數(shù)學(xué)：第一章《統(tǒng)計(jì)案例》教案（新人教A版選修1-2）

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第一章 統(tǒng)計(jì)案例復(fù)習(xí)教案 一、本章知識(shí)脈絡(luò)： 統(tǒng)計(jì)案例 回歸分析 樣本點(diǎn)的中心 隨機(jī)誤差 殘差分析 建立回歸模型的基本步驟 回歸分析 列聯(lián)表 K2＝ 判斷結(jié)論成立可能性的步驟 二、本章要點(diǎn)追蹤： 1.樣本點(diǎn)的中心（，） 其中＝xi，＝ yi　. 2.線性回歸模型的完美表達(dá)式 3.類比樣本方差估計(jì)總體方差的思想，可以用 ＝i＝Q（，）（n＞2） 作為σ2的估計(jì)量　其中＝－ ＝ 4.我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來(lái)刻畫(huà)回歸的效果，其計(jì)算公式是： R2＝1－ 　　 R2取值越大，意味著殘差平方和越小，也就是說(shuō)模型的擬合效果越好. 5.建立回歸模型的基本步驟： （1）確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量； （2）畫(huà)出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（如是否存在線性關(guān)系等）； （3）由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程y＝bx＋x）； （4）按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）； （5）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常（個(gè)別數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)殘差過(guò)大，或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性等等），若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等。 6.作K2來(lái)確定結(jié)論“X與 Y有關(guān)系”的可信程度. 三、幾個(gè)典型例題： 例1　某地區(qū)10名健康兒童頭發(fā)和全血中的硒含量（1000ppm）如下， 血硒 74 66 88 69 91 73 66 96 58 73 發(fā)硒 13 10 13 11 16 9 7 14 5 10 （1）畫(huà)出散點(diǎn)圖； （2）求回歸方程； （3）如果某名健康兒童的血硒含量為94（1000ppm）預(yù)測(cè)他的發(fā)硒含量. 解（1）散點(diǎn)圖如下圖所示： （2）利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)，求得回歸方程： ＝0.2358x－6.9803 （3）當(dāng)x＝94時(shí)，≈15.2 因此，當(dāng)兒童的血硒含量為94（1000ppm）時(shí)，該兒童的發(fā)硒含量約為15.2（1000ppm）. 例2 某地大氣中氰化物測(cè)定結(jié)果如下： 污染源距離 50 100 150 200 250 300 400 500 氰化物濃度 0.687 0.398 0.200 0.121 0.09 0.05 0.02 0.01 （1）試建立氰化物濃度與距離之間的回歸方程. （2）求相關(guān)指數(shù). （3）作出殘差圖，并求殘差平方和 解析（1）選取污染源距離為變量x，氰化物濃度為自因變量y作散點(diǎn)圖. 從表中所給的數(shù)據(jù)可以看出，氰化物濃度與距離有負(fù)的相關(guān)關(guān)系，用非線性回歸方程來(lái)擬合，建立y關(guān)于x的指數(shù)回歸方程. ＝0.9293e－0.0094x （2）相關(guān)指數(shù)K2＝1－＝0.9915 （3） 編　號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 污染源距離 50 100 150 200 250 300 400 500 氰化物濃度 0.687 0.398 0.2 0.121 0.09 0.05 0.02 0.01 殘　差 0.1061857 0.035 －0.027 －0.021 0.0014 －0.005 －0.002 0.0015 殘差平方和（yi－）2＝0.0118 例3　某大型企業(yè)人力資源部為了研究企業(yè)員工工作積極性和對(duì)待企業(yè)改革態(tài)度的關(guān)系，隨機(jī)制取了189名員工進(jìn)行調(diào)查，所得數(shù)據(jù)如下表所示： 積極支持企業(yè)改革 不太造成企業(yè)改革 合　計(jì) 工作積極 54 40 94 工作一般 32 63 95 合　計(jì) 86 103 189 對(duì)于人力資源部的研究項(xiàng)目，根據(jù)上述數(shù)據(jù)能得出什么結(jié)論？ 解：根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到K2＝＝10.76. 因?yàn)?0.76＞6.635，所以有99%的把握說(shuō)：?jiǎn)T工“工作積極”與“積極支持企業(yè)改革”是有關(guān)的，可以認(rèn)為企業(yè)的全體員工對(duì)待企業(yè)改革的態(tài)度與其工作積極性是有關(guān)的. 例4 有人統(tǒng)計(jì)了同一個(gè)省的6個(gè)城市某一年的人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（即人均GDP）和這一年各城市患白血病的兒童數(shù)量，如下表： 人均GDP（萬(wàn)元） 10 8 6 4 3 1 患白血病的兒童數(shù) 351 312 207 175 132 180 （1）畫(huà)出散點(diǎn)圖； （2）求對(duì)的回歸直線方程； （3）如果這個(gè)省的某一城市同時(shí)期年人均GDP為12萬(wàn)元，估計(jì)這個(gè)城市一年患白血病的兒童數(shù)目； 分析：利用公式分別求出的值，即可確定回歸直線方程，然后再進(jìn)行預(yù)測(cè). 16題圖 解：（1）作與對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖，如右圖所示； （2）計(jì)算得 ， ∴，， ∴對(duì)的回歸直線方程是； （3）將代入得，估計(jì)這個(gè)城市一年患白血病的兒童數(shù)目約為381. 評(píng)注：本題涉及的是一個(gè)和我們生活息息相關(guān)，也是一個(gè)愈來(lái)愈嚴(yán)峻的問(wèn)題——環(huán)保問(wèn)題.本題告訴了我們一個(gè)沉痛的事實(shí)：現(xiàn)如今，一個(gè)城市愈發(fā)達(dá)，這個(gè)城市患白血病的兒童愈多.原因在于，城市的經(jīng)濟(jì)發(fā)展大都以犧牲環(huán)境為代價(jià)的，經(jīng)濟(jì)發(fā)展造成了大面積的環(huán)境污染，空氣、水源中含有的大量的有害物質(zhì)是導(dǎo)致白血病患者增多的罪魁禍?zhǔn)?，所以，我們一定要增?qiáng)自我保護(hù)意識(shí)和環(huán)境保護(hù)意識(shí). 例5 寒假中，某同學(xué)為組織一次愛(ài)心捐款，于2008年2月1日在網(wǎng)上給網(wǎng)友發(fā)了張?zhí)?，并?hào)召網(wǎng)友轉(zhuǎn)發(fā)，下表是發(fā)帖后一段時(shí)間的收到帖子的人數(shù)統(tǒng)計(jì)： 天數(shù) 1 2 3 4 5 6 7 人數(shù) 7 11 21 24 66 115 325 （1）作出散點(diǎn)圖，并猜測(cè)與之間的關(guān)系； （2）建立與的關(guān)系，預(yù)報(bào)回歸模型并計(jì)算殘差； （3）如果此人打算在2008年2月12日（即帖子傳播時(shí)間共10天）進(jìn)行募捐活動(dòng)，根據(jù)上述回歸模型，估計(jì)可去多少人. 分析：先通過(guò)散點(diǎn)圖，看二者是否具有線性相關(guān)關(guān)系，若不具有，可通過(guò)相關(guān)函數(shù)變換，轉(zhuǎn)化為線性相關(guān)關(guān)系. 解：（1）散點(diǎn)圖略.從散點(diǎn)圖可以看出與不具有線性相關(guān)關(guān)系，同時(shí)可發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一個(gè)指數(shù)函數(shù)曲線的周圍，其中是參數(shù)； （2）對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，把指數(shù)關(guān)系變成線性關(guān)系.令，則變換后的樣本點(diǎn)分布在直線的周圍，這樣就可以利用線性回歸模型來(lái)建立與之間的非線性回歸方程了，數(shù)據(jù)可以轉(zhuǎn)化為： 天數(shù) 1 2 3 4 5 6 7 人數(shù) 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784 求得回歸直線方程為， ∴. （3）截止到2008年2月12日，，此時(shí)（人）. ∴估計(jì)可去1530人. 評(píng)注：現(xiàn)如今是網(wǎng)絡(luò)時(shí)代，很多同學(xué)都會(huì)通過(guò)互聯(lián)網(wǎng)發(fā)帖子，所以此類問(wèn)題為同學(xué)們司空見(jiàn)慣.但如何預(yù)測(cè)發(fā)帖后的效果，這卻是個(gè)新課題，通過(guò)本題你是否已明確. 例6 有人發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的現(xiàn)象，中國(guó)人的郵箱名稱里含有數(shù)字的比較多，而外國(guó)人郵箱名稱里含有數(shù)字的比較少.為了研究國(guó)籍和郵箱名稱里是否含有數(shù)字的關(guān)系，他收集了124個(gè)郵箱名稱，其中中國(guó)人的70個(gè)，外國(guó)人的54個(gè)，中國(guó)人的郵箱中有43個(gè)含數(shù)字，外國(guó)人的郵箱中有27個(gè)含數(shù)字. （1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2的列聯(lián)表； （2）他發(fā)現(xiàn)在這組數(shù)據(jù)中，外國(guó)人郵箱名稱里含數(shù)字的也不少，他不能斷定國(guó)籍和郵箱名稱里含有數(shù)字是否有關(guān)，你能幫他判斷一下嗎？ 分析：按題中數(shù)據(jù)建列聯(lián)表，然后根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)求出值，即可判定. 解：（1）2×2的列聯(lián)表 中國(guó)人 外國(guó)人 總計(jì) 有數(shù)字 43 27 70 無(wú)數(shù)字 21 33 54 總計(jì) 64 60 124 （2）假設(shè)“國(guó)籍和郵箱名稱里是否含有數(shù)字無(wú)關(guān)”. 由表中數(shù)據(jù)得， 因?yàn)?，所以有理由認(rèn)為假設(shè)“國(guó)籍和郵箱名稱里是否含有數(shù)字無(wú)關(guān)”是不合理的，即有的把握認(rèn)為“國(guó)籍和郵箱名稱里是否含有數(shù)字有關(guān)”. 評(píng)注：獨(dú)立性檢驗(yàn)類似于反證法，其一般步驟為：第一步：首先假設(shè)兩個(gè)分類變量幾乎沒(méi)有關(guān)系（幾乎獨(dú)立）；第二步：求隨機(jī)變量的值；第三步.判斷兩個(gè)分類變量有關(guān)的把握（即概率）有多大. 例7 針對(duì)時(shí)下的“韓劇熱”，某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別和是否喜歡韓劇是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中女生人數(shù)是男生人數(shù)的，男生喜歡韓劇的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡韓劇人數(shù)占女生人數(shù)的. （1）若有的把握認(rèn)為是否喜歡韓劇和性別有關(guān)，則男生至少有多少人； （2）若沒(méi)有充分的證據(jù)顯示是否喜歡韓劇和性別有關(guān)，則男生至多有多少人. 分析：有的把握認(rèn)為回答結(jié)果對(duì)錯(cuò)和性別有關(guān)，說(shuō)明，沒(méi)有充分的證據(jù)顯示回答結(jié)果對(duì)錯(cuò)和性別有關(guān)，說(shuō)明.設(shè)出男生人數(shù)，并用它分別表示各類別人數(shù)，代入的計(jì)算公式，建立不等式求解即可. 解：設(shè)男生人數(shù)為，依題意可得列聯(lián)表如下： 喜歡韓劇 不喜歡韓劇 總計(jì) 男生 女生 總計(jì) （1）若有的把握認(rèn)為回答結(jié)果的對(duì)錯(cuò)和性別有關(guān)，則， 由，解得， ∵為整數(shù)，∴若有的把握認(rèn)為回答結(jié)果的對(duì)錯(cuò)和性別有關(guān)，則男生至少有12人； （2）沒(méi)有充分的證據(jù)顯示回答結(jié)果的對(duì)錯(cuò)和性別有關(guān)，則， 由，解得， ∵為整數(shù)，∴若沒(méi)有充分的證據(jù)顯示回答結(jié)果的對(duì)錯(cuò)和性別有關(guān)，則男生至多有6人. 評(píng)注：這是一個(gè)獨(dú)立性檢驗(yàn)的創(chuàng)新問(wèn)題，解答時(shí)要注意理解“至少”、“至多”的含義. 通過(guò)上面幾例，大家是否已體會(huì)到了回歸分析和獨(dú)立性檢驗(yàn)思想方法的應(yīng)用的廣泛性和重要性.其實(shí)，這兩種思想方法并不神秘，你身邊有很多問(wèn)題可信手拈來(lái)，用它們處理，這一點(diǎn)還請(qǐng)同學(xué)們多思考、勤嘗試. - 7 -