【世紀金榜】2016屆高三數(shù)學總復習 單元評估檢測(九) 算法初步、統(tǒng)計、統(tǒng)計案例 概率 文 新人教A版

【世紀金榜】2016屆高三數(shù)學總復習 單元評估檢測(九) 算法初步、統(tǒng)計、統(tǒng)計案例 概率 文 新人教A版 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的) 1.(2015·成都模擬)某校數(shù)學教研組為了解學生學習數(shù)學的情況,采用分層抽樣的方法從高一600人、高二780人、高三n人中,抽取35人進行問卷調查,已知高二被抽取的人數(shù)為13人,則n等于　(　　) A.660 B.720 C.780 D.800 【解析】選B.由已知,抽樣比為=,所以有=,n=720. 2.已知樣本容量為30,在樣本頻率分布直方圖(如圖)中,各小長方形的高的比從左到右依次為2∶4∶3∶1,則第2組的頻率和頻數(shù)分別為　(　　) A.0.4,12 B.0.6,16 C.0.4,16 D.0.6,12 【解析】選A.因為小長方形的高的比等于面積之比, 所以從左到右各組的頻率之比為2∶4∶3∶1, 因為各組頻率之和為1, 所以第二組的頻率為1×=0.4, 因為樣本容量為30, 所以第二組的頻數(shù)為30×=12. 3.(2015·周口模擬)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入的x的值為2,則輸出的x的值為　(　　) A.3 B.126 C.127 D.128 【解析】選C.依題設可知:第一次循環(huán)x=22-1=3≥126不成立; 第二次x=23-1=7≥126不成立,第三次x=27-1=127≥126成立,結束循環(huán). 4.(2015·太原模擬)如圖是一容量為100的樣本的質量的頻率分布直方圖,則由圖可估計樣本質量的中位數(shù)為　(　　) A.11 B.11.5 C.12 D.12.5 【解析】選C.第一塊的面積為0.06×5=0.3,第二塊的面積為0.5,所以第三塊的面積為0.2,根據(jù)中位數(shù)左右兩側的面積相等,也就是概率相等,所以中位數(shù)為12. 5.把標有號碼1,2,3,…,10的10個乒乓球放在一個箱子中,搖勻后,從中任意取一個,號碼為小于7的奇數(shù)的概率是　(　　) A. B. C. D. 【解析】選A.因為所有機會均等的可能共有10種,而號碼小于7的奇數(shù)有1,3,5,共3種,所以抽到號碼為小于7的奇數(shù)的概率是. 6.(2015·武漢模擬)某車間為了規(guī)定工時定額,需確定加工零件所花費的時間,為此進行了5次試驗,收集數(shù)據(jù)如下: 加工零件數(shù)x(個) 10 20 30 40 50 加工時間y(分鐘) 64 69 75 82 90 經檢驗,這組樣本數(shù)據(jù)具有線性相關關系,那么對于加工零件的個數(shù)x與加工時間y這兩個變量,下列判斷正確的是　(　　) A.成正相關,其回歸直線經過點(30,75) B.成正相關,其回歸直線經過點(30,76) C.成負相關,其回歸直線經過點(30,76) D.成負相關,其回歸直線經過點(30,75) 【解析】選B.由表格數(shù)據(jù)知,加工時間隨加工零件的個數(shù)的增加而增加,故兩變量為正相關, 又由=×(10+20+30+40+50)=30, =×(64+69+75+82+90)=76, 故回歸直線過樣本中心點(30,76). 7.(2015·鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)=ax2-bx-1,其中a∈(0,2],b∈(0,2],在其取值范圍內任取實數(shù)a,b,則函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù)的概率為　(　　) A. B. C. D. 【解析】選D.由f′(x)=2ax-b>0得x>,從而≤1,即b≤2a.因為點集(a,b)在區(qū)域a∈(0,2],b∈(0,2]中,故可行區(qū)域的面積為S=4,而滿足條件b≤2a的區(qū)域面積為S′=4-×2×1=3,從而所求概率為P=. 8.在線段AB上任取一點P,以P為頂點,B為焦點作拋物線,則該拋物線的準線與線段AB有交點的概率是　(　　) A. B. C. D. 【解析】選B.由題意,要使該拋物線的準線與線段AB有交點,則需使點P在線段AB的中點與B之間,故由幾何概型得,所求概率為P=. 9.(2015·寧波模擬)某校數(shù)學復習考有400位同學參加,評分后校方將此400位同學依總分由高到低排序如下:前100人為A組,次100人為B組,再次100人為C組,最后100人為D組. 校方進一步逐題分析同學答題情形,將各組在填充第一題(考排列組合)和填充第二題(考空間概念)的答對率列表如下: A組 B組 C組 D組 第一題答對率 100% 80% 70% 20% 第二題答對率 100% 80% 30% 0% 則下列選項正確的是　(　　) A.第一題答錯的同學,不可能屬于B組 B.從第二題答錯的同學中隨機抽出一人,此人屬于B組的概率大于0.5 C.全體同學第一題的答對率比全體同學第二題的答對率低15% D.從C組同學中隨機抽出一人,此人第一﹑二題都答對的概率不可能大于0.3 【解析】選D.因為B組第一題答對率不是100%,所以第一題答錯的同學有可能屬于B組,故A錯誤;因為A,B,C,D四組答錯第二題的人數(shù)分別是0,20,70,100,所以隨機抽出一人,此人屬于B組的概率為=<0.5,故B錯誤; 因為全體第一題與第二題答對率分別為 P1===, P2===, 所以P1-P2=-==15%,故C錯誤; 因為在C組中,兩題都答對的最大值為30%,即30人,所以從C組中隨機抽出一人,此人兩題都答對的概率不可能大于=0.3.故D正確. 10.以下幾個結論: ①某校高三一班和高三二班的人數(shù)分別是m,n,某次測試數(shù)學平均分分別是a,b,則這兩個班的數(shù)學平均分為; ②若x1,x2,…,x10的平均數(shù)為a,方差為b,則x1+5,x2+5,…,x10+5的平均數(shù)為a+5,方差為b+25; ③從總體中抽取的樣本(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),則回歸直線=x+至少過點(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中的某一個點; 其中正確結論的個數(shù)有　(　　) A.0個 B.1個 C.2個 D.3個 【解析】選A.①這兩個班的數(shù)學平均分應為;②x1+5,x2+5,…,x10+5的方差為b;③回歸直線=x+不一定過樣本點. 11.(2015·南昌模擬)某教研機構隨機抽取某校20個班級,調查各班關注漢字聽寫大賽的學生人數(shù),根據(jù)所得數(shù)據(jù)的莖葉圖,以組距為5將數(shù)據(jù)分組成[0,5),[5,10),[10,15),[15,20),[20,25),[25,30),[30,35),[35,40]時,所作的頻率分布直方圖如圖所示,則原始莖葉圖可能是　(　　) 【解析】選A.由頻率分布直方圖可知: [0,5)的頻數(shù)為20×0.01×5=1個, [5,10)的頻數(shù)為20×0.01×5=1個, [10,15)的頻數(shù)為20×0.04×5=4個, [15,20)的頻數(shù)為20×0.02×5=2個, [20,25)的頻數(shù)為20×0.04×5=4個, [25,30)的頻數(shù)為20×0.03×5=3個, [30,35)的頻數(shù)為20×0.03×5=3個, [35,40]的頻數(shù)為20×0.02×5=2個, 則對應的莖葉圖為A,故選A. 12.已知Ω={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},A={(x,y)|x≤4,y≥0,x-2y≥0},若向區(qū)域Ω上隨機投一點P,則點P落入?yún)^(qū)域A的概率為　(　　) A. B. C. D. 【解析】選A.因為區(qū)域Ω內的點所圍的面積是18個單位,而集合A中的點所圍成的面積S△OCD=4.所以向區(qū)域Ω上隨機投一點P,則點P落入?yún)^(qū)域A的概率為. 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請把正確答案填在題中橫線上) 13.某個年級有男生560人,女生420人,用分層抽樣的方法從該年級全體學生中抽取一個容量為280的樣本,則此樣本中男生人數(shù)為　　　　. 【解析】設樣本中男生人數(shù)為n,則有=,解得n=160. 答案:160 14.(2015·杭州模擬)用莖葉圖記錄甲、乙兩人在5次體能綜合測評中的成績(成績?yōu)閮晌徽麛?shù)),若乙有一次不少于90分的成績未記錄,則甲的平均成績超過乙的平均成績的概率為　　　　　. 【解析】由莖葉圖可得,甲的5次綜合測評成績分別為88,89,90,91,92,則甲的平均成績?yōu)?(88+89+90+91+92)=90. 設未記錄數(shù)字的個位為x,則乙的5次綜合測評成績分別為83,83,87,99,90+x.則乙的平均成績?yōu)? (83+83+87+99+90+x)=88.4+. 當x=9時,甲的平均數(shù)<乙的平均數(shù),即乙的平均成績超過甲的平均成績的概率為, 當x=8時,甲的平均數(shù)=乙的平均數(shù),即乙的平均成績不小于甲的平均成績的概率為, 所以甲的平均成績超過乙的平均成績的概率為1--=. 答案: 15.在區(qū)間[-5,5]內隨機地取出一個數(shù)a,使得1∈{x|2x2+ax-a2>0}的概率為　　　　. 【解析】由1∈{x|2x2+ax-a2>0},得a2-a-2<0, 解得-1<a<2,所以所求概率為. 答案: 16.(2015·長沙模擬)從區(qū)間[-5,5]內隨機取出一個數(shù)x,從區(qū)間[-3,3]內隨機取出一個數(shù)y,則使得|x|+|y|≤4的概率為　　　　　. 【解析】從區(qū)間[-5,5]內隨機取出一個數(shù)x,從區(qū)間[-3,3]內隨機取出一個數(shù)y,對應的區(qū)域面積為60,使得|x|+|y|≤4,落在矩形內的部分如圖陰影部分所示, 面積為2××(2+8)×3=30, 所以所求概率為=. 答案: 三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 17.(10分)(2015·沈陽模擬)某中學甲、乙兩班共有25名學生報名參加了一項測試.如圖是這25位學生的考分編成的莖葉圖,其中有一個數(shù)據(jù)因電腦操作員不小心刪掉了(這里暫用x來表示),但他清楚地記得兩班學生成績的中位數(shù)相同. (1)求這兩個班學生成績的中位數(shù)及x的值. (2)如果將這些成績分為“優(yōu)秀”(得分在175分以上,包括175分)和“過關”,若學校再從這兩個班獲得“優(yōu)秀”成績的考生中選出3名代表學校參加比賽,求這3人中甲班至多有一人入選的概率. 【解析】(1)甲班學生成績的中位數(shù)為(154+160)=157,乙班學生成績的中位數(shù)正好是150+x=157,故x=7. (2)用A表示事件“甲班至多有1人入選”.設甲班兩位優(yōu)生為A,B,乙班三位優(yōu)生為1,2,3.則從5人中選出3人的所有方法種數(shù)為:(A,B,1),(A,B,2),(A,B,3), (A,1,2),(A,1,3),(A,2,3),(B,1,2),(B,1,3),(B,2,3),(1,2,3)共10種情況,其中至多1名甲班同學的情況共(A,1,2),(A,1,3),(A,2,3),(B,1,2),(B,1,3), (B,2,3),(1,2,3)7種, 由古典概型概率計算公式可得P(A)=. 18.(12分)(2015·濟南模擬)某公司有男職員45名,女職員15名,按照分層抽樣的方法組建了一個4人的科研攻關小組. (1)求某職員被抽到的概率及科研攻關小組中男、女職員的人數(shù). (2)經過一個月的學習、討論,這個科研攻關組決定選出兩名職員做某項實驗,方法是先從小組里選出1名職員做實驗,該職員做完后,再從小組內剩下的職員中選一名做實驗,求選出的兩名職員中恰有一名女職員的概率. (3)試驗結束后,第一次做試驗的職員得到的試驗數(shù)據(jù)為68,70,71,72,74,第二次做試驗的職員得到的試驗數(shù)據(jù)為69,70,70,72,74,請問哪位職員的實驗更穩(wěn)定?并說明理由. 【解析】(1)P==, 所以某職員被抽到的概率為. 設抽到的有x名男職員,則=,所以x=3, 所以抽到的男、女職員的人數(shù)分別為3,1. (2)把3名男職員和1名女職員記為a1,a2,a3,b,則選取兩名職員的基本事件有 (a1,a2),(a1,a3),(a1,b),(a2,a1),(a2,a3),(a2,b),(a3,a1),(a3,a2),(a3,b),(b,a1), (b,a2),(b,a3)共12種,其中有一名女職員的有6種, 所以選出的兩名職員中恰有一名女職員的概率為P==. (3)==71, ==71, ==4, ==3.2. 第二次做試驗的職員做的實驗更穩(wěn)定. 19.(12分)有編號為A1,A2,…,A10的10個零件,測量其直徑(單位:cm),得到下面數(shù)據(jù): 編號 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 直徑 1.51 1.49 1.49 1.51 1.49 1.51 1.47 1.46 1.53 1.47 其中直徑在區(qū)間[1.48,1.52]內的零件為一等品. (1)從上述10個零件中,隨機抽取1個,求這個零件為一等品的概率. (2)從一等品零件中,隨機抽取2個. ①用零件的編號列出所有可能的抽取結果; ②求這2個零件直徑相等的概率. 【解析】(1)由所給數(shù)據(jù)可知,一等品零件共有6個.設“從10個零件中,隨機抽取1個為一等品”為事件A,則P(A)==. (2)①一等品零件的編號為A1,A2,A3,A4,A5,A6.從這6個一等品零件中隨機抽取2個,所有可能的結果有:{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4}, {A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共有15種. ②“從一等品零件中,隨機抽取的2個零件直徑相等”(記為事件B)的所有可能結果有:{A1,A4},{A1,A6},{A4,A6},{A2,A3},{A2,A5},{A3,A5},共有6種,所以P(B)==. 20.(12分)(2015·長沙模擬)某工廠有25周歲以上(含25周歲)的工人300名,25周歲以下的工人200名.為研究工人的日平均生產量是否與年齡有關,現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從中抽取100名工人,先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產件數(shù),然后按工人年齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下”分成兩組,并將兩組工人的日平均生產件數(shù)分成5組:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以統(tǒng)計,得到如圖所示的頻率分布直方圖. (1)從樣本中日平均生產件數(shù)不足60件的工人中隨機抽取2名,求至少抽到一名25周歲以下的工人的概率. (2)規(guī)定日平均生產件數(shù)不少于80件者為“生產能手”,請你根據(jù)已知條件作出2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%以上的把握認為“生產能手與工人的年齡有關”? 附表及公式: P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 K2= 【解析】(1)由已知得,樣本中25周歲以上的工人有60名,25周歲以下的工人有40名,所以樣本中日平均生產件數(shù)不足60件的工人中,25周歲以上的工人有60×0.05=3(名),記為A1,A2,A3,25周歲以下的工人有40×0.05=2(名),記為B1,B2. 從中隨機任取2名工人,所有可能的結果為:(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1), (A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共10種. 其中,至少抽到一名25周歲以下的工人的可能的結果為(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共7種. 故所求概率P=. (2)由頻率分布直方圖可知,在抽取的100名工人中,25周歲以上的生產能手有60×0.25=15(名),25周歲以上的生產能手有40×0.375=15(名). 據(jù)此可得2×2列聯(lián)表如下: 生產能手 非生產能手 總計 25周歲以上 15 45 60 25周歲以下 15 25 40 總計 30 70 100 所以K2的觀測值k==≈1.79. 因為1.79<2.706,所以沒有90%以上的把握認為“生產能手與工人的年齡有關”. 21.(12分)(2015·珠海模擬)為了解甲、乙兩個班級某次考試的數(shù)學成績,從甲、乙兩個班級中分別隨機抽取5名學生的成績(單位:分)作樣本,如圖是樣本的莖葉圖: (1)分別計算甲、乙兩個班級數(shù)學成績的樣本平均數(shù). (2)從甲、乙兩個班級數(shù)學成績的樣本中各隨機抽取1名同學的數(shù)學成績,求抽到的成績之差的絕對值不低于20的概率. 【解析】(1)甲班數(shù)學成績的樣本平均數(shù)為:=(91+102+114+122+123)=110.4. 乙班數(shù)學成績的樣本平均數(shù)為: =(94+103+112+113+125)=109.4. (2)根據(jù)題意,從甲、乙兩個班級數(shù)學成績的樣本中各隨機抽取1名同學的數(shù)學成績分別設為x和y,構成一對有序數(shù)組(x,y),則基本事件的總數(shù)為25, 設事件A:抽到的成績之差的絕對值不低于20, 則事件A包含的基本事件為(91,112)(91,113)(91,125)(102,125)(114,94) (122,94)(123,94)(123,103),共有8個.P(A)=. 從甲、乙兩個班級數(shù)學成績的樣本中各隨機抽取1名同學的數(shù)學成績,抽到的成績之差的絕對值不低于20的概率為. 22.(12分)某校高三年級有男學生105人,女學生126人,教師42人,用分層抽樣的方法從中抽取13人進行問卷調查,設其中某項問題的選擇,分別為“同意”、“不同意”兩種,且每人都做了一種選擇,下面表格中提供了被調查人答卷情況的部分信息. 同意 不同意 總計 教師 1 女學生 4 男學生 2 (1)完成此統(tǒng)計表. (2)估計高三年級學生“同意”的人數(shù). (3)從被調查的女學生中選取2人進行訪談,求選到兩名學生中恰有一人“同意”,一人“不同意”的概率. 【解析】(1) 同意 不同意 總計 教師 1 1 2 女學生 2 4 6 男學生 3 2 5 (2)×126+×105=105(人). (3)設“同意”的兩名學生編號為1,2,“不同意”的四名學生編號為3,4,5,6,選出兩人共有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共15種結果, 其中(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)共8種結果滿足題意.每個結果出現(xiàn)的可能性相等,所以恰好有1人“同意”,一人“不同意”的概率為. - 13 -