（全國通用）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第四層熱身篇 專題檢測（八）等差數(shù)列、等比數(shù)列

專題檢測（八） 等差數(shù)列、等比數(shù)列 A組——“6＋3＋3”考點(diǎn)落實(shí)練 一、選擇題 1.(2019·全國卷Ⅲ)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和為15，且a5＝3a3＋4a1，則a3＝(　　) A.16　　　　　　　　　 B.8 C.4 D.2 解析：選C　由題意知 解得∴ a3＝a1q2＝4.故選C. 2.(2019·湖南省五市一校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，a2＋a4＋a6＝12，a1＋a3＋a5＝9，則a1＋a6＝(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 解析：選B　法一：由題意知，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則解得所以a1＋a6＝a1＋a1＋5d＝7，故選B. 法二：由題意知，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，將a2＋a4＋a6＝12與a1＋a3＋a5＝9相加可得3(a1＋a6)＝12＋9＝21，所以a1＋a6＝7，故選B. 3.(2019·福州市質(zhì)量檢測)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn.若a3＝4，a2a6＝64，則S5＝(　　) A.32 B.31 C.64 D.63 解析：選B　法一：設(shè)首項(xiàng)為a1，公比為q，因?yàn)閍n＞0，所以q＞0，由條件得解得所以S5＝31，故選B. 法二：設(shè)首項(xiàng)為a1，公比為q，因?yàn)閍n＞0，所以q＞0，由a2a6＝a＝64，a3＝4，得q＝2，a1＝1，所以S5＝31，故選B. 4.數(shù)列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，那么a2 019＝(　　) A.1 B.－2 C.3 D.－3 解析：選A　因?yàn)閍n＋1＝an－an－1(n≥2)，所以an＝an－1－an－2(n≥3)，所以an＋1＝an－an－1＝(an－1－an－2)－an－1＝－an－2(n≥3). 所以an＋3＝－an(n∈N*)，所以an＋6＝－an＋3＝an， 故{an}是以6為周期的周期數(shù)列. 因?yàn)? 019＝336×6＋3， 所以a2 019＝a3＝a2－a1＝3－2＝1.故選A. 5.(2019屆高三·西安八校聯(lián)考)若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S6>S7>S5，則滿足SnSn＋1<0的正整數(shù)n的值為(　　) A.10 B.11 C.12 D.13 解析：選C　由S6>S7>S5，得S7＝S6＋a7<S6，S7＝S5＋a6＋a7>S5，所以a7<0，a6＋a7>0，所以S13＝＝13a7<0，S12＝＝6(a6＋a7)>0，所以S12S13<0，即滿足SnSn＋1<0的正整數(shù)n的值為12，故選C. 6.已知數(shù)列{an}滿足an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N*，且a5＝，若函數(shù)f(x)＝sin 2x＋2cos2 ，記yn＝f(an)，則數(shù)列{yn}的前9項(xiàng)和為(　　) A.0 B.－9 C.9 D.1 解析：選C　由已知可得，數(shù)列{an}為等差數(shù)列，f(x)＝sin 2x＋cos x＋1，∴f＝1.∵f(π－x)＝sin(2π－2x)＋cos(π－x)＋1＝－sin 2x－cos x＋1，∴f(π－x)＋f(x)＝2，∵a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5＝π，∴f(a1)＋…＋f(a9)＝2×4＋1＝9，即數(shù)列{yn}的前9項(xiàng)和為9. 二、填空題 7.(2019·全國卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝1，S3＝，則S4＝________. 解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則an＝a1qn－1＝qn－1. ∵ a1＝1，S3＝，∴ a1＋a2＋a3＝1＋q＋q2＝， 即4q2＋4q＋1＝0，∴ q＝－， ∴ S4＝＝. 答案： 8.(2019·北京高考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2＝－3，S5＝－10，則a5＝________，Sn的最小值為________. 解析：∵ a2＝a1＋d＝－3，S5＝5a1＋10d＝－10， ∴ a1＝－4，d＝1， ∴ a5＝a1＋4d＝0， ∴ an＝a1＋(n－1)d＝n－5. 令an<0，則n<5，即數(shù)列{an}中前4項(xiàng)為負(fù)，a5＝0，第6項(xiàng)及以后為正. ∴ Sn的最小值為S4＝S5＝－10. 答案：0?。?0 9.設(shè)某數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若為常數(shù)，則稱該數(shù)列為“和諧數(shù)列”.若一個首項(xiàng)為1，公差為d(d≠0)的等差數(shù)列{an}為“和諧數(shù)列”，則該等差數(shù)列的公差d＝________. 解析：由＝k(k為常數(shù))，且a1＝1，得n＋n(n－1)d＝k，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，整理得，(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0，∵對任意正整數(shù)n，上式恒成立，∴得∴數(shù)列{an}的公差為2. 答案：2 三、解答題 10.(2019·北京高考)設(shè){an}是等差數(shù)列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比數(shù)列. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)記{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求Sn的最小值. 解：(1)設(shè){an}的公差為d.因?yàn)閍1＝－10， 所以a2＝－10＋d，a3＝－10＋2d，a4＝－10＋3d. 因?yàn)閍2＋10，a3＋8，a4＋6成等比數(shù)列， 所以(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6). 所以(－2＋2d)2＝d(－4＋3d). 解得d＝2. 所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－12. (2)由(1)知，an＝2n－12. 則當(dāng)n≥7時，an>0；當(dāng)n≤6時，an≤0. 所以Sn的最小值為S5＝S6＝－30. 11.(2019·廣西梧州、桂林、貴港等期末)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a2＋a3＝8，S9＝81. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)若S3，a14，Sm成等比數(shù)列，求S2m. 解：(1)∵∴ 故an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. (2)由(1)知，Sn＝＝n2. ∵S3，a14，Sm成等比數(shù)列，∴S3·Sm＝a， 即9m2＝272，解得m＝9，故S2m＝182＝324. 12.(2019·廣州市調(diào)研測試)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a3＝7，an＝2an－1＋a2－2(n≥2). (1)證明：數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并判斷n，an，Sn是否成等差數(shù)列？ 解：(1)證明：∵a3＝7，a3＝3a2－2，∴a2＝3， ∴an＝2an－1＋1， ∴a1＝1， ＝＝2(n≥2)， ∴數(shù)列{an＋1}是首項(xiàng)為a1＋1＝2，公比為2的等比數(shù)列. (2)由(1)知，an＋1＝2n， ∴an＝2n－1， ∴Sn＝－n＝2n＋1－n－2， ∴n＋Sn－2an＝n＋(2n＋1－n－2)－2(2n－1)＝0， ∴n＋Sn＝2an， 即n，an，Sn成等差數(shù)列. B組——大題專攻強(qiáng)化練 1.(2019·湖南省湘東六校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足an＋1－3an＝3n(n∈N*)且a1＝1. (1)設(shè)bn＝，證明：數(shù)列{bn}為等差數(shù)列； (2)設(shè)cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn. 解：(1)證明：由已知得an＋1＝3an＋3n，得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1， 所以bn＋1－bn＝1，又a1＝1，所以b1＝1， 所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列. (2)由(1)知，bn＝＝n，所以an＝n·3n－1，cn＝， 所以Sn＝＝＝－. 2.(2019·全國卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知S9＝－a5. (1)若a3＝4，求{an}的通項(xiàng)公式； (2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范圍. 解：(1)設(shè){an}的公差為d. 由S9＝－a5得a1＋4d＝0. 由a3＝4得a1＋2d＝4. 于是a1＝8，d＝－2. 因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式為an＝10－2n. (2)由(1)得a1＝－4d，故an＝(n－5)d， Sn＝. 由a1>0知d<0，故Sn≥an等價于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10，所以n的取值范圍是{n|1≤n≤10，n∈N}. 3.(2019·全國卷Ⅱ)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4. (1)證明：{an＋bn}是等比數(shù)列，{an－bn}是等差數(shù)列； (2)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式. 解：(1)證明：由題設(shè)得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即 an＋1＋bn＋1＝(an＋bn). 又因?yàn)閍1＋b1＝1， 所以{an＋bn}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列. 由題設(shè)得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8， 即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2. 又因?yàn)閍1－b1＝1， 所以{an－bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列. (2)由(1)知，an＋bn＝，an－bn＝2n－1， 所以an＝[(an＋bn)＋(an－bn)]＝＋n－， bn＝[(an＋bn)－(an－bn)]＝－n＋. 4.已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝3，a3＝7，且對任意的n∈N*，都有an－2an＋1＋an＋2＝0，數(shù)列{bn}滿足bn＝a，n∈N*. (1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式； (2)求使b1＋b2＋…＋bn＞2 020成立的最小正整數(shù)n的值. 解：(1)令n＝1得，a1－2a2＋a3＝0，解得a2＝5. 又由an－2an＋1＋an＋2＝0知，an＋2－an＋1＝an＋1－an＝…＝a2－a1＝2， 故數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1＝3，公差d＝2的等差數(shù)列， 于是an＝2n＋1， bn＝a＝2n＋1. (2)由(1)知，bn＝2n＋1. 于是b1＋b2＋…＋bn＝(21＋22＋…＋2n)＋n＝＋n＝2n＋1＋n－2. 令f(n)＝2n＋1＋n－2，易知f(n)是關(guān)于n的單調(diào)遞增函數(shù)， 又f(9)＝210＋9－2＝1 031，f(10)＝211＋10－2＝2 056， 故使b1＋b2＋…＋bn＞2 020成立的最小正整數(shù)n的值是10. - 7 -