7、響應(yīng)項(xiàng) 最終會趨于無窮大，即系統(tǒng)的自
由響應(yīng)項(xiàng)發(fā)散。這種系統(tǒng)稱為不穩(wěn)定系統(tǒng)。若系統(tǒng)有一個(gè)特征根的實(shí)部為0 ，而 n n
S九產(chǎn)+另地才
其余特征根的實(shí)部均為負(fù)數(shù)，則其自由響應(yīng)項(xiàng) 最終會變成一等
幅振蕩，這種系統(tǒng)稱為臨界穩(wěn)定系統(tǒng)。
因此，系統(tǒng)特征根的實(shí)部決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定與否。若系統(tǒng)特征根的實(shí)部全 部都小于零，則系統(tǒng)穩(wěn)定；若系統(tǒng)特征根的實(shí)部不全小于零，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。 由系統(tǒng)特征根與系統(tǒng)傳遞函數(shù)極點(diǎn)之間的對應(yīng)關(guān)系，還可得系統(tǒng)穩(wěn)定的另一判 據(jù)：若系統(tǒng)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)均分布在［s ］平面的左半平面內(nèi)，則系統(tǒng)穩(wěn)定； 若系統(tǒng)傳遞函數(shù)在［s］平面的右半平面內(nèi)存在極點(diǎn)，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。
對于穩(wěn)定系統(tǒng)
8、，戍匕］絕對值的大小決定了它所對應(yīng)的自由響應(yīng)項(xiàng)衰減的快 慢。恥匕］絕對值越大，則它所對應(yīng)的的自由響應(yīng)項(xiàng)衰減得越快；反之亦然。而 系統(tǒng)特征根的虛部血［叨的分布情況在很大程度上決定了系統(tǒng)自由響應(yīng)的振蕩 情況，絕對值越大，則自由響應(yīng)項(xiàng)振蕩頻率越高，它決定了系統(tǒng)的響應(yīng)在規(guī)定 時(shí)間內(nèi)接近穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的情況，這影響著系統(tǒng)響應(yīng)的準(zhǔn)確性。
第二節(jié) 典型輸入信號 在控制工程中，常用的輸入信號有兩大類。其一是系統(tǒng)正常工作時(shí)的輸入信號； 其二是外加的測試信號，包括單位脈沖信號、單位階躍信號、單位斜坡信號、 正弦信號和某些隨機(jī)信號等。輸入信號的選擇要綜合考慮系統(tǒng)的工作條件和實(shí) 驗(yàn)的目的。
第三節(jié) 一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)
9、
一、一階系統(tǒng)
一階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式為
式中，尸稱為一階系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)，莊稱為一階系統(tǒng)的增益。
二、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) W（t）
噸)=I7\X. &)］ = L ［扱⑻-G(s)］=戸［呂］= f"r
俶◎只有瞬態(tài)項(xiàng)，而其穩(wěn)態(tài)項(xiàng)為零。即一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)是
個(gè)遞減的指數(shù)函數(shù)。
對一階系統(tǒng)而言，將其單位脈沖響應(yīng)曲線衰減到初值的2%之前的過程定義 為過渡過程，稱此過程經(jīng)歷的時(shí)間為過渡過程時(shí)間或調(diào)整時(shí)間，記為卩。經(jīng)過計(jì) 算可得一階系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間為4尸。顯然，系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)F愈小，其過渡過程 的持續(xù)時(shí)間愈短，亦即系統(tǒng)的慣性愈小，系統(tǒng)對輸入信號反應(yīng)的快速性愈好。
10、
三、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) Xou（t）
心?=門兀⑸］=Lgs） X,佔(zhàn)）廣門呂 ；］
?！雹鹊乃矐B(tài)項(xiàng)為-小，其穩(wěn)態(tài)項(xiàng)為莊。即一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)函 數(shù)是一個(gè)遞增的指數(shù)函數(shù)。
對一階系統(tǒng)而言，過渡過程還可定義為其階躍響應(yīng)增長到穩(wěn)態(tài)值的死％之
前的過程，同樣可算得相應(yīng)的時(shí)間為4尸。因此，時(shí)間常數(shù)尸確實(shí)反映了一階系 統(tǒng)的固有特性，其值愈小，系統(tǒng)的慣性就愈小，系統(tǒng)的響應(yīng)也就愈快。
四、線性系統(tǒng)輸出與輸入的關(guān)系
考察一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)函數(shù)兀丄⑷與單位脈沖響應(yīng)函數(shù)W）,可知它們之 間的關(guān)系為??也，并且其輸入的關(guān)系為:遊）=馳）。事實(shí)上，對于 任意線性系統(tǒng)而言，若一個(gè)輸入A是
11、另一個(gè)輸入B的導(dǎo)函數(shù)，則輸入A所引起 的輸出就是輸入B所引起輸出的導(dǎo)函數(shù)；同樣地，若一個(gè)輸入A是另一個(gè)輸入B 的積分，則輸入 A 所引起的輸出就是輸入 B 所引起輸出的積分，但是，如果積 分是不定積分，則還需要確定積分常數(shù)。
第四節(jié) 二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)
一、二階系統(tǒng)
二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)有如下兩種形式：
3.4.1)
3.4.2)
其中，弧疋是二階系統(tǒng)的特征參數(shù)，它們表明二階系統(tǒng)本身的與外界無關(guān) 的固有特性。一般將式（3.4.1）所示的系統(tǒng)稱為無零點(diǎn)的二階系統(tǒng)或典型的二 階系統(tǒng)，而將式（3.4.2）所示的系統(tǒng)稱為有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)。在不特別聲明的 情況下，本章討論的是典型二階系統(tǒng)的
12、時(shí)間響應(yīng)。
二階系統(tǒng)的特征方程是
屛+站％￡ +成=0?
此方程的兩個(gè)特征根是
% =-邊 ±% -1
（3.4.3）
由式（3.4.3）可見，隨著阻尼比取值的不同，二階系統(tǒng)的特征根分布不同， 亦即二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)分布不同，其分布情況如圖（3.4.1）所示。不同 的極點(diǎn)分布情況，決定了二階系統(tǒng)在不同的阻尼情況下，其自由響應(yīng)項(xiàng)不同。
由圖（3.4.1）可知，當(dāng)°時(shí)，即二階系統(tǒng)出現(xiàn)負(fù)阻尼時(shí)，其傳遞函數(shù)的兩個(gè)極點(diǎn)分布在［s］平面的右半平面內(nèi)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此，這里只討論時(shí)，二 階系統(tǒng)的響應(yīng)情況。
圖（3.4.1）
二、二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)W （t）和單位階躍響應(yīng)
13、在不同阻尼系數(shù)下，二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)計(jì)⑴和單位階躍響應(yīng)如表
3.4.1 所示。
表二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)W&）和單位階躍響應(yīng)
阻尼系 數(shù)
單位脈沖響應(yīng)訐②
單位階躍響應(yīng)
無阻尼
w(f) = e” sin
兀(f) = 1一 cos①詁
0 <1
欠阻尼
= j h S ￡血尬詁
卞少(f) = 1 一 如, ] sin(暑詁 + arctg —_—
Jl-F F
5 = 1
臨界阻
尼
w(f)=曲運(yùn)f
以) = 1_(1 +砒)嚴(yán)
5>1
過阻尼
其中， ，稱叫為二階系統(tǒng)的有阻尼固有頻率;
當(dāng)占取值不同時(shí)，二階欠阻尼系
14、統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)曲線如圖所示。由 圖可知，欠阻尼系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)曲線是減幅的正弦振蕩曲線，且總愈小，衰 減愈慢，振蕩頻率"，愈大。故欠阻尼系統(tǒng)又稱為二階振蕩系統(tǒng)，其幅值衰減的 快慢取決于云瞅（仏爲(wèi)稱為時(shí)間衰減常數(shù)，記為口）。
當(dāng)芒取值不同時(shí)，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如圖所示。由圖可知，二 階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)函數(shù)的過渡過程隨阻尼芒的減小，其振蕩特性表現(xiàn)得愈加 強(qiáng)烈，當(dāng)驚°時(shí)達(dá)到等幅振蕩。在和時(shí)，二階系統(tǒng)的過渡過程只具有 單調(diào)上升的特性，而不會出現(xiàn)振蕩。在無振蕩單調(diào)上升的曲線中，以芒=1時(shí)的 過渡過程時(shí)間最短。在欠阻尼系統(tǒng)中，當(dāng)^°-4~0 S時(shí)，不僅其過渡過程時(shí) 間比
15、芒=1更短，而且振蕩也不太嚴(yán)重。因此，一般希望二階系統(tǒng)工作在 芒=0.4~0.2的欠阻尼狀態(tài)。通過選擇合適的特征參數(shù)％忙，可以使系統(tǒng)具有合 適的過渡過程。
由于系統(tǒng)輸入的不同，二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)與單位階躍響應(yīng)不同，但 是它們隨著阻尼比的不同而不同的振蕩情況卻是一致的。當(dāng)系統(tǒng)為無阻尼系統(tǒng) 時(shí)，均為等幅振蕩；當(dāng)系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)時(shí)，均為減幅振蕩；而當(dāng)系統(tǒng)為臨界 阻尼或過阻尼系統(tǒng)時(shí)，均不會出現(xiàn)振蕩。
三、二階欠阻尼系統(tǒng)響應(yīng)的性能指標(biāo)
二階欠阻尼系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖 3.4.4所示，其瞬態(tài)性能指標(biāo)包 括上升時(shí)間?、峰值時(shí)間最大超調(diào)量叫、調(diào)整時(shí)間"、振蕩次數(shù)"等。
1. 上升時(shí)間?:響應(yīng)
16、曲線從原工作狀態(tài)出發(fā)，第一次達(dá)到輸出穩(wěn)態(tài)值所需 的時(shí)間定義為上升時(shí)間。
當(dāng)芒一定時(shí)，致增大，?就減小；當(dāng)聲一定時(shí)，F(xiàn)增大，"就增大。
2. 峰值時(shí)間°：響應(yīng)曲線達(dá)到第一個(gè)峰值所需的時(shí)間定義為峰值時(shí)間。
當(dāng)一定時(shí)，聲增大，。就減?。划?dāng)聲一定時(shí)，占增大，。就增大。
3. 最大超調(diào)量“F： —般用下式定義系統(tǒng)的最大超調(diào)量，即
分駕滬X叫
因此，加事與％無關(guān)，而只與｛有關(guān)。芒增大，就減小；反之亦然。
4?調(diào)整時(shí)間“：在過渡過程中，％(◎取的值滿足下面不等式時(shí)所需要的時(shí)
間,定義為調(diào)整時(shí)間。不等式為
%〔f) —兀(°°)|蘭人兀(°°)嚴(yán)
當(dāng)A = 2%
17、時(shí),
；當(dāng)A = 5%時(shí),
若上述關(guān)系變成 和
當(dāng)芒一定時(shí)，致增大，就減??；當(dāng)聲一定時(shí)，增大，卩也減小。
5?振蕩次數(shù)“：在過渡過程時(shí)間內(nèi)，兀②穿越其穩(wěn)態(tài)值?(呵的次數(shù)的一 半定義為振蕩次數(shù)。
當(dāng) 0 <0.7
當(dāng) 0 <0.7
心=2%時(shí),
9
，& =珈時(shí),
振蕩次數(shù)"隨著芒的增大而減小，它的大小直接反映了系統(tǒng)的阻尼特性。
從二階系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標(biāo)與其特征參數(shù)之間的關(guān)系中可以看出：
（1）系統(tǒng)性能指標(biāo)的矛盾性。一般說來，系統(tǒng)的上升時(shí)間?、峰值時(shí)間"等 反映系統(tǒng)響應(yīng)快速性的性能指標(biāo)與最大超調(diào)量、振蕩次數(shù)“等指標(biāo)是相互矛 盾的。
（2）為了使二
18、階系統(tǒng)具有滿意的動態(tài)特性，必須合理選擇系統(tǒng)的阻尼比芒和 無阻尼固有頻率％。一般的做法是先根據(jù)最大超調(diào)量嘰、振蕩次數(shù)"等要求 選擇系統(tǒng)的阻尼比6然后再根據(jù)上升時(shí)間?、峰值時(shí)間調(diào)整時(shí)間乙等要求， 確定系統(tǒng)無阻尼固有頻率弧
需要說明的是，以上各個(gè)性能指標(biāo)的公式是從典型二階欠系統(tǒng)的階躍響
應(yīng)中推導(dǎo)出來的。如果系統(tǒng)是具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)，這些公式是不能直接應(yīng) 用的。但是，其性能指標(biāo)同二階系統(tǒng)特征參數(shù)之間的變化趨勢卻保持不變。 第五節(jié)高階系統(tǒng)的響應(yīng)分析
一個(gè)高階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)可以由若干個(gè)一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)疊加而 成。結(jié)合本章第一節(jié)的結(jié)論，還可以得到主導(dǎo)極點(diǎn)的概念。
若在系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)分
19、布中，其中一對共軛極點(diǎn)離虛軸的距離較近，而 其它所有極點(diǎn)離虛軸距離是該對共軛極點(diǎn)離虛軸距離的 5 倍以上，且這對極 點(diǎn)附近沒有零點(diǎn)，則稱此對極點(diǎn)為系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)。在研究高階系統(tǒng)的過渡 過程時(shí)可以將系統(tǒng)的過渡過程近似地由主導(dǎo)極點(diǎn)所決定的二階振蕩系統(tǒng)的 過渡過程代替。
第六節(jié) 系統(tǒng)誤差分析與計(jì)算
一、系統(tǒng)誤差與偏差的關(guān)系
設(shè)兀衛(wèi)）是控制系統(tǒng)的理想輸出，心?是其實(shí)際輸出，貝煨差嗆）定義為
在如圖所示的閉環(huán)系統(tǒng)中，系統(tǒng)誤差鞏°的Laplace變換角⑻與系
統(tǒng)偏差眾）的Laplace變換丑⑻之間具有如下關(guān)系:
晌喘曲(3.6.1)
顯然，控制系統(tǒng)的誤差員f)和偏差鞏
20、◎是既有區(qū)別，又有聯(lián)系的。系統(tǒng)偏差 鞏f)與系統(tǒng)誤差呎◎在一般的情況下不相等。只有當(dāng)系統(tǒng)是單位反饋系統(tǒng)時(shí)，系 統(tǒng)的偏差鞏f)與誤差呎◎才會相同。
二、系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與穩(wěn)態(tài)偏差
系統(tǒng)過渡過程結(jié)束后，系統(tǒng)實(shí)際輸出量與系統(tǒng)希望的輸出量之間的偏差稱 為穩(wěn)態(tài)誤差。它是系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的測度，反映了系統(tǒng)響應(yīng)的準(zhǔn)確性。
@55 (t) = lim = lim sE1 (s)
同樣地，可以定義穩(wěn)態(tài)偏差
E (fi = lim E(f) = lim sE(s)
三、與輸入和系統(tǒng)結(jié)構(gòu)有關(guān)的穩(wěn)態(tài)偏差
圖
現(xiàn)分析如圖所示系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差耳
由終值定理的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏
21、差為
耳=lim 網(wǎng)=lim曲⑻
。
很顯然，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)有關(guān)，而且與系統(tǒng)的輸 入的特性有關(guān)。為簡化穩(wěn)態(tài)偏差的計(jì)算，定義
位置無偏系數(shù)=加(曲
速度無偏系數(shù)嗨口曲
加速度無偏系數(shù)比)呢
則：
1)
當(dāng)系統(tǒng)的輸入為單位階躍信號時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差為
2)
當(dāng)系統(tǒng)的輸入為單位斜坡信號時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差為
3)
當(dāng)系統(tǒng)的輸入為單位加速度信號時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差為
設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為
^（s） = G（s）W） =
莊（巧￡ +1）〔巧 g + 1）…（￡扯￡ + 1）
護(hù)
22、（刼+1）（即+1）…辺_瀘+1）
其中，卩為系統(tǒng)的型次；當(dāng)V分別為0、1、2、…，時(shí)，分別稱系統(tǒng)為O型 系統(tǒng)、I型系統(tǒng)、II型系統(tǒng)等等。顯然，位置無偏系數(shù)懇只、速度無偏系數(shù)莊卩和 加速度無偏系數(shù)瓦1與系統(tǒng)的型次卩和開環(huán)增益疋有關(guān)。系統(tǒng)開環(huán)的型次以及輸 入信號形式同誤差系數(shù)和系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差之間的關(guān)系見表 3.6.1。
表 3.6.1 不同型次系統(tǒng)的誤差系數(shù)及其在不同輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)偏差
的 誤差系數(shù)
不同輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)偏差
位置無偏系數(shù)
?速度無偏系數(shù)莊卩
加速度無偏 系數(shù)忍
單位階躍輸
單位恒速輸
單位恒加速度輸入
型疋
統(tǒng)
0
0
00
co
型 ro
系
23、
統(tǒng)
K
0
0
i
co
系 統(tǒng)
CO
K
0
0
從表 3.6.1 中可以看出，同一系統(tǒng)在不同的輸入作用下，其穩(wěn)態(tài)偏差是不 同的。更有意義的是，針對同一種輸入，當(dāng)系統(tǒng)的型次增加時(shí)，系統(tǒng)的準(zhǔn)確性 將得到提高；增加系統(tǒng)的開環(huán)增益，往往也可以提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。但是， 正如第五章將要討論的那樣，系統(tǒng)型次和開環(huán)增益的增加，卻使得系統(tǒng)的穩(wěn)定 性變差。因此，通常需要在系統(tǒng)的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性之間進(jìn)行權(quán)衡，必要時(shí)，需 要引入校正環(huán)節(jié)進(jìn)行校正。
四、系統(tǒng)存在干擾作用時(shí)誤差和偏差
若系統(tǒng)有干擾“⑻作用，其方框圖如圖所示?？梢郧蟮?
耳⑻=[爲(wèi)一歸 &） +[—G沖
転⑸乂〔）
24、 +為同“⑻
式中，
1 + G】（g⑻日⑸
9
因此，系統(tǒng)的誤差包括兩部分，一部分與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)和輸入信號有 關(guān)，另一部分為系統(tǒng)在干擾單獨(dú)作用下產(chǎn)生的輸出。
在輸入和干擾共同作用下的偏差為
E(s)=Xi(s)-B(s)
=紜W- 益⑻-T& 盼
3.6.3)
=[ 1 遲斜心⑻盹)
由式（3.6.2）、（3.6.3）及終值定理可得在輸入和與干擾共同作用下， 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差和穩(wěn)態(tài)偏差。
五、任意輸入時(shí)，穩(wěn)態(tài)誤差的求法
（1）求系統(tǒng)偏差的 Laplac
25、e 變換。
（2）對于單位反饋系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)誤差等于穩(wěn)態(tài)偏差。
（3）對于非單位反饋系統(tǒng)，可根據(jù)式（3.6.1）將誤差的 Laplace 變換換 算為偏差 Laplace 變換的表達(dá)式。
（4）根據(jù)終值定理，即可求得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。
當(dāng)然，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差還可以通過求出系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，進(jìn)而求出系統(tǒng)的誤 差函數(shù)嗆）=兀衛(wèi)）-兀⑴的穩(wěn)態(tài)值的方法求得。
第六節(jié)S函數(shù)在時(shí)間響應(yīng)中的作用
已知系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)為何◎，則系統(tǒng)在任一輸入為⑴作用下的響應(yīng) 哄）為：
因此，系統(tǒng)、輸入及輸出三者之間的關(guān)系可表示為圖 3.7.1 所示的形式。
由此可見，系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)與傳遞函數(shù)一樣可以作為系
26、統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 它表明了系統(tǒng)的動態(tài)特性。通常，將傳遞函數(shù)、微分方程等稱為參數(shù)化數(shù)學(xué)模 型，而將單位脈沖響應(yīng)函數(shù)等稱為非參數(shù)化的數(shù)學(xué)模型。無論是參數(shù)化數(shù)學(xué)模 型，還是非參數(shù)化數(shù)學(xué)模型，都能反映系統(tǒng)的動態(tài)特性，可以通過數(shù)學(xué)變換相 互轉(zhuǎn)化。
第七節(jié) 用 Matlab 進(jìn)行時(shí)間響應(yīng)分析
在MATLAB中，通常用step （sys, t）和impulse （sys, t）函數(shù)來求解數(shù)學(xué)模 型為sys的系統(tǒng)在時(shí)間區(qū)段t內(nèi)的單位階躍響應(yīng)和單位脈沖響應(yīng)。另外，MATLAB 還提供了相應(yīng)的函數(shù)lsim(sys,u, t)來求解系統(tǒng)sys在輸入u的作用下，在時(shí) 間區(qū)段t內(nèi)的響應(yīng)。
在求出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)以后，根據(jù)系統(tǒng)瞬態(tài)性能指標(biāo)的定義，就可以得 到系統(tǒng)的上升時(shí)間、峰值時(shí)間、最大超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間等性能指標(biāo)。
機(jī)械控制工程基礎(chǔ)第三章 時(shí)間響應(yīng)分析
