（通用版）2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 專題突破練8 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的值或范圍 理

專題突破練8　應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的值或范圍 1.(2019北京順義統(tǒng)考二,文18)設(shè)函數(shù)f(x)=ax-ln x,a∈R. (1)若點(diǎn)(1,1)在曲線y=f(x)上,求在該點(diǎn)處曲線的切線方程; (2)若f(x)有極小值2,求a. 2.(2019山東濰坊二模,文21)已知函數(shù)f(x)=xex-aln x(無(wú)理數(shù)e=2.718…). (1)若f(x)在(0,1)單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)a的取值范圍; (2)當(dāng)a=-1時(shí),設(shè)g(x)=x(f(x)-xex)-x3+x2-b,若函數(shù)g(x)存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)b的最大值. 3.設(shè)函數(shù)f(x)=emx+x2-mx. (1)證明:f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,在(0,+∞)單調(diào)遞增; (2)若對(duì)于任意x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1,求m的取值范圍. 4.(2019湘贛十四校聯(lián)考二,理21)已知函數(shù)f(x)=(ax-1)ex+a. (1)若f(x)≥f(0)恒成立,求f(x)在(1,f(1))處的切線方程; (2)若f(x)<ax有且只有兩個(gè)整數(shù)解,求a的取值范圍. 5.(2019四川第二次診斷,理21)已知f(x)=xln x. (1)求f(x)的極值; (2)若f(x)-axx=0有兩個(gè)不同解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 6.(2019山東德州一模,理21,文21)已知函數(shù)f(x)=e2x-3-(2x-3)2. (1)證明:當(dāng)x≥32時(shí),f(x)≥1; (2)設(shè)g(x)=14+lnx2,若存在實(shí)數(shù)x1,x2,使得f(x1)+(2x1-3)2=g(x2),求x2-x1的最小值. 參考答案 專題突破練8　應(yīng)用導(dǎo)數(shù) 求參數(shù)的值或范圍 1.解(1)因?yàn)辄c(diǎn)(1,1)在曲線y=f(x)上, 所以a=1,f(x)=x-lnx. 又f'(x)=x2x-1x=x-22x, 所以f'(1)=-12. 在該點(diǎn)處曲線的切線方程為y-1=-12(x-1), 即x+2y-3=0. (2)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞), f'(x)=ax2x-1x=ax-22x. 討論:①當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)<0,此時(shí)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,所以不存在極小值. ②當(dāng)a>0時(shí),令f'(x)=0可得x=4a2, 當(dāng)x發(fā)生變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表: x 0,4a2 4a2 4a2,+∞ f'(x) - 0 + f(x) 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增 所以f(x)在0,4a2上單調(diào)遞減,在4a2,+∞上單調(diào)遞增, 所以f(x)極小值=f4a2=2-ln4a2,所以2-ln4a2=2,解得a=2(負(fù)值舍去). 2.解(1)f'(x)=(x+1)ex-ax=(x2+x)ex-ax. 由題意可得f'(x)≤0,x∈(0,1)恒成立. 即(x2+x)ex-a≤0,也就是a≥(x2+x)ex在x∈(0,1)恒成立. 設(shè)h(x)=(x2+x)ex,則h'(x)=(x2+3x+1)ex. 當(dāng)x∈(0,1)時(shí),x2+3x+1>0,h'(x)>0在x∈(0,1)單調(diào)遞增. 即h(x)<h(1)=2e.故a≥2e. (2)當(dāng)a=-1時(shí),f(x)=xex+lnx.g(x)=xlnx-x3+x2-b, 由題意得問(wèn)題等價(jià)于方程b=xlnx-x3+x2,在(0,+∞)上有解. 先證明lnx≤x-1.設(shè)u(x)=lnx-x+1,x∈(0,+∞),則u'(x)=1x-1=1-xx. 可得當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)u(x)取得極大值, ∴u(x)≤u(1)=0.因此lnx≤x-1, 所以b=xlnx-x3+x2≤x(x-1)-x3+x2=-x(x2-2x+1)≤0.當(dāng)x=1時(shí),取等號(hào). 故實(shí)數(shù)b的最大值為0. 3.解(1)f'(x)=m(emx-1)+2x. 若m≥0,則當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),emx-1≤0,f'(x)<0; 當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),emx-1≥0,f'(x)>0. 若m<0,則當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),emx-1>0,f'(x)<0; 當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),emx-1<0,f'(x)>0. 所以,f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,在(0,+∞)單調(diào)遞增. (2)由(1)知,對(duì)任意的m,f(x)在[-1,0]單調(diào)遞減,在[0,1]單調(diào)遞增,故f(x)在x=0處取得最小值. 所以對(duì)于任意x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤e-1的充要條件是f(1)-f(0)≤e-1,f(-1)-f(0)≤e-1, 即em-m≤e-1,e-m+m≤e-1.① 設(shè)函數(shù)g(t)=et-t-e+1,則g'(t)=et-1. 當(dāng)t<0時(shí),g'(t)<0; 當(dāng)t>0時(shí),g'(t)>0. 故g(t)在(-∞,0)單調(diào)遞減,在(0,+∞)單調(diào)遞增. 又g(1)=0,g(-1)=e-1+2-e<0,故當(dāng)t∈[-1,1]時(shí),g(t)≤0. 當(dāng)m∈[-1,1]時(shí),g(m)≤0,g(-m)≤0,即①式成立; 當(dāng)m>1時(shí),由g(t)的單調(diào)性,g(m)>0,即em-m>e-1; 當(dāng)m<-1時(shí),g(-m)>0,即e-m+m>e-1. 綜上,m的取值范圍是[-1,1]. 4.解(1)∵f(x)=(ax-1)ex+a, ∴f'(x)=(ax-1+a)ex. ∵f(x)≥f(0)恒成立, ∴f'(0)=a-1=0,∴a=1. 當(dāng)a=1時(shí),f'(x)=xex, ∴f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增. ∴f(x)≥f(0)恒成立,∴a=1符合題意. ∴f(x)=(x-1)ex+1,f'(x)=xex, 故f(1)=1,f'(1)=e, ∴f(x)在(1,f(1))處的切線方程為y-1=e(x-1), 即y=ex-e+1. (2)∵f(x)=(ax-1)ex+a<ax,化簡(jiǎn)即a(xex-x+1)<ex. ①當(dāng)a≤0時(shí),x>0時(shí),xex-x+1>0,∴a(xex-x+1)≤0<ex恒成立, 此時(shí)f(x)=(ax-1)ex+a<ax有無(wú)數(shù)個(gè)整數(shù)解,不合題意. ②當(dāng)a>0時(shí),原不等式可化為1a>x-xex+1ex. 令h(x)=x-xex+1ex. ∴h'(x)=ex+x-2ex,令φ(x)=ex+x-2, ∴φ'(x)=ex+1, ∴φ(x)在R上單調(diào)遞增. 又φ(0)=-1<0,φ(1)=e-1>0, ∴存在唯一x0∈(0,1),使得φ(x0)=0. ∴h(x)在(-∞,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增,且x0∈(0,1). 又h(0)=1,h(1)=1,h(-1)=2e-1,h(2)=2-1e2, ∴當(dāng)原不等式有且只有兩個(gè)整數(shù)解時(shí), 1<1a≤2-1e2,即e22e2-1≤a<1. 5.解(1)f(x)的定義域是(0,+∞),f'(x)=lnx+1. 令f'(x)>0,解得x>1e. 令f'(x)<0,解得0<x<1e. 所以f(x)在0,1e內(nèi)遞減,在1e,+∞內(nèi)遞增, 故當(dāng)x=1e時(shí), f(x)極小值=f1e=-1e. (2)記t=xlnx,t≥-1e,則et=exlnx=(elnx)x=xx, 故f(x)-axx=0,即t-aet=0,a=tet. 令g(t)=tet,g'(t)=1-tet. 令g'(t)>0,解得0<t<1. 令g'(t)<0,解得t>1. 故g(t)在(0,1)遞增,在(1,+∞)內(nèi)遞減, 故g(t)max=g(1)=1e. 由t=xlnx,t≥-1e,a=g(t)=tet的圖象和性質(zhì)有: ①0<a<1e,y=a和g(t)有兩個(gè)不同交點(diǎn)(t1,a),(t2,a),且0<t1<1<t2, t1=xlnx,t2=xlnx各有一解,即f(x)-axx=0有2個(gè)不同解. ②-e1-ee<a<0,y=a和g(t)=tet僅有1個(gè)交點(diǎn)(t3,a),且-1e<t3<0, t3=xlnx有2個(gè)不同的解,即f(x)-axx=0有兩個(gè)不同解. ③a取其他值時(shí),f(x)-axx=0最多1個(gè)解, 綜上,a的范圍是(-e1-ee,0)∪0,1e. 6.解(1)令t=2x-3,當(dāng)x≥32時(shí),f(x)≥1等價(jià)于當(dāng)t≥0時(shí),et-t2-1≥0. 設(shè)函數(shù)u(t)=et-t2-1,則u'(t)=et-2t. [u'(t)]'=et-2. 當(dāng)t∈[0,ln2)時(shí),u'(t)為減函數(shù), 當(dāng)t∈(ln2,+∞)時(shí),u'(t)為增函數(shù). 所以u(píng)'(t)≥u'(ln2)=2-2ln2>0. 所以u(píng)(t)在[0,+∞)內(nèi)為增函數(shù), 所以u(píng)(t)≥u(0)=0.即當(dāng)x≥32時(shí),f(x)≥1. (2)設(shè)f(x1)+(2x1-3)2=g(x2)=m, 則e2x1-3=14+lnx22=m. 因?yàn)閤1∈R,所以e2x1-3>0,即m>0, 所以2x1-3=lnm,lnx22=m-14, 所以x1=lnm+32,x2=2em-14,x2-x1=2em-14-lnm+32(m>0). 令h(x)=2ex-14-lnx+32(x>0), 則h'(x)=2ex-14-12x, 所以[h'(x)]'=2ex-14+12x2>0, 所以h'(x)在(0,+∞)內(nèi)為增函數(shù),且h'14=0. 當(dāng)x>14時(shí),h'(x)>0; 當(dāng)0<x<14時(shí),h'(x)<0. 所以,h(x)在0,14內(nèi)為減函數(shù),在14,+∞內(nèi)為增函數(shù). 故當(dāng)x=14時(shí),h(x)min=h14=ln4+12,即x2-x1的最小值為ln4+12. 11