人教版九上數(shù)學(xué) 第二十三章 圖形研究 知旋轉(zhuǎn)用性質(zhì)

人教版九上數(shù)學(xué) 第二十三章 圖形研究 知旋轉(zhuǎn)，用性質(zhì) 1. 如圖，△ADE 由 △ABC 繞點(diǎn) A 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 90° 得到，且點(diǎn) B 的對應(yīng)點(diǎn) D 恰好落在 BC 的延長線上，AD，EC 相交于點(diǎn) P． (1) 求 ∠BDE 的度數(shù)； (2) F 是 EC 延長線上的點(diǎn)，且 ∠CDF=∠DAC．判斷 DF 和 PF 的數(shù)量關(guān)系，并證明． 2. 如圖，在 △ACB 中，∠ACB=90°，CA=CB，將 △ACB 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至 △ADE，使點(diǎn) B 的對應(yīng)點(diǎn) E 落在 AC 的延長線上，連接 DC 并延長交 BE 于點(diǎn) H．求證：AH⊥BE． 3. 在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，將 △ABC 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度 α 得到 △DEC，點(diǎn) A，B 的對應(yīng)點(diǎn)分別是 D，E． (1) 當(dāng)點(diǎn) E 恰好在 AC 上時(shí)，如圖 1，求 ∠ADE 的大??； (2) 若 α=60° 時(shí)，點(diǎn) F 是邊 AC 中點(diǎn)，如圖 2，求證：四邊形 BEDF 是平行四邊形． 答案 1. 【答案】 (1) ∵△ADE 由 △ABC 繞點(diǎn) A 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 90° 得到， ∴AB=AD，∠BAD=90°，△ABC≌△ADE， 在 Rt△ABD 中 ∠B=∠ADB=45°， ∴∠ADE=∠B=45°， ∴∠BDE=∠ADB+∠ADE=90°； (2) DF=PF． 證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AC=AE，∠CAE=90°， 在 Rt△ACE 中，∠ACE=∠AEC=45°， ∵∠CDF=∠CAD，∠ACE=∠ADB=45°， ∴∠ADB+∠CDF=∠ACE+∠CAD， 即 ∠FPD=∠FDP， ∴DF=PF． 2. 【答案】 ∵∠ACB=90°，CA=CB， ∴∠CAB=∠CBA=45°． ∵△CAB≌△DAE， ∴DA=CA，EA=AB， ∠DAE=∠CAB=45°． ∴∠ACD=∠ADC=67.5°， ∠AEB=∠ABE=67.5°． ∴∠ECH=∠ACD=∠AEB=67.5°，HE=HC． ∴∠HCB=22.5°，∠HBC=∠HBC． ∴HC=HB． ∵EH=HC， ∴EH=HB． ∵AE=AB， ∴AH⊥BE． 3. 【答案】 (1) 由題意，CA=CD，∠ECD=∠BCA=30°，∠DEC=∠ABC=90°， ∵CA=CD， ∴∠CAD=∠CDA=12180°-30°=75°， ∴∠ADE=90°-75°=15°； (2) ∵ 點(diǎn) F 是邊 AC 中點(diǎn)， ∴BF=12AC， ∵∠ACB=30°， ∴AB=12AC， ∴BF=AB， ∵△ABC 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60° 得到 △DEC， ∴∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，DE=AB， ∴DE=BF，△ABF 和 △BCE 都為等邊三角形， ∴BE=CB， ∵ 點(diǎn) F 為 △ACD 的邊 AC 的中點(diǎn)， ∴DF⊥AC，易證得 △CFD≌△ABC， ∴DF=BC， ∴DF=BE，而 BF=DE， ∴ 四邊形 BEDF 是平行四邊形．