高考數(shù)學(xué)三輪增分練 高考大題縱橫練（二）理

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高考大題縱橫練(二) 1．(2016天津)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知asin 2B＝bsin A. (1)求B； (2)若cos A＝，求sin C的值． 解　(1)在△ABC中，由＝， 可得asin B＝bsin A. 又由asin 2B＝bsin A， 得2asin Bcos B＝bsin A＝asin B， 所以cos B＝，所以B＝. (2)由cos A＝，可得sin A＝，則 sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin ＝sin A＋cos A＝. 2．為了了解某校今年高三男生的身體狀況，隨機抽查了部分男生，將測得的他們的體重(單位：千克)數(shù)據(jù)整理后，畫出了頻率分布直方圖(如圖)．已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為1∶2∶3，其中第2小組的頻數(shù)為12. (1)求該校隨機抽查的部分男生的總?cè)藬?shù)； (2)以這所學(xué)校的樣本數(shù)據(jù)來估計全市的總體數(shù)據(jù)，若從全市高三男生中任選3人，設(shè)X表示體重超過55千克的學(xué)生人數(shù)，求X的均值． 解　(1)設(shè)該校隨機抽查的部分男生的總?cè)藬?shù)為n，前3個小組的頻率分別為P1、P2、P3，則 解得 因為P2＝0.25＝，所以n＝48. 故該校隨機抽查的部分男生的總?cè)藬?shù)為48. (2)由(1)可得，一個男生體重超過55千克的概率為 P＝P3＋(0.037 5＋0.012 5)5＝. 所以X～B(3，)， 所以P(X＝k)＝C()k()3－k，k＝0,1,2,3. 隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P 則E(X)＝0＋1＋2＋3＝.(或E(X)＝3＝) 3．(2016四川)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90，BC＝CD＝AD. (1)在平面PAD內(nèi)找一點M，使得直線CM∥平面PAB，并說明理由； (2)證明：平面PAB⊥平面PBD. (1)解　取棱AD的中點M(M∈平面PAD)，點M即為所求的一個點，理由如下： 因為AD∥BC，BC＝AD. 所以BC∥AM，且BC＝AM. 所以四邊形AMCB是平行四邊形，從而CM∥AB. 又AB?平面PAB，CM?平面PAB. 所以CM∥平面PAB. (說明：取棱PD的中點N，則所找的點可以是直線MN上任意一點) (2)證明　由已知，PA⊥AB，PA⊥CD. 因為AD∥BC，BC＝AD，所以直線AB與CD相交， 所以PA⊥平面ABCD， 從而PA⊥BD. 連接BM，因為AD∥BC，BC＝AD，M為AD的中點， 所以BC∥MD，且BC＝MD. 所以四邊形BCDM是平行四邊形， 所以BM＝CD＝AD，所以BD⊥AB. 又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB. 又BD?平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD. 4．(2016山東)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差數(shù)列，且an＝bn＋bn＋1. (1)求數(shù)列{bn}的通項公式； (2)令cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn. 解　(1)由題意知，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5. 當n＝1時，a1＝S1＝11，符合上式． 所以an＝6n＋5. 設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d， 由即 解得所以bn＝3n＋1. (2)由(1)知cn＝＝3(n＋1)2n＋1.. 又Tn＝c1＋c2＋…＋cn， 得Tn＝3[222＋323＋…＋(n＋1)2n＋1]， 2Tn＝3[223＋324＋…＋(n＋1)2n＋2]， 兩式作差，得 －Tn＝3[222＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)2n＋2] ＝3＝－3n2n＋2. 所以Tn＝3n2n＋2. 5．(2015陜西)已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的半焦距為c，原點O到經(jīng)過兩點(c,0)，(0，b)的直線的距離為c. (1)求橢圓E的離心率； (2)如圖，AB是圓M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過A，B兩點，求橢圓E的方程． 解　(1)過點(c,0)，(0，b)的直線方程為bx＋cy－bc＝0， 則原點O到該直線的距離d＝＝， 由d＝c，得a＝2b＝2，解得離心率＝. (2)方法一　由(1)知，橢圓E的方程為x2＋4y2＝4b2.① 依題意，圓心M(－2,1)是線段AB的中點，且|AB|＝. 易知，AB與x軸不垂直，設(shè)其方程為y＝k(x＋2)＋1，代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－， x1x2＝， 由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k＝， 從而x1x2＝8－2b2. 于是|AB|＝ |x1－x2| ＝＝， 由|AB|＝，得＝，解得b2＝3， 故橢圓E的方程為＋＝1. 方法二　由(1)知，橢圓E的方程為x2＋4y2＝4b2，② 依題意，點A，B關(guān)于圓心M(－2,1)對稱，且|AB|＝，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x＋4y＝4b2，x＋4y＝4b2， 兩式相減并結(jié)合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，得－4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0， 易知AB與x軸不垂直，則x1≠x2， 所以AB的斜率kAB＝＝， 因此直線AB的方程為y＝(x＋2)＋1， 代入②得x2＋4x＋8－2b2＝0， 所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2， 于是|AB|＝ |x1－x2| ＝＝. 由|AB|＝，得＝，解得b2＝3， 故橢圓E的方程為＋＝1. 6．已知函數(shù)f(x)＝aln x＋bx2－(a＋b)x. (1)當a＝1，b＝0時，求f(x)的最大值； (2)當b＝1時，設(shè)α，β是f(x)的兩個極值點，且α<β，β∈(1，e](其中e為自然對數(shù)的底數(shù))．求證：對任意的x1，x2∈[α，β]，|f(x1)－f(x2)|<1. (1)解　f(x)的定義域為(0，＋∞)． 當a＝1，b＝0時，f(x)＝ln x－x， 求導(dǎo)數(shù)，得f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，解得x＝1. 當00，∴f(x)在(0,1)上是增函數(shù)； 當x>1時，f′(x)<0，∴f(x)在(1，＋∞)上是減函數(shù)． 故f(x)在x＝1處取得最大值f(1)＝－1. (2)證明　當b＝1時，f(x)＝aln x＋x2－(a＋1)x， 求導(dǎo)數(shù)，得f′(x)＝＋x－(a＋1) ＝＝， 令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝a. ∵α，β是f(x)的兩個極值點，且α<β，β∈(1，e]， ∴α＝1，β＝a∈(1，e]， ∴當x∈[α，β]時，f′(x)≤0， ∴f(x)在[α，β]上單調(diào)遞減， ∴f(x)max＝f(1)，f(x)min＝f(a)， ∴對任意的x1，x2∈[α，β]， |f(x1)－f(x2)|≤f(1)－f(a) ＝[－(a＋1)]－[a2＋aln a－a(a＋1)] ＝a2－aln a－. 令g(a)＝a2－aln a－，則g′(a)＝a－1－ln a， 由(1)知ln x－x≤－1，即ln x≤x－1， ∴g′(a)≥0，∴g(a)在(1，e]上單調(diào)遞增， ∴g(a)≤g(e)＝e2－e－＝e(e－1)－<3(－1)－＝1. 故對任意的x1，x2∈[α，β]，|f(x1)－f(x2)|<1.