數(shù)學(xué):第一章《統(tǒng)計(jì)案例》教案(新人教A版選修1-2)
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數(shù)學(xué):第一章《統(tǒng)計(jì)案例》教案(新人教A版選修1-2)
第一章 統(tǒng)計(jì)案例復(fù)習(xí)教案
一、本章知識(shí)脈絡(luò):
統(tǒng)計(jì)案例
回歸分析
樣本點(diǎn)的中心
隨機(jī)誤差
殘差分析
建立回歸模型的基本步驟
回歸分析
列聯(lián)表
K2=
判斷結(jié)論成立可能性的步驟
二、本章要點(diǎn)追蹤:
1.樣本點(diǎn)的中心(,)
其中=xi,= yi .
2.線性回歸模型的完美表達(dá)式
3.類比樣本方差估計(jì)總體方差的思想,可以用
=i=Q(,)(n>2)
作為σ2的估計(jì)量 其中=-
=
4.我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來(lái)刻畫回歸的效果,其計(jì)算公式是:
R2=1-
R2取值越大,意味著殘差平方和越小,也就是說(shuō)模型的擬合效果越好.
5.建立回歸模型的基本步驟:
(1)確定研究對(duì)象,明確哪個(gè)變量是解釋變量,哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量;
(2)畫出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖,觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性關(guān)系等);
(3)由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型(如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系,則選用線性回歸方程y=bx+x);
(4)按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)(如最小二乘法);
(5)得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常(個(gè)別數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)殘差過(guò)大,或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性等等),若存在異常,則檢查數(shù)據(jù)是否有誤,或模型是否合適等。
6.作K2來(lái)確定結(jié)論“X與 Y有關(guān)系”的可信程度.
三、幾個(gè)典型例題:
例1 某地區(qū)10名健康兒童頭發(fā)和全血中的硒含量(1000ppm)如下,
血硒
74
66
88
69
91
73
66
96
58
73
發(fā)硒
13
10
13
11
16
9
7
14
5
10
(1)畫出散點(diǎn)圖;
(2)求回歸方程;
(3)如果某名健康兒童的血硒含量為94(1000ppm)預(yù)測(cè)他的發(fā)硒含量.
解(1)散點(diǎn)圖如下圖所示:
(2)利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī),求得回歸方程:
=0.2358x-6.9803
(3)當(dāng)x=94時(shí),≈15.2
因此,當(dāng)兒童的血硒含量為94(1000ppm)時(shí),該兒童的發(fā)硒含量約為15.2(1000ppm).
例2 某地大氣中氰化物測(cè)定結(jié)果如下:
污染源距離
50
100
150
200
250
300
400
500
氰化物濃度
0.687
0.398
0.200
0.121
0.09
0.05
0.02
0.01
(1)試建立氰化物濃度與距離之間的回歸方程.
(2)求相關(guān)指數(shù).
(3)作出殘差圖,并求殘差平方和
解析(1)選取污染源距離為變量x,氰化物濃度為自因變量y作散點(diǎn)圖.
從表中所給的數(shù)據(jù)可以看出,氰化物濃度與距離有負(fù)的相關(guān)關(guān)系,用非線性回歸方程來(lái)擬合,建立y關(guān)于x的指數(shù)回歸方程.
=0.9293e-0.0094x
(2)相關(guān)指數(shù)K2=1-=0.9915
(3)
編 號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
污染源距離
50
100
150
200
250
300
400
500
氰化物濃度
0.687
0.398
0.2
0.121
0.09
0.05
0.02
0.01
殘 差
0.1061857
0.035
-0.027
-0.021
0.0014
-0.005
-0.002
0.0015
殘差平方和(yi-)2=0.0118
例3 某大型企業(yè)人力資源部為了研究企業(yè)員工工作積極性和對(duì)待企業(yè)改革態(tài)度的關(guān)系,隨機(jī)制取了189名員工進(jìn)行調(diào)查,所得數(shù)據(jù)如下表所示:
積極支持企業(yè)改革
不太造成企業(yè)改革
合 計(jì)
工作積極
54
40
94
工作一般
32
63
95
合 計(jì)
86
103
189
對(duì)于人力資源部的研究項(xiàng)目,根據(jù)上述數(shù)據(jù)能得出什么結(jié)論?
解:根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),得到K2==10.76.
因?yàn)?0.76>6.635,所以有99%的把握說(shuō):?jiǎn)T工“工作積極”與“積極支持企業(yè)改革”是有關(guān)的,可以認(rèn)為企業(yè)的全體員工對(duì)待企業(yè)改革的態(tài)度與其工作積極性是有關(guān)的.
例4 有人統(tǒng)計(jì)了同一個(gè)省的6個(gè)城市某一年的人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值(即人均GDP)和這一年各城市患白血病的兒童數(shù)量,如下表:
人均GDP(萬(wàn)元)
10
8
6
4
3
1
患白血病的兒童數(shù)
351
312
207
175
132
180
(1)畫出散點(diǎn)圖;
(2)求對(duì)的回歸直線方程;
(3)如果這個(gè)省的某一城市同時(shí)期年人均GDP為12萬(wàn)元,估計(jì)這個(gè)城市一年患白血病的兒童數(shù)目;
分析:利用公式分別求出的值,即可確定回歸直線方程,然后再進(jìn)行預(yù)測(cè).
16題圖
解:(1)作與對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖,如右圖所示;
(2)計(jì)算得
,
∴,,
∴對(duì)的回歸直線方程是;
(3)將代入得,估計(jì)這個(gè)城市一年患白血病的兒童數(shù)目約為381.
評(píng)注:本題涉及的是一個(gè)和我們生活息息相關(guān),也是一個(gè)愈來(lái)愈嚴(yán)峻的問(wèn)題——環(huán)保問(wèn)題.本題告訴了我們一個(gè)沉痛的事實(shí):現(xiàn)如今,一個(gè)城市愈發(fā)達(dá),這個(gè)城市患白血病的兒童愈多.原因在于,城市的經(jīng)濟(jì)發(fā)展大都以犧牲環(huán)境為代價(jià)的,經(jīng)濟(jì)發(fā)展造成了大面積的環(huán)境污染,空氣、水源中含有的大量的有害物質(zhì)是導(dǎo)致白血病患者增多的罪魁禍?zhǔn)?,所以,我們一定要增?qiáng)自我保護(hù)意識(shí)和環(huán)境保護(hù)意識(shí).
例5 寒假中,某同學(xué)為組織一次愛(ài)心捐款,于2008年2月1日在網(wǎng)上給網(wǎng)友發(fā)了張?zhí)?,并?hào)召網(wǎng)友轉(zhuǎn)發(fā),下表是發(fā)帖后一段時(shí)間的收到帖子的人數(shù)統(tǒng)計(jì):
天數(shù)
1
2
3
4
5
6
7
人數(shù)
7
11
21
24
66
115
325
(1)作出散點(diǎn)圖,并猜測(cè)與之間的關(guān)系;
(2)建立與的關(guān)系,預(yù)報(bào)回歸模型并計(jì)算殘差;
(3)如果此人打算在2008年2月12日(即帖子傳播時(shí)間共10天)進(jìn)行募捐活動(dòng),根據(jù)上述回歸模型,估計(jì)可去多少人.
分析:先通過(guò)散點(diǎn)圖,看二者是否具有線性相關(guān)關(guān)系,若不具有,可通過(guò)相關(guān)函數(shù)變換,轉(zhuǎn)化為線性相關(guān)關(guān)系.
解:(1)散點(diǎn)圖略.從散點(diǎn)圖可以看出與不具有線性相關(guān)關(guān)系,同時(shí)可發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一個(gè)指數(shù)函數(shù)曲線的周圍,其中是參數(shù);
(2)對(duì)兩邊取對(duì)數(shù),把指數(shù)關(guān)系變成線性關(guān)系.令,則變換后的樣本點(diǎn)分布在直線的周圍,這樣就可以利用線性回歸模型來(lái)建立與之間的非線性回歸方程了,數(shù)據(jù)可以轉(zhuǎn)化為:
天數(shù)
1
2
3
4
5
6
7
人數(shù)
1.946
2.398
3.045
3.178
4.190
4.745
5.784
求得回歸直線方程為,
∴.
(3)截止到2008年2月12日,,此時(shí)(人).
∴估計(jì)可去1530人.
評(píng)注:現(xiàn)如今是網(wǎng)絡(luò)時(shí)代,很多同學(xué)都會(huì)通過(guò)互聯(lián)網(wǎng)發(fā)帖子,所以此類問(wèn)題為同學(xué)們司空見(jiàn)慣.但如何預(yù)測(cè)發(fā)帖后的效果,這卻是個(gè)新課題,通過(guò)本題你是否已明確.
例6 有人發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的現(xiàn)象,中國(guó)人的郵箱名稱里含有數(shù)字的比較多,而外國(guó)人郵箱名稱里含有數(shù)字的比較少.為了研究國(guó)籍和郵箱名稱里是否含有數(shù)字的關(guān)系,他收集了124個(gè)郵箱名稱,其中中國(guó)人的70個(gè),外國(guó)人的54個(gè),中國(guó)人的郵箱中有43個(gè)含數(shù)字,外國(guó)人的郵箱中有27個(gè)含數(shù)字.
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2的列聯(lián)表;
(2)他發(fā)現(xiàn)在這組數(shù)據(jù)中,外國(guó)人郵箱名稱里含數(shù)字的也不少,他不能斷定國(guó)籍和郵箱名稱里含有數(shù)字是否有關(guān),你能幫他判斷一下嗎?
分析:按題中數(shù)據(jù)建列聯(lián)表,然后根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)求出值,即可判定.
解:(1)2×2的列聯(lián)表
中國(guó)人
外國(guó)人
總計(jì)
有數(shù)字
43
27
70
無(wú)數(shù)字
21
33
54
總計(jì)
64
60
124
(2)假設(shè)“國(guó)籍和郵箱名稱里是否含有數(shù)字無(wú)關(guān)”.
由表中數(shù)據(jù)得,
因?yàn)?,所以有理由認(rèn)為假設(shè)“國(guó)籍和郵箱名稱里是否含有數(shù)字無(wú)關(guān)”是不合理的,即有的把握認(rèn)為“國(guó)籍和郵箱名稱里是否含有數(shù)字有關(guān)”.
評(píng)注:獨(dú)立性檢驗(yàn)類似于反證法,其一般步驟為:第一步:首先假設(shè)兩個(gè)分類變量幾乎沒(méi)有關(guān)系(幾乎獨(dú)立);第二步:求隨機(jī)變量的值;第三步.判斷兩個(gè)分類變量有關(guān)的把握(即概率)有多大.
例7 針對(duì)時(shí)下的“韓劇熱”,某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別和是否喜歡韓劇是否有關(guān)”作了一次調(diào)查,其中女生人數(shù)是男生人數(shù)的,男生喜歡韓劇的人數(shù)占男生人數(shù)的,女生喜歡韓劇人數(shù)占女生人數(shù)的.
(1)若有的把握認(rèn)為是否喜歡韓劇和性別有關(guān),則男生至少有多少人;
(2)若沒(méi)有充分的證據(jù)顯示是否喜歡韓劇和性別有關(guān),則男生至多有多少人.
分析:有的把握認(rèn)為回答結(jié)果對(duì)錯(cuò)和性別有關(guān),說(shuō)明,沒(méi)有充分的證據(jù)顯示回答結(jié)果對(duì)錯(cuò)和性別有關(guān),說(shuō)明.設(shè)出男生人數(shù),并用它分別表示各類別人數(shù),代入的計(jì)算公式,建立不等式求解即可.
解:設(shè)男生人數(shù)為,依題意可得列聯(lián)表如下:
喜歡韓劇
不喜歡韓劇
總計(jì)
男生
女生
總計(jì)
(1)若有的把握認(rèn)為回答結(jié)果的對(duì)錯(cuò)和性別有關(guān),則,
由,解得,
∵為整數(shù),∴若有的把握認(rèn)為回答結(jié)果的對(duì)錯(cuò)和性別有關(guān),則男生至少有12人;
(2)沒(méi)有充分的證據(jù)顯示回答結(jié)果的對(duì)錯(cuò)和性別有關(guān),則,
由,解得,
∵為整數(shù),∴若沒(méi)有充分的證據(jù)顯示回答結(jié)果的對(duì)錯(cuò)和性別有關(guān),則男生至多有6人.
評(píng)注:這是一個(gè)獨(dú)立性檢驗(yàn)的創(chuàng)新問(wèn)題,解答時(shí)要注意理解“至少”、“至多”的含義.
通過(guò)上面幾例,大家是否已體會(huì)到了回歸分析和獨(dú)立性檢驗(yàn)思想方法的應(yīng)用的廣泛性和重要性.其實(shí),這兩種思想方法并不神秘,你身邊有很多問(wèn)題可信手拈來(lái),用它們處理,這一點(diǎn)還請(qǐng)同學(xué)們多思考、勤嘗試.
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