高中數(shù)學(xué) 2-1-1 曲線與方程 活頁規(guī)范訓(xùn)練 新人教A版選修2-1

第二章 圓錐曲線與方程 2.1　曲線與方程 2.1.1　曲線與方程 雙基達(dá)標(biāo)　(限時(shí)20分鐘) 1．已知坐標(biāo)滿足方程F(x，y)＝0的點(diǎn)都在曲線C上，那么 (　　)． A．曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都適合方程F(x，y)＝0 B．凡坐標(biāo)不適合F(x，y)＝0的點(diǎn)都不在C上 C．不在C上的點(diǎn)的坐標(biāo)必不適合F(x，y)＝0 D．不在C上的點(diǎn)的坐標(biāo)有些適合F(x，y)＝0，有些不適合F(x，y)＝0 解析　條件中“坐標(biāo)滿足方程F(x，y)＝0的點(diǎn)都在曲線C上”，只滿足了曲線和方程概 念的一個(gè)條件，并不滿足“曲線C上的所有點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F(x，y)＝0的解”，所以 A是錯(cuò)誤的，也就是說有可能存在曲線C上某個(gè)點(diǎn)，它的坐標(biāo)不是方程F(x，y)＝0的解， 因此B是錯(cuò)誤的．由條件知C是正確的． 答案　C 2．下列選項(xiàng)中方程表示圖中曲線的是 (　　)． 解析　對于A，x2＋y2＝1表示一個(gè)整圓；對于B，x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝0，表示兩條相 交直線；對于D，由lg x＋lg y＝0知x>0，y>0. 答案　C 3．方程x2＋xy＝x表示的曲線是 (　　)． A．一個(gè)點(diǎn) B．一條直線 C．兩條直線 D．一個(gè)點(diǎn)和一條直線 解析　由x2＋xy＝x，得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0.由此知方程x2＋xy＝x表 示兩條直線．故選C. 答案　C 4．點(diǎn)A(1，－2)在曲線x2－2xy＋ay＋5＝0上，則a＝________. 解析　由題意可知點(diǎn)(1，－2)是方程x2－2xy＋ay＋5＝0的一組解，即1＋4－2a＋5＝0， 解得a＝5. 答案　5 5．方程y＝所表示的曲線是________． 解析　y＝＝|x－1|. 答案　以(1，0)為端點(diǎn)的兩條射線 6．方程(x＋y－1)＝0表示什么曲線？ 解　由(x＋y－1)＝0可得 或x2＋y2－4＝0，即或x2＋y2＝4， 由圓x2＋y2＝4的圓心到直線x＋y－1＝0的距離d＝＝<2得 直線與圓相交，所以表示直線x＋y－1＝0在圓x2 ＋y2＝4上和外面的部分，x2＋y2＝4表示圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2的圓． 所以原方程表示圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2的圓和斜率為－1，縱截距為1的直線在圓x2＋y2＝4的外面的部分，如圖所示． 綜合提高（限時(shí)25分鐘） 7．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的圖形是 (　　)． A．兩個(gè)點(diǎn) B．四個(gè)點(diǎn) C．兩條直線 D．四條直線 解析　由已知∴即或 或或選B. 答案　B 8．下面四組方程表示同一條曲線的一組是 (　　)． A．y2＝x與y＝ B．y＝lg x2與y＝2lg x C.＝1與lg (y＋1)＝lg (x－2) D．x2＋y2＝1與|y|＝ 解析　主要考慮x與y的范圍． 答案　D 9．已知方程①x－y＝0；②－＝0；③x2－y2＝0；④＝1，其中能表示直角坐標(biāo)系的第一、三象限的角平分線C的方程的序號(hào)是________． 解析　①是正確的；②不正確，如點(diǎn)(－1，－1)在第三象限的角平分線上，但其坐標(biāo)不 滿足方程－＝0；③不正確．如點(diǎn)(－1，1)滿足方程x2－y2＝0，但它不在曲線C上； ④不正確．如點(diǎn)(0，0)在曲線C上，但其坐標(biāo)不滿足方程＝1. 答案?、? 10．方程|x－1|＋|y－1|＝1所表示的圖形是________． 解析　當(dāng)x≥1，y≥1時(shí)，原方程為x＋y＝3； 當(dāng)x≥1，y<1時(shí)，原方程為x－y＝1； 當(dāng)x<1，y≥1時(shí)，原方程為－x＋y＝1； 當(dāng)x<1，y<1時(shí)，原方程為x＋y＝1. 畫出方程對應(yīng)的圖形，如圖所示為正方形． 答案　正方形 11．已知P(x0，y0)是曲線f(x，y)＝0和曲線g(x，y)＝0的交點(diǎn)，求證：點(diǎn)P在曲線f(x，y)＋λg(x，y)＝0(λ∈R)上． 證明　∵P是曲線f(x，y)＝0和曲線g(x，y)＝0的交點(diǎn)， ∴P在曲線f(x，y)＝0上，即f(x0，y0)＝0， 且P在曲線g(x，y)＝0上，即g(x0，y0)＝0， ∴f(x0，y0)＋λg(x0，y0)＝0＋λ·0＝0， ∴點(diǎn)P在曲線f(x，y)＋λg(x，y)＝0(λ∈R)上． 12．(創(chuàng)新拓展)已知曲線C的方程為x＝，說明曲線C是什么樣的曲線，并求該曲線與y軸圍成的圖形的面積． 解　由x＝，得x2＋y2＝4. 又x≥0，∴方程x＝表示的曲線是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的右半圓，從而該曲線C與y軸圍成的圖形是半圓，其面積S＝π·4＝2π. 所以所求圖形的面積為2π.