（全國通用版）2018-2019版高中數學 第一章 導數及其應用 1.3 導數在研究函數中的應用 1.3.1 函數的單調性與導數（二）課件 新人教A版選修2-2.ppt

1.3.1函數的單調性與導數(二),第一章1.3導數在研究函數中的應用,,學習目標,1.會利用導數證明一些簡單的不等式問題. 2.掌握利用導數研究含參數的單調性的基本方法.,,,問題導學,達標檢測,,題型探究,內容索引,問題導學,1.函數的單調性與其導數正負的關系 定義在區(qū)間(a，b)內的函數yf(x)：,增,減,特別提醒：若在某區(qū)間上有有限個點使f(x)0，其余的點恒有f(x)0，則f(x)仍為增函數(減函數的情形完全類似). f(x)為增函數的充要條件是對任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)內的任一非空子區(qū)間上f(x)不恒為0.,2.函數圖象的變化趨勢與導數值大小的關系 一般地，設函數yf(x)，在區(qū)間(a，b)上,快,慢,陡峭,平緩,3.利用導數解決單調性問題需要注意的問題 (1)定義域優(yōu)先的原則：解決問題的過程只能在定義域內，通過討論導數的符號來判斷函數的單調區(qū)間. (2)注意“臨界點”和“間斷點”：在對函數劃分單調區(qū)間時，除了必須確定使導數等于零的點外，還要注意在定義域內的間斷點. (3)如果一個函數的單調區(qū)間不止一個，這些單調區(qū)間之間不能用“”連接，而只能用“逗號”或“和”字等隔開.,1.如果函數f(x)在某個區(qū)間內恒有f(x)0，則f(x)在此區(qū)間內沒有單調性. () 2.函數在某區(qū)間上變化越快，函數在這個區(qū)間上的導數的絕對值越大. (),思考辨析 判斷正誤,,,題型探究,,類型一利用導數求參數的取值范圍,例1若函數f(x)kxln x在區(qū)間(1，)上單調遞增，則k的取值范圍是__________.,解析,答案,1，),即k的取值范圍為1，).,引申探究 1.若將本例中條件遞增改為遞減，求k的取值范圍.,解答,又f(x)在(1，)上單調遞減，,即k的取值范圍為(，0.,2.若將本例中條件遞增改為不單調，求k的取值范圍.,解答,解f(x)kxln x的定義域為(0，)，,k的取值范圍是(0,1).,當k0時，f(x)<0. f(x)在(0，)上單調遞減，故不合題意.,反思與感悟(1)利用導數法解決取值范圍問題的兩個基本思路 將問題轉化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題，即f(x)0(或f(x)0)恒成立，利用分離參數或函數性質求解參數范圍，然后檢驗參數取“”時是否滿足題意； 先令f(x)0(或f(x)<0)，求出參數的取值范圍后，再驗證參數取“”時f(x)是否滿足題意. (2)恒成立問題的重要思路 mf(x)恒成立mf(x)max； mf(x)恒成立mf(x)min.,解答,解方法一(直接法) f(x)x2axa1， 令f(x)0，得x1或xa1. 當a11，即a2時，函數f(x)在(1，)上單調遞增，不合題意. 當a11，即a2時，函數f(x)在(，1)和(a1，)上單調遞增，在(1，a1)上單調遞減， 由題意知(1,4)(1，a1)且(6，)(a1，)， 所以4a16，即5a7. 故實數a的取值范圍為5,7.,方法二(數形結合法) 如圖所示， f(x)(x1)x(a1). 因為在(1,4)內，f(x)0， 在(6，)內f(x)0， 且f(x)0有一根為1， 所以另一根在4,6上.,故實數a的取值范圍為5,7.,方法三(轉化為不等式的恒成立問題) f(x)x2axa1. 因為f(x)在(1,4)上單調遞減，所以f(x)0在(1,4)上恒成立. 即a(x1)x21在(1,4)上恒成立，所以ax1， 因為27，所以當a7時，f(x)0在(6，)上恒成立. 綜上知5a7. 故實數a的取值范圍為5,7.,例2證明exx1sin x1(x0). 證明令f(x)exx1(x0)，則f(x)ex10， f(x)在0，)上單調遞增， 對任意x0，)，有f(x)f(0)，而f(0)0， f(x)0，即exx1， 令g(x)xsin x(x0)，g(x)1cos x0， g(x)g(0)，即xsin x0， x1sin x1(x0)， 綜上，exx1sin x1.,,類型二證明不等式,證明,反思與感悟用導數證明不等式f(x)g(x)的一般步驟 (1)構造函數F(x)f(x)g(x)，xa，b. (2)證明F(x)f(x)g(x)0，且F(a)0. (3)依(2)知函數F(x)f(x)g(x)在a，b上是單調遞增函數，故f(x)g(x)0，即f(x)g(x). 這是因為F(x)為單調遞增函數， 所以F(x)F(a)0， 即f(x)g(x)f(a)g(a)0.,證明,當x1時，f(x)0， 則f(x)在(1，)內是增函數. 當x0時，f(x)f(0)0.,達標檢測,1.已知命題p：對任意x(a，b)，有f(x)0，q：f(x)在(a，b)內是單調遞增的，則p是q的 A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,1,2,3,4,5,答案,,1,2,3,4,5,2.已知對任意實數x，都有f(x)f(x)，g(x)g(x)，且當x0時，f(x)0，g(x)0，則當x0，g(x)0 B.f(x)0，g(x)0 D.f(x)<0，g(x)<0,解析,答案,,解析由題意知，f(x)是奇函數，g(x)是偶函數. 當x0時，f(x)，g(x)都單調遞增， 則當x0，g(x)<0.,3.已知函數f(x)x312x，若f(x)在區(qū)間(2m，m1)上單調遞減，則實數m的取值范圍是________.,解析f(x)0，即3x2120，得2x2. f(x)的減區(qū)間為2,2， 由題意得(2m，m1)2,2，,1,1),1,2,3,4,5,解析,答案,2，),答案,解析,1,2,3,4,5,所以f(x)在(，)上為單調遞增函數，其圖象若穿越x軸，則只有一次穿越的機會， 顯然x0時，f(x)0.,解答,1,2,3,4,5,利用導數法解決取值范圍問題的兩個基本思路 (1)將問題轉化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題，即f(x)0(或f(x)0)恒成立，利用分離參數或函數性質求解參數范圍，然后檢驗參數取“”時是否滿足題意； (2)先令f(x)0(或f(x)<0)，求出參數的取值范圍后，再驗證參數取“”時，f(x)是否滿足題意.,規(guī)律與方法,