第七章 一元一次不等式教案
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1、初中數(shù)學 第七章 一元一次不等式7.1生活中的不等式 目標要求: 1.在現(xiàn)實情境中認識數(shù)量間的不等關(guān)系,理解不等式的意義; 2.會用不等式表示不等關(guān)系. 過程性目標: 1.引導學生分析具體事例,從對具體事例的分析中得到不等量關(guān)系; 2.通過分析、抽象得到不等式的概念 情感態(tài)度目標: 1.在對實際問題的數(shù)量關(guān)系進行比較分析、作出推斷的過程中,提高學生參與數(shù)學活動,樂于接觸社會環(huán)境中數(shù)學信息的興趣; 2.為學生創(chuàng)設(shè)學數(shù)學、用數(shù)學的情境,讓學生體驗用數(shù)學知識解決實際問題的方法. 重點和難點 重點:不等式的意義以及會用不等式表示不等關(guān)系; 難點:在實際問題中用不等式表示不等關(guān)
2、系. 情境創(chuàng)設(shè): 1、小磊和他的媽媽、爸爸的體重分別為30kg、55kg和75kg. 春節(jié)期間,去瘦西湖游樂場玩蹺蹺板,小磊和媽媽玩時,誰會向上蹺?若小磊和媽媽坐一頭,爸爸坐在另一頭時,誰會向上蹺? 這說明:因為30kg 55kg(填寫不等號),所以 會向上蹺; 又因為30kg+55kg 75kg. (填寫不等號),所以 會向上蹺. 2、一只紙箱質(zhì)量為1kg.當放入一些蘋果(每個蘋果的質(zhì)量為0.25kg)后,箱子和蘋果的總質(zhì)量不超過10kg. (1)填表: 蘋果數(shù) 10 20 25 30 35 總質(zhì)量/kg
3、(2)估計這只紙箱內(nèi)最多能裝多少個蘋果? 在日常生活中,同類量(如長度與長度,質(zhì)量與質(zhì)量,速度與速度)之間常常存在不等關(guān)系. 觀察研究課本P.6“例如”:a 100. “嘗試”中,(1)x 2.9、y 3.1;(2)x+2 48. 交流:請你舉出至少兩個有不等關(guān)系實例,并與同學交流. 舉例:1、 ??; 2、
4、 . 對自己所舉出的例子用數(shù)學式子表示其中的數(shù)量之間的關(guān)系: 1、 ; 2、 . 合作交流 解讀探究 用數(shù)學式子表示下面數(shù)量之間的關(guān)系: ⑴某種袋裝牛奶中,每100克牛奶含x克蛋白質(zhì),y克脂肪、該牛奶的營養(yǎng)成分含量如下表。 營養(yǎng)成分 含量 蛋白質(zhì) ≥2.9克 脂肪 ≥3.1克 非脂乳固體 ≥8.1克 不等式:像30kg<55kg 、x>50,x+2<48、a≤100、3y≥10等,用不等號表示不等關(guān)系的式子叫做
5、不等式. 例題講解 鞏固提高 例1、用不等式表示: ⑴a是正數(shù); ⑵b是非負數(shù); ⑶x與3的差不大于2; ⑷y的一半與7的和不小于-5。 例2、用適當?shù)姆柋硎鞠铝嘘P(guān)系: (1)x的5倍與3的差比x的4倍大; (2)a的的相反數(shù)是非負數(shù); (3)x的3倍不小于y的8倍。 例3、用“>”或“<”號填空: ?。?)-6+4 ?。?+3; (2)5-2 0-2; (3)6×2 3×2 ?。?)-6×(-4) ?。?×(-4). 練習:⑴a是正數(shù); ⑵b是非負數(shù); ⑶x與3的差不大于2; ⑷y的一半與7的和不小于-5。(提醒學生注意不等
6、式的書寫格式) 練習:課本P.7習題7.1~1 說明:數(shù)的比較大小方法:正數(shù)大于負數(shù);兩個負數(shù)比較大小,絕對值大的負數(shù)反而小. ★例4、用不等式表示: (1)a是正數(shù); ?。?)b是非負數(shù); (3)c是負數(shù);?。?)d不小于2的數(shù). 練習:課本P.7中練習1. 歸納:根據(jù)不等式的意義,常用的不等號有下面的4種形式. 種類 符號 讀法 舉例 小于號 < 小于 2+3<6,x<-4 大于號 > 大于 2+3>5,x>-10 小于或等于號 ≤ 小于或等于(不大于) x≤8 大于或等于號 ≥ 大于或等于(不小于) x≥5
7、思考討論: 例3 2006年2月5日揚州氣象臺預(yù)報本市氣溫是-2~4℃,這表示2月5日的最低氣溫是 ℃,最高氣溫是 ℃.設(shè)揚州市2月5日某一時刻氣溫為t℃,則關(guān)于t的不等量關(guān)系是 . 練習:(1)課本P.7練習2 ?。?)課本P.8習題7.1~2、3. 小結(jié)學習內(nèi)容略. 拓展延伸: 1、(2005,安徽中考題)根據(jù)下圖,對a、b、c三種物體的重量判斷正確的是( ?。? a a b b b b b c c c A a<c B a<b C a>c D b<c 2、某工程隊爆
8、破石頭,導火線燃燒的速度為0.8cm /s,點火工人跑開的速度是5m/s,安全區(qū)在離點火地110m外,,設(shè)這根導線的長度至少應(yīng)大于xcm,點火工人才能到達安全區(qū),列出不等式. 教后小結(jié): 第七章一元一次不等式7.2不等式的解集 目標要求: 1.會判斷一個數(shù)是否為不等式的解; 2.正確地將不等式的解集表示在數(shù)軸上. 過程性目標 在使用數(shù)軸表示不等式解集的過程中, 讓學生感受數(shù)形結(jié)合思想. 情感態(tài)度目標 通過觀察、歸納、類比、推斷而獲得不等式的解集與數(shù)軸上的點之間的關(guān)系,體驗數(shù)學活動充滿著探索性與創(chuàng)造性. 重點和難
9、點 重點:不等式解集; 難點:對不等式解集的含義的理解; 關(guān)鍵:通過數(shù)軸直觀地表現(xiàn)出不等式的解集. 一、創(chuàng)設(shè)情境 1.什么叫做不等式? x+2>5是不等式嗎? 2. 當x的值分別?。?、0、2、3、3.5、5、6時,不等式x-3>0和x-4<0能分別成立嗎? 列出下表,讓學生填寫: x x-3>0(填“成立”或不成立) x-4<0(填“成立”或不成立) -1 0 2 3 3.5 5 6 不等式的解:能使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解. 例如,x=3.5、5、6都是不等式x-3>0的解,x
10、=-1、0、2、3、3.5、5、6都是x-4<0的解. 練習:課本P.10~練習1. 探索歸納:1、x+2>5、x-3>0和x-4<0的解各有多少個? 2、不等式的解與方程解有什么不同? 小結(jié):不等式解是能不等式成立的 ,它是不確定的,是在一個范圍內(nèi)的任意值(無數(shù)個);方程的解使等式成立的 ,它是一個具體的值. 一個含有未知數(shù)的不等式的解的全體叫做不等式的解集(solution set). 不等式x+2>5、x-3>0和x-4<0的解集分別是什么? 求不等式解集的過程叫做解不等式. 二、在數(shù)軸上表示不等式的解集: 不等式x+2>5的解集,可
11、以表示成x>3. x>3表示x取哪些數(shù)? 在數(shù)軸上表示大于3的數(shù)的點應(yīng)該數(shù)3所對應(yīng)點的左邊還是右邊?(右邊)因此我們可以在數(shù)軸上把 x>3直觀地表示出來.畫圖時要注意方向(向右)和端點(不包括數(shù)3,在對應(yīng)點畫空心圓圈).如圖所示: 同樣,如果某個不等式的解集為x≤-2, 那么它表示x取那些數(shù)? 此時在作x≤-2的數(shù)軸表示時,要包括-2的對應(yīng)點,因而在該點處應(yīng)畫實心圓點.如圖所示: 引導學生總結(jié)出在數(shù)軸上表示不等式解集的要點: 小于向左畫,大于向右畫;無等號畫空心圓圈,有等號畫實心圓點. 練習:課本P.11~練習2.3 三、應(yīng)用舉例 例1 判斷下列說法是否正
12、確: (1)x=-2是不等式x+1<2的解; (2) 不等式x+1<2的解集是x=-1. 解(1) ??; (2) . [說明]不等式的解和不等式的解集既有聯(lián)系又有區(qū)別,不等式的解是不等式解集中的一個元素;不等式解集中的每一個元素都是這個不等式其中的一個解. 例2 在數(shù)軸上表示下列不等式的解集: (1)x<3; (2)x≤4; (3)x≥-0;(4)x<2; (5)-1 ≤x<2. 解:(1) ?。?) (3) (4) ?。?
13、) 例3 將數(shù)軸上x的范圍用不等式表示: (1) ; (2); (3) ; (4); (5)x應(yīng)取大于-2且小于1的值或x等于-2.此不等式的解集在數(shù)軸上的表示為: 三、交流反思 師生共同回顧總結(jié): 1.我們通過具體例子學習了不等式解集的概念.要明確不等式的解集是指一個不等式所有解組成的集合. 2.本課還學習了在數(shù)軸上表示不等式解集的方法. 要在認清不等式解集的含義的基礎(chǔ)上,在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集. 四、檢測反饋 1. 根據(jù)“當x為任何正數(shù)時,都能使不等式x+3>2成立”,能不能說“不等式x+3>2的解集是x>0”?為什么? 2. 兩
14、個不等式的解集分別是x<2和x≤2,它們有什么不同?在數(shù)軸上怎樣表示它們的區(qū)別? 3.兩個不等式的解集分別是x<1和x≥1,分別在數(shù)軸上將它們表示出來. 4.在數(shù)軸上表示下列不等式的解集: (1)x>5; (2) x≥0; (3) x≤2; (4)x <. 5.寫出下列各圖所表示的不等式的解集: (1); (2). 6、 在數(shù)軸上表示下列不等式的解集: (1)x≤-5; (2)x≥0; (3)x>-1; (4)1≤X≤4; (5)-2<X≤3; (6)-2≤x<3. 7、 用不等式表示下列數(shù)量關(guān)系,再用數(shù)軸表示出來: (1)x小于-1; (2)
15、x不小于-1; (3)a是正數(shù); (4)b是非負數(shù). 五、課堂總結(jié) 1.如何區(qū)別不等式的解,不等式的解集及解不等式這幾個概念? 2.找出一元一次方程與不等式在“解”,“求解” 教后小結(jié): 7.3不等式的性質(zhì) 目標要求: 1.掌握不等式的兩條基本性質(zhì),并能熟練的應(yīng)用不等式的性質(zhì)進行不等式的變形; 2.理解不等式的基本性質(zhì)與等式的基本性質(zhì)之間的區(qū)別. 過程性目標 在積極參與探索、發(fā)現(xiàn)不等式基本性質(zhì)的過程中,體會不等式的兩條基本性質(zhì)的作用和意義,培養(yǎng)學生探索數(shù)學問題的能力. 情感態(tài)度目標 1.通過學生的自主討論培養(yǎng)學生的觀察力和歸納的能力;
16、2.通過學生的討論使學生進一步體會集體的作用,培養(yǎng)其集體合作的精神. 重點和難點 重點:掌握不等式的兩條基本性質(zhì),尤其是不等式的基本性質(zhì)2; 難點:正確應(yīng)用不等式的兩條基本性質(zhì)進行不等式的變形. 一、 創(chuàng)設(shè)情境 問:在解一元一次方程時,我們主要是對方程進行變形,那么方程變形主要有哪些? 答:去分母、移項、系數(shù)化為1. 問:這些解法具體步驟的主要依據(jù)是等式的兩條基本性質(zhì). 等式基本性質(zhì)1:在等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)或同一個整式,所得的結(jié)果仍是等式; 等式基本性質(zhì)2:等式的兩邊都乘以或除以同一個數(shù)不等于0的數(shù),所得的結(jié)果仍是等式 二、探索1: (1)請同學們觀察:課
17、本P.12電梯里兩人身高分別為:a米、b米,且a>b,都升高6米后的高度后的不等式關(guān)系:a+6>b+6;同理:a-3 b-3(填寫“<”、“>”號 (2)實物演示:一個傾斜的天平兩邊分別放有重物,其質(zhì)量分別為a和b(顯然有a>b),如果在兩邊盤內(nèi)再分別加上等量的砝碼c,那么盤子會出現(xiàn)什么情況? 可讓學生進行操作,并得出結(jié)論:盤子仍然像原來那樣傾斜(即a+c>b+c). a>b a+c>b+c. 歸納1: 教師在學生得出結(jié)論的前提下總結(jié): 不等式的性質(zhì)1 不等式的兩邊都
18、加上(或減去)同一個數(shù)或同一個整式,不等號的方向不變. 用數(shù)學式了表示: 如果a>b, 那么a+c>b+c,a-c>b-c. 探索2: 問題: 如果不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個不為零的數(shù), 不等號的方向是否也不變呢? 將不等式7>4兩邊都乘以同一個數(shù),比較所得數(shù)的大小,用“>”,“<”或“=”填空: 7×3 ______4×3, 7×2 ______4×2 , 7×1______ 4×1, …… 7×(-1)______4×(-1), 7×(-2)______4×(-2), 7×(-3)______4×(-3), …… 從中你能發(fā)現(xiàn)什么?在學
19、生所得出的結(jié)論的基礎(chǔ)上,引導學生總結(jié)概括出不等式的另外一條性質(zhì). 不等式的性質(zhì)2 不等式的兩邊都乘(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變;不等式的兩邊都乘(或除以)同一個負數(shù),不等號的方向改變. 用數(shù)學式了表示: 如果a>b,并且c>0,那么ac>bc.; 如果a>b,并且c<0,那么ac<bc. 思考:不等式的兩邊都乘0,結(jié)果又怎樣? 如:7 4 而 7×0______ 4×0. 不等式的性質(zhì)與等式的性質(zhì)比較如下表: 等式的性質(zhì) 不等式的性質(zhì) 1. 如果a=b,那么 a+c=b+c, a―c=b―c 1. 如果a>b,那么 a+c>b+c, a―c>b―
20、c
2. 如果a=b,且c≠0, 那么
ac=bc, =
2. 如果a>b,且c>0, 那么ac>bc, >;
如果a>b,且c<0, 那么ac 21、<4x+4; ?。?)x≤(x-2);
注意:不等式的兩邊同乘以或除以同一個負數(shù),不等號一定要改變方向.
例3、根據(jù)不等式的性質(zhì),將不等式變形成x>a或x<a的形式。
(1)x-3>2; (2)3x<2x-3。
例4、根據(jù)不等式的性質(zhì),將不等式變形成x>a或x<a的形式。
(1)x>-3; (2)-2x<3x+5
★例5、已知a<2,則= .
★例6、有一個兩位數(shù),個位上的數(shù)字是a,十位上的數(shù)字是b,若把這個兩位數(shù)的個位與十位數(shù)對調(diào),得到的兩位數(shù)大于原來的兩位數(shù),比較a與b的大小.
四、練習
1.判斷下列語句是否正確: 22、
(1)若m<0,則5m>4m; (2)若x為有理數(shù),則4x2 >-3x2;
(3)若y為有理數(shù),則4+y2>0; (4)若3a<-2a,則a<0;
(5)若,則x<y.
2.已知x<y,用“<”或“>”號填空。
(1); (2); (3); (4);
3.將下列不等式改寫成“x>a”或“x<a”的形式:
(1)>0; (2)<4。
4.?利用不等式的基本性質(zhì),填“>”或“<”:
(1)若a>b,則2a+1 2b+1; ( 23、2)若<10,則y -8;
(3)若a<b,且c>0,則ac+c bc+c;(4)若a>0,b<0, c<0,(a-b)c 0。
5.(1)用“>”號或“<”號填空,并簡說理由。
① 6+2 -3+2; ② 6×(-2) -3×(-2);
③ 6÷2 -3÷2; ④ 6÷(-2) -3÷(-2)
(2)如果a>b,則
① ②
③ 24、 >0) ④ (c<0)
教后小結(jié):
7.4解一元一次不等式 (第一課時)
目標要求:
1、 解一元一次不等式的概念;2、熟練掌握較為簡單的一元一次不等式的解法,并能正確地將不等式的解集表示在數(shù)軸上.
過程性目標
1.介紹一元一次不等式的概念;
2.引導學生體會通過綜合利用不等式的概念和基本性質(zhì)解一元一次不等式.
情感態(tài)度目標
通過實例讓學生經(jīng)歷求一元一次不等式的解的過程,探索一元一次不等式的解法與一元一次方程解法的異同,從中感受到新舊知識的遷移和更新.
重點和難點
重點:一元一次不等式 25、的解法;難點:解一元一次不等式時,去分母及化系數(shù)為1,這兩步當乘數(shù)是負數(shù)時改變不等號的方向.
一、課前練習:
1.直接寫出下列一元一次不等式的解集.
(1)-x<2; ?。?)1-x <x-1;
?。?)2x-3>1; ?。?)≤x.
2.解下列不等式,并把解集在數(shù)軸上表示出來.
?。?) <-1; (2)6-(x-1)<1.
二、創(chuàng)設(shè)情境
小華在3月初栽種了一棵小樹,小樹高75cm,小樹成活后每周長高2.5cm,估計幾周后這棵小樹超過100cm.
解:設(shè)x周后這棵小樹的高度超過100cm.
26、根據(jù)題意,得
這個不等式的解集在數(shù)軸上表示如下:
問: 這些不等式中含有幾個未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)是多少,含有未知數(shù)的式子是什么樣的代數(shù)式?這些不等式有一個共同的特點:
只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1,系數(shù)不等于0,這樣的不等式叫做一元一次不等式(linear inequality with one unknown).
說明:它們都只含有一個未知數(shù),且含未知數(shù)的式子是整式,未知數(shù)的次數(shù)是1.
三、解不等式:解下列不等式并把它的解集在數(shù)軸上表示出來:
(1)x-8<3; (2)3x>7;
(3)x-1≤2. (要求學生能夠說出變形的方法和其依據(jù))
27、問: 通過以上例題的解答,我們來總結(jié)一下一元一次不等式的解法,并和一元一次方程的解法作一下比較,看看他們有哪些類似之處?有什么不同?(可安排學生進行討論和交流.)
由學生得出以下結(jié)論,教師作適當?shù)目偨Y(jié).
(1)解一元一次不等式的一般步驟: 去分母,去括號,移項,合并同類項,系數(shù)化為1.
(2)解一元一次不等式和解一元一次方程步驟類似,但要注意在不等式兩邊都乘以(或除以)同一個負數(shù)時,不等號方向必須改變.
四、檢測反饋
1.下面方程或不等式的解法對不對?為什么?
(1) 由, 得; ?。ǎ玻┯桑?;
(3)由,得; ?。ǎ矗┯?,得.
28、
2.解下列不等式,并把解集在數(shù)軸上表示出來:
(1)2x+1>3; (2)2-x<1;
(3)2(x+1)<3x; (4)3(2x+2)≥4(x-1)+7.
3. a取什么值時,代數(shù)式4a+2的值
(1)大于1? (2)等于1? (3)小于1?
4.解下列不等式:
(1); ?。?);
(3);
5.一次環(huán)保知識競賽共有25道題,規(guī)定答對一道題得4分,答錯或不答一道題扣1分,在這次競賽中,小明被評為優(yōu)秀(85分或85分以上),小明至少答對了幾 29、道題?
6. 如果關(guān)于x的不等式-k-x+6>0的正整數(shù)解為1,2,3,正整數(shù)k應(yīng)取怎樣的值?
7、 已知方程3(x-2a)+2=x-a+1的解適合不等式2(x-5)≥8a,求a的取值范圍。
教后小結(jié):
7.4解一元一次不等式 (第二課時)
目標要求:
2、 較熟練的解一元一次不等式;;
2.會求不等式的整數(shù)解;
3.會用一元一次不等式解決簡單的實際問題.
過程性目標
1. 引導學生體會通過綜合利用不等式的概念和基本性質(zhì)解一元一次不等式;
指導學生將文字表達轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言,從而解決實際問題.
2. 指導學生將文字表達式轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言,從而解決簡單的實際問題.
30、
情感態(tài)度目標
在進行實際問題討論的過程中,讓學生體驗合作交流精神,探索運用數(shù)學知識解決實際問題的方法與途徑,提高學生參與數(shù)學活動的興趣.
重點和難點
重點:一元一次不等式的解法以及將實際問題轉(zhuǎn)化成一元一次不等式的數(shù)量關(guān)系;
難點:在實際問題中建立一元一次不等式的數(shù)量關(guān)系.
一、預(yù)習練習:
1.解下列不等式,并把解集在數(shù)軸上表示出來.
?。?)14-4x>0; (2)x-1≤2.
2. 只含有 未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 ,系數(shù) 0,這樣的不等式叫做一元一次不等式(linear inequality with one unknown).
3.(1)解一元一次不 31、等式的一般步驟: 去分母,去括號, ,合并同類項,系數(shù)化為1.
(2)解一元一次不等式和解一元一次方程步驟類似,但要注意在不等式兩邊都乘以(或除以)同一個負數(shù)時,不等號方向必須 .
二、例1、解不等式,并把它解集在數(shù)軸上表示出來:
(1)+≥0 ?。?)
解:去分母,得
去括號,得
移項,合并同類項,得
例2 當x取何值時,代數(shù)式與的值的差大于4?
討論:若將例2改為“代數(shù)式與的值的差大于4時,求x 的最大整數(shù)解?”
問:把求一元一次不等式的整數(shù)解與求一元一次不等式的解集作一下比較,看看他們有哪些類似之處?有什么不同?(可安排學生進行討論和交流.)
由 32、學生得出以下結(jié)論,教師作適當?shù)目偨Y(jié).
(1)解法步驟類似: 去分母,去括號,移項,合并同類項,系數(shù)化為1.
(2)求一元一次不等式的整數(shù)解比求一元一次方程的解集多一個步驟:就是在解集中找出整數(shù)解.
三、實踐應(yīng)用
例3 張玲有1元和5角的硬幣共15枚,這些硬幣的總數(shù)大于10.5元.
問張玲至少有多少枚1元的硬幣?
分析:以“硬幣的總數(shù)大于10.5元”為不等量關(guān)系,列不等式.
四、交流反思
師生共同回顧:
用一元一次不等式解決簡單的實際問題時,先要設(shè)出未知數(shù),再根據(jù)題中不等量關(guān)系列出不等式,最后解一元一次不等式
五、檢測反饋
1.a<0時,ax-b≥0的解集為 . 33、
2.當x 時, 的值是非正數(shù).
3.解下列不等式,并把解集在數(shù)軸上表示出來:
(1)3(2x+2)≥4(x-1)+7. ?。?).
4.求≤-1的負整數(shù)解.
5.一個工程隊原定在10天內(nèi)至少要挖土600m3,在前兩天一共完成了120m3,由于整個工程調(diào)整工期,要求提前兩天完成挖土任務(wù).問以后6天內(nèi)平均每天至少要挖土多少m3.
6.求不等式1-≤的最小整數(shù)解.
7. 火車站有某公司待運的甲種貨物1530噸,乙種貨物1150噸,現(xiàn)計劃用50節(jié)A、B兩種型號的貨廂將這批貨物運至北京.已知每節(jié)A型貨廂的運費是0.5萬元,每節(jié)B型貨廂的運費是0.8萬元;甲種貨物35噸和 34、乙種貨物15噸可裝滿一節(jié)A型貨廂,甲種貨物25噸和乙種貨物35噸可裝滿一節(jié)B型貨廂.按此要求安排A、B兩種貨廂的節(jié)數(shù),共有哪幾種方案?請你設(shè)計出來,并說明哪種方案的運費最少.
六、課堂訓練
(1) x的值不大于3,用不等式表示x的取值范圍為( )
A.x>3 B.x<3 C.x≠3 D.x≤3
(2) 下列所給的四個數(shù)中,是不等式3-2x>7的解的為( )
A.-2 B. –2.5 C.+3 D. –1.5
(3) 下列說法錯誤的是( )
A.x<2的負整數(shù)解有無數(shù)個 B.x<2的整數(shù)解有無數(shù)個
C.x<2的正整數(shù)解是1和2 D.x<2的正整數(shù)解只有
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