高考數(shù)學(xué)三輪增分練 高考小題分項(xiàng)練10 圓錐曲線 理

高考小題分項(xiàng)練10　圓錐曲線 1．橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為點(diǎn)F1、F2，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)(非左右頂點(diǎn))，則△PF1F2的周長(zhǎng)為(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 答案　C 解析　由＋＝1知a＝3，b＝，c＝＝2，所以△PF1F2周長(zhǎng)為2a＋2c＝6＋4＝10，故選C. 2．已知圓x2＋y2＋mx－＝0與拋物線x2＝4y的準(zhǔn)線相切，則實(shí)數(shù)m等于(　　) A．2 B． C. D. 答案　B 解析　因?yàn)閳Ax2＋y2＋mx－＝0，即(x＋)2＋y2＝與拋物線x2＝4y的準(zhǔn)線相切，所以 ＝1， m＝，故選B. 3．點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1的直線l與C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF2為等邊三角形，則雙曲線C的離心率為(　　) A. B．2 C. D．3 答案　C 解析　∵△ABF2是等邊三角形，∴|BF2|＝|AB|， 根據(jù)雙曲線的定義，可得 |BF1|－|BF2|＝2a， ∴|BF1|－|AB|＝|AF1|＝2a， 又∵|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF2|＝|AF1|＋2a＝4a. ∵在△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a， ∠F1AF2＝120， ∴|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1||AF2|cos 120， 即4c2＝4a2＋16a2－22a4a(－)＝28a2， 解得c＝a，由此可得雙曲線C的離心率e＝＝. 4．如圖，拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F，過拋物線上一點(diǎn)A(3，y)向準(zhǔn)線l作垂線，垂足為B，若△ABF為等邊三角形，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　) A．y2＝x B．y2＝x C．y2＝2x D．y2＝4x 答案　D 解析　設(shè)拋物線方程為y2＝2px，則F(，0)，將A(3，y)代入拋物線方程得y2＝6p，y＝，由于△ABF為等邊三角形，故kAF＝，即＝，解得p＝2. 5．過雙曲線x2－＝1右支上一點(diǎn)P，分別向圓C1：(x＋4)2＋y2＝4和圓C2：(x－4)2＋y2＝1作切線，切點(diǎn)分別為M，N，則|PM|2－|PN|2的最小值為(　　) A．10 B．13 C．16 D．19 答案　B 解析　|PM|2－|PN|2＝(|PC1|2－4)－(|PC2|2－1)＝|PC1|2－|PC2|2－3 ＝(|PC1|－|PC2|)(|PC1|＋|PC2|)－3 ＝2(|PC1|＋|PC2|)－3≥2|C1C2|－3＝13， 故選B. 6．雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)與拋物線y2＝2px(p>0)相交于A，B兩點(diǎn)，直線AB恰好過它們的公共焦點(diǎn)F，則雙曲線C的離心率為(　　) A. B．1＋ C．2 D．2＋ 答案　B 解析　由題意，得xA＝xB＝＝c， |yA|＝ ＝p＝2c， 因此－＝1?＝?b2＝2ac?c2－a2＝2ac ?e2－2e－1＝0?e＝1＋(負(fù)值舍去)，故選B. 7．已知a>b>0，橢圓C1的方程為＋＝1，雙曲線C2的方程為－＝1，C1與C2的離心率之積為，則C2的漸近線方程為(　　) A.xy＝0 B．xy＝0 C．2xy＝0 D．x2y＝0 答案　B 解析　a>b>0，橢圓C1的方程為＋＝1，離心率為；雙曲線C2的方程為－＝1，離心率為. ∵C1與C2的離心率之積為， ∴ ＝， ∴()2＝，＝， C2的漸近線方程為：y＝x， 即xy＝0.故選B. 8．我們把焦點(diǎn)相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對(duì)“相關(guān)曲線”．已知點(diǎn)F1、F2是一對(duì)相關(guān)曲線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P是它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)，當(dāng)∠F1PF2＝30時(shí)，這一對(duì)相關(guān)曲線中橢圓的離心率是(　　) A．7－4 B．2－ C.－1 D．4－2 答案　B 解析　由題意設(shè)橢圓方程為＋＝1， 雙曲線方程為－＝1，且c＝c1. 由題意＝1，(*) 又∠F1PF2＝30，由余弦定理得： 在橢圓中，4c2＝4a2－(2＋)|PF1||PF2|， 在雙曲線中，4c2＝4a＋(2－)|PF1||PF2|， 可得b＝(7－4)b2，代入(*)得 c4＝aa2＝(c2－b)a2＝(8－4)c2a2－(7－4)a4， 即e4－(8－4)e2＋(7－4)＝0， 得e2＝7－4，即e＝2－，故選B. 9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P為雙曲線x2－2y2＝1的右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P到直線x－2y＋2＝0的距離大于m恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為(　　) A．2 B. C. D. 答案　C 解析　設(shè)點(diǎn)P(x，y)，由題意得[]min>m，而直線x－2y＋2＝0與漸近線x－2y＝0的距離為＝，因此[]min>，即m≤，實(shí)數(shù)m的最大值為，故選C. 10．過雙曲線C：－＝1(a>0，b>0，c＝)的左焦點(diǎn)F作圓x2＋y2＝的切線，切點(diǎn)為E，延長(zhǎng)FE交雙曲線C的右支于點(diǎn)P，若點(diǎn)E為PF的中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為(　　) A.＋1 B. C.＋1 D. 答案　C 解析　設(shè)雙曲線C：－＝1 (a>0，b>0，c＝)的右焦點(diǎn)是F′，則PF′的長(zhǎng)是c，并且∠FPF′＝，∴|PF|＝c，從而c－c＝2a，∴e＝＋1， 故選C. 11．雙曲線C：－＝1 (a>0，b>0)的離心率為，拋物線y2＝2px (p>0)的準(zhǔn)線與雙曲線C的漸近線交于A，B兩點(diǎn)，△OAB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4，則拋物線的方程為(　　) A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y＝4x 答案　A 解析　∵e＝＝?c＝a，∴b＝＝a， ∴y＝x＝x， ∴S△AOB＝p＝4，∴p＝4， ∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2＝8x，故選A. 12．已知點(diǎn)P(，)在雙曲線－＝1上，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)F1、F2，△PF1F2的內(nèi)切圓與x軸相切于點(diǎn)M，則的值為(　　) A.＋1 B.－1 C.＋1 D.－1 答案　B 解析　點(diǎn)P(，)在雙曲線－＝1上，可得a＝1， 設(shè)點(diǎn)M(x,0)，內(nèi)切圓與x軸相切于點(diǎn)M，PF1，PF2與圓分別切于點(diǎn)N，H，由雙曲線的定義可知|PF1|－|PF2|＝2a＝2，由切線長(zhǎng)定理知|PN|＝|PH|，|NF1|－|HF2|＝2， 即|MF1|－|MF2|＝2， 可得(x＋2)－(2－x)＝2，解得x＝1，M(1,0)，＝(－1，)(2－1,0)＝－1，故選B. 13．已知點(diǎn)P在拋物線y2＝4x上，當(dāng)點(diǎn)P到直線y＝x＋4的距離最短時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是________． 答案　(1,2) 解析　設(shè)P(，y)，則點(diǎn)P到直線y＝x＋4的距離d＝＝，當(dāng)y＝2時(shí)，d取得最小值．把y＝2代入y2＝4x，得x＝1，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2)． 14．已知點(diǎn)F1、F2是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且⊥.若△PF1F2的面積為9，則b＝________. 答案　3 解析　由⊥知∠F1PF2＝90， 則由題意，得 可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9， 所以b＝3. 15．已知點(diǎn)F1、F2分別為橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓上一點(diǎn)，且△MF1F2內(nèi)切圓的周長(zhǎng)等于3π，若滿足條件的點(diǎn)M恰好有2個(gè)，則a2＝________. 答案　25 解析　由橢圓的對(duì)稱性，知滿足題意的點(diǎn)M是橢圓短軸的端點(diǎn)， |MF1|＝|MF2|＝a.設(shè)內(nèi)切圓半徑為r， 則2πr＝3π，r＝，又(2a＋2c)r＝2c4，所以(a＋)＝4，解得a2＝25. 16．方程＋＝1表示的曲線為C，給出下列四個(gè)命題： ①曲線C不可能是圓； ②若1<k<4，則曲線C為橢圓； ③若曲線C為雙曲線，則k<1或k>4； ④若曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則1<k<. 其中正確的是________． 答案?、邰? 解析　①＋＝1，當(dāng)4－k＝k－1，k＝時(shí)為圓，錯(cuò)誤． ②若曲線C為橢圓，則解得{k|1<k<4，且k≠}，錯(cuò)誤． ③若C為雙曲線，則(4－k)(k－1)<0，解得k<1或k>4，正確． ④C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，得 解得：1<k<，正確．綜上，正確的是③④.