解　f(x)的定義域為(0，＋∞)， f′(x)＝a－－＋＝. 當a≤0時，x∈(0,1)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增， x∈(1，＋∞)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減． 當a>0時，f′(x)＝. ①0<a<2時，>1， 當x∈(0,1)或x∈時， f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增， 當x∈時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減． ②a＝2時，＝1，在x∈(0，＋∞)內(nèi)，f′(x)≥0，f(x)單調(diào)遞增． ③a>2時，0<<1，當x∈或x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增； 當x∈時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減． 綜上所述，當a≤0時，f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增， 在(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減； 當0<a<2時，f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增； 當a＝2時，f(x)在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增； 當a>2時，f(x)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增． (2)證明　由(1)知，a＝1時， f(x)－f′(x)＝x－ln x＋－ ＝x－ln x＋＋－－1，x∈[1,2]． 設(shè)g(x)＝x－ln x，h(x)＝＋－－1，x∈[1,2]， 則f(x)－f′(x)＝g(x)＋h(x)． 由g′(x)＝≥0，可得g(x)≥g(1)＝1， 當且僅當x＝1時取得等號． 又h′(x)＝. 設(shè)φ(x)＝－3x2－2x＋6， 則φ(x)在x∈[1,2]內(nèi)單調(diào)遞減． 因為φ(1)＝1，φ(2)＝－10，所以?x0∈(1,2)，使得x∈(1，x0)時，φ(x)>0，x∈(x0，2)時，φ(x)<0. 所以h(x)在(1，x0)內(nèi)單調(diào)遞增，在(x0，2)內(nèi)單調(diào)遞減． 由h(1)＝1，h(2)＝，可得h(x)≥h(2)＝， 當且僅當x＝2時取得等號． 所以f(x)－f′(x)>g(1)＋h(2)＝， 即f(x)>f′(x)＋對于任意的x∈[1,2]成立．