蘇教版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件6.3基本不等式.ppt

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1、1了解基本不等式的證明過程 2會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題,第3課時 基本不等式 (a0，b0),1基本不等式是不等式中的重要內(nèi)容，也是歷年高考的重點，它應(yīng)用范圍較廣，幾乎可以涉及高中數(shù)學(xué)的所有章節(jié)，且?？汲Ｐ?，內(nèi)容無外乎就是大小判斷、求最值、求取值范圍等 2基本不等式在每年的高考題中幾乎都有所體現(xiàn)，特別是在求有關(guān)最值中，往往和應(yīng)用題結(jié)合，同時常在基本不等式的使用條件上設(shè)置一些問題，應(yīng)謹慎處理,【命題預(yù)測】,1利用基本不等式證明其他不等式時，一是要創(chuàng)設(shè)一個應(yīng)用基本不等式的情境，二是選擇恰當(dāng)?shù)墓郊捌渥冃涡问剑鏰2b22ab(a，bR),2(a2b2)(ab)2，(ab)24

2、ab， ，同時也要從整體上把握基本不等式,【應(yīng)試對策】,2用基本不等式求函數(shù)的最值時，關(guān)鍵在于將函數(shù)變形為兩項的和或積，使這兩項的和或積或平方和為定值，然后利用基本不等式求出最值在求解最值時，一種方法是消元，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值；另一種方法是將要求最值的表達式進行變形，然后用基本不等式使要求最值的表達式放縮為一個定值在用基本不等式時都必須要驗證等號成立的條件 3利用基本不等式求最值時，必須滿足三個條件：一正二定三相等，也就是先滿足是正數(shù)，然后有定值(和定積最大，積定和最小)，三是要看能不能取等號“當(dāng)且僅當(dāng)xy時等號成立”有兩層意思：一是當(dāng)xy時，取“”；二是取到“”時，必有xy.所以，在

3、運用此定理解題時一定要重視這一點,1證明：不等式a3b3c33abc(a、b、c均為正數(shù)) 證明：a3b3c33abc(ab)3c33a2b3ab23abc (abc)(ab)2(ab)cc23ab(abc) (abc)(a2b2c2abbcca) (abc)(ab)2(bc)2(ca)20， a3b3c33abc 很顯然，當(dāng)且僅當(dāng)abc時取“”號 推論：如果a，b，c為正實數(shù)，那么 (當(dāng)且僅當(dāng)abc時，取“”號),【知識拓展】,1算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 對于正數(shù)a，b，我們把 稱為a，b的算術(shù)平均數(shù)， 稱為a，b 的幾何 平均數(shù),2基本不等式 (1

4、)基本不等式成立的條件： . (2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號 (3)結(jié)論：兩個正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù) 其幾何平均數(shù) 思考：你能用數(shù)列的知識解釋 (a0，b0)的意義嗎？ 提示：兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項,a0，b0,ab,不小于,3幾個重要的不等式 (1)a2b2 (a，bR)(2) (a，b同號) (3)ab (a，bR) 4運用基本不等式求函數(shù)的最大值、最小值 對于非負數(shù)a，b， (1)和ab一定時，積ab有最 ，用基本不等式的變形式 ； (2)積ab一定時，和ab有最 ，用基本不等式的變形式 .,2a

5、b,2,大值,小值,1(2010江蘇通州市高三素質(zhì)檢測)已知a，b(0，)，ab1， 則ab的最大值為________ 答案： 2設(shè)x，y為正數(shù)，則(xy)( )的最小值為________ 解析：(xy)( )5 (x0，y0)5229， 當(dāng)且僅當(dāng)y2x時取 得最小值9. 答案：9,3已知 1(x0，y0)，則xy的最小值為________ 解析：1 2 ， ，xy60. 當(dāng)且僅當(dāng) ，即x10，y6時，xy有最小值60. 答案：60,4函數(shù)yx 的值域為________ 解析：當(dāng)x0時，x 2；當(dāng)x<0時x 2. 函數(shù)的值域為(，2 2)

6、 答案：(，22，),5已知扇形面積為定值S，則半徑為________時，扇形周長取最小值________ 解析：設(shè)半徑為R，周長為l.S (l2R)R，l2R 2(R )4 此時R ， 則R . 答案： 4,1利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，其實質(zhì)就是從已知的不等式入手，借助不等式性質(zhì)和基本不等式，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后推得所證問題，其特征是“由因?qū)Ч?2證明不等式時要注意靈活變形，多次利用基本不等式時，注意每次等號是否都成立同時也要注意應(yīng)用基本不等式的變形形式,【例1】(1)已知a0，b0，ab1，求證： 4.(2)證明：a4b4c4d44abcd

7、. 思路點撥：(1)利用ab1將要證不等式中的1代換，即可得證 (2)利用a2b22ab兩兩結(jié)合即可求證但需兩次利用不等式，注意等號成立的條件,證明：(1)a0，b0，ab1， 4.原不等式成立 (2)a4b4c4d42a2b22c2d22(a2b2c2d2)22abcd4abcd. 故原不等式得證，等號成立的條件是a2b2且c2d2且a2b2c2d2.,變式1：已知a，b(0，)且ab1，求證： (1) 16；(2)a2b2 ；(3)(1 )(1 )9； (4) 2.,應(yīng)用基本不等式求最值應(yīng)注意： (1)合理拆分項或配湊因式是常用的技巧，而拆與湊的目標(biāo)在于使等號成立，每項

8、為正值，必要時需出現(xiàn)積為定值或和為定值 (2)當(dāng)多次使用基本不等式時，一定要注意每次是否能保證等號成立，并且要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯，因此在利用基本不等式處理問題時，列出等號成立的條件不僅是解題的必要步驟，而且也是檢驗轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法,【例2】(1)已知x0，y0，lgxlgy1，求z 的最小值 (2)已知x< ，求函數(shù)y4x2 的最大值 思路點撥：(1)由lgxlgy1得xy10，故可用基本不等式 (2)由x< ，可知4x5<0，故可以對4x2進行拆項，再調(diào)整符號,解：(1)由已知條件lgxlgy1，可得xy10. 則 2.當(dāng)且僅當(dāng)2y5x， 即x2，

9、y5時等號成立 2. (2)x0， y4x2 3231， 當(dāng)且僅當(dāng)54x 即x1時，上式等號成立當(dāng)x1時，y取得最大值1.,變式2：已知x0，y0，且xy1，則的最小值是________ 解析：由已知，得 2 13， 當(dāng)且僅當(dāng) 且x0，y0，即xy 時，取等號 答案：3,3x0， f(x) 1，當(dāng)且僅當(dāng)3x，即x1時，等號成立故f(x)的最大值為1.,有關(guān)基本不等式的實際應(yīng)用問題，在利用基本不等式求有關(guān)代數(shù)式的最值的過 程中，要注意相應(yīng)的前提條件是否具備，否則就會得出錯誤的結(jié)果 【例3】某村計劃建造一個室內(nèi)面積為800 m2的矩形蔬菜溫室在溫室內(nèi)，沿左、 右兩側(cè)與后

10、側(cè)內(nèi)墻各保留1 m寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3 m寬的空地 當(dāng)矩形溫室的邊長各為多少時，蔬菜的種植面積最大？最大種植面積是多少？,思路點撥：本題主要思路是把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，靈活地應(yīng)用不等式等 基礎(chǔ)知識和方法解決問題.,解：設(shè)矩形溫室的左側(cè)邊長為a m，后側(cè)邊長為b m，則ab800. 蔬菜的種植面積是S(a4)(b2)ab4b2a88082(a2b)， 所以S8084 648(m2)當(dāng)a2b，即a40(m)，b20(m)時， S最大值648(m2) 所以，當(dāng)矩形溫室的左側(cè)邊長為40 m、后側(cè)邊長為20 m時，蔬菜的種植面積最 大，最大種植面積為648 m2.,池的深度一定，池的外圈

11、周壁建造單價為每米400元，中間一條隔壁建造單 價為每米100元，池底建造單價每平方米60元(池壁厚忽略不計) (1)污水處理池的長設(shè)計為多少米時，可使總造價最低； (2)如果受地形限制，污水處理池的長，寬都不能超過14.5米，那么此時污水處理 池的長設(shè)計為多少米時，可使總造價最低,變式4：某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的二級污水處理池，,解：(1)設(shè)污水處理池的長為x米，則寬為 米總造價f(x) 400(2x2 ) 100 60200800(x )12 000 1 600 12 00036 000(元)， 當(dāng)且僅當(dāng)x (x0)，即x15時等號成立 (

12、2)記g(x)x (0 x14.5)，顯然是減函數(shù)，x14.5時，g(x)有最小值， 相應(yīng)造價f(x)有最小值，此時寬也不超過14.5米,【規(guī)律方法總結(jié)】 1a2b22ab成立的條件是a，bR，而 成立，則要求a0且b0.使用時，要明確定理成立的前提條件 2在運用基本不等式時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為一定值)、“等”(等號取得的條件)的條件 3注意掌握基本不等式的逆用，變化形式特點 4不等式的應(yīng)用主要有三方面：一是能轉(zhuǎn)化為求解不等式(組)的有關(guān)問題(如求 函數(shù)的定義域、討論一元二次方程根的分布等

13、)；二是能轉(zhuǎn)化為不等式證明的有關(guān)問題(如證明函數(shù)的單調(diào)性等)；三是能利用兩個重要不等式的極端情形解決的最值問題.,【例4】 函數(shù)yx (x1)的值域是________,【錯因分析】,應(yīng)用基本不等式 時，易忽視a、b同為非負數(shù)這一條件而出錯，如本題易出現(xiàn)：由yx 13，得出y3，)這一錯誤結(jié)果,【答題模板】 解：當(dāng)x1時，yx 13， 當(dāng)且僅當(dāng)x1 即x2時等號成立； 當(dāng)x<1時，yx 11， 即y1，當(dāng)且僅當(dāng)1x 即x0時等號成立 原函數(shù)的值域為(，13，),利用基本不等式ab 以及變式ab2 等求函數(shù)的最值時，務(wù)必注意，a，bR(或a，b非負)，積a b或ab其中之一應(yīng)是定值，特別要注意等號成立的條件本題中的函數(shù)是形如yax (a，b0)的特殊情況，在應(yīng)用均值不等式求函數(shù)最值時，一定要注意ax， 的符號，必要時要進行分類討論.,【狀元筆記】,1已知a，b，c(0，)，且abc1，求證： 分析：先通分，再通過abc1轉(zhuǎn)化后利用基本不等式證明 證明： 8(當(dāng)且僅當(dāng)abc時取等號) 原不等式得證,2已知兩正數(shù)x，y滿足xy1，則z 的最小值為__________ 解析：z 令txy，則0