等差、等比數(shù)列以及數(shù)列求和專題.doc
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等差、等比數(shù)列以及數(shù)列求和專題.doc
§6.2 等差數(shù)列
一.課程目標(biāo)
1.理解等差數(shù)列的概念;
2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式;
3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系,并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題;
4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.
二.知識梳理
1.定義
如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用字母d表示.
數(shù)學(xué)語言表達(dá)式:an+1-an=d(n∈N*,d為常數(shù)),或an-an-1=d(n≥2,d為常數(shù)).
2. 通項公式
若等差數(shù)列{an}的首項是a1,公差是d,則其通項公式為an=a1+(n-1)d.
3.前項和公式
等差數(shù)列的前n項和公式:其中n∈N*,a1為首項,d為公差,an為第n項).
3. 等差數(shù)列的常用性質(zhì)
已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,Sn是{an}的前n項和.
(1)通項公式的推廣:
(2)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則有。特別的,當(dāng)時,
(3)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性:當(dāng)d>0時,{an}是遞增數(shù)列;當(dāng)d<0時,{an}是遞減數(shù)列;當(dāng)d=0時,{an}是常數(shù)列.
(4)若{an}是等差數(shù)列,公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列.
(5)若是等差數(shù)列,則仍是等差數(shù)列.
4. 與等差數(shù)列各項和相關(guān)的性質(zhì)
(1) 若是等差數(shù)列,則也是等差數(shù)列,其首項與的首項相同,公差為的公差的。
(2) 數(shù)列…也是等差數(shù)列.
(3) 關(guān)于非零等差數(shù)列奇數(shù)項與偶數(shù)項的性質(zhì)。
.若項數(shù)為,則。
.若項數(shù)為,則,,。
(4)若兩個等差數(shù)列的前項和分別為,則
5.等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系:
(1),數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù)).
(2)在等差數(shù)列{an}中,a1>0,d<0,則Sn存在最大值;若a1<0,d>0,則Sn存在最小值.
三.考點梳理
1.等差數(shù)列的概念及運算
例1.(2016·全國Ⅰ卷)已知等差數(shù)列{an}前9項的和為27,a10=8,則a100=( )
A.100 B.99 C.98 D.97
例2.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,S3=6,S4=12,則S6=________.
練習(xí)1.(2015·全國Ⅰ卷)已知{an}是公差為1的等差數(shù)列,Sn為{an}的前n項和.若S8=4S4,則a10等于( )
A. B. C.10 D.12
2.等差數(shù)列的性質(zhì)
例1.(2015·全國Ⅱ卷)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,若a1+a3+a5=3,則S5=( )
A.5 B.7 C.9 D.11
例2.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S3=9,S6=36,則a7+a8+a9等于( )
A.63 B.45 C.36 D.27
例3.若一個等差數(shù)列前3項的和為34,最后3項的和為146,且所有項的和為390,則這個數(shù)列的項數(shù)為( )
A.13 B.12 C.11 D.10
例4.(2015·廣東卷)在等差數(shù)列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,則a2+a8=________.
例5.(2016·武漢調(diào)研)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a1+a7=-8,a2=2,則數(shù)列{an}的公差d等于( )
A.-1 B.-2 C.-3 D.-4
例6.設(shè)等差數(shù)列{an},{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,若對任意自然數(shù)n都有=,則+的值為________.
3.等差數(shù)列與函數(shù)
例1.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a1=13,S3=S11,當(dāng)Sn最大時,n的值是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
例2.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1>0且=,則當(dāng)Sn取最大值時,n的值為( )
A.9 B.10 C.11 D.12
例3.已知等差數(shù)列{an}滿足a1+a2+a3+…+a101=0,則有( )
A.a1+a101>0 B.a2+a100<0 C.a3+a99=0 D.a51=51
例4.已知正項等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S12=24,則a6·a7的最大值為( )
A.36 B.6 C.4 D.2
例5.設(shè){}是公差為d()的無窮等差數(shù)列的前n項和,則下列命題錯誤的是( )
A. 若d<0,則數(shù)列{}有最大項
B.若數(shù)列{}有最大項,則d<0
C.若數(shù)列{}為遞增數(shù)列,則對任意,均有>0
D.若對任意,均有>0,則數(shù)列{}為遞增數(shù)列
例6.設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a2=7,a4=3,Sn是數(shù)列{an}的前n項和,則使得Sn>0成立的最大的自然數(shù)n是( )
A.9 B.10 C.11 D.12
方法總結(jié):求等差數(shù)列前n項和的最值,常用的方法:
(1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性,求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項;
(2)利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項,便可求得和的最值;
(3)將等差數(shù)列的前n項和Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù))看作二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.
§6.3 等比數(shù)列
1. 課程目標(biāo)
1. 理解等比數(shù)列的概念,掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式;
2. 能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系,并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題;
3. 了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.
2. 知識梳理
1.等比數(shù)列的概念
(1)如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的比等于同一個非零常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公比通常用字母q(q≠0)表示.
數(shù)學(xué)語言表達(dá)式:=q(n≥2,q為非零常數(shù)),或=q(n∈N*,q為非零常數(shù)).
(2)如果三個數(shù)a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項,其中G=±.
2. 等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式
(1)若等比數(shù)列{an}的首項為a1,公比是q,則其通項公式為an=a1qn-1;
通項公式的推廣:an=amqn-m.
(2)等比數(shù)列的前n項和公式:當(dāng)q=1時,Sn=na1;當(dāng)q≠1時,Sn==.
3.等比數(shù)列的性質(zhì)
已知{an}是等比數(shù)列,Sn是數(shù)列{an}的前n項和.
(1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),則有ak·al=am·an.
(2)數(shù)列(是等比數(shù)列),,等也是等比數(shù)列。(3)相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列,即ak,ak+m,ak+2m,…仍是等比數(shù)列,公比為qm.
(4)當(dāng)q≠-1,或q=-1且n為奇數(shù)時,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比數(shù)列,其公比為qn.
(5)等比數(shù)列{an}的單調(diào)性:
當(dāng)q>1,a1>0或0<q<1,a1<0時,數(shù)列{an}是遞增數(shù)列;
當(dāng)q>1,a1<0或0<q<1,a1>0時,數(shù)列{an}是遞減數(shù)列;
當(dāng)q=1時,數(shù)列{an}是常數(shù)列.
(6) 當(dāng)是偶數(shù)時,;
當(dāng)為奇數(shù)時,
3. 考點梳理
1. 等比數(shù)列的概念及運算
例1.在單調(diào)遞減的等比數(shù)列中,若,,則=( )
A.2 B.4 C. D.2
例2.公比不為1的等比數(shù)列滿足,若,則的值為( )
A.8 B.9 C.10 D.11
例3.(2015·全國Ⅰ卷)在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn為{an}的前n項和.若Sn=126,則n=________.
2.等比數(shù)列的性質(zhì)
例1.(2016·全國Ⅰ卷)設(shè)等比數(shù)列滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2…an的最大值為________.
例2.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若=3,則=( )
A.2 B. C. D.3
例3.(2015·全國Ⅱ卷)已知等比數(shù)列{an}滿足a1=3,a1+a3+a5=21,則a3+a5+a7=( )
A.21 B.42 C.63 D.84
例4.設(shè)各項都是正數(shù)的等比數(shù)列{an},Sn為前n項和,且S10=10,S30=70,那么S40等于( )
A.150 B.-200
C.150或-200 D.400或-50
例5.在正項等比數(shù)列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,則n等于( )
A.12 B.13 C.14 D.15
例6.數(shù)列{an}中,已知對任意n∈N*,a1+a2+a3+…+an=3n-1,則a+a+a+…+a等于( )
A.(3n-1)2 B.(9n-1) C.9n-1 D.(3n-1)
例7.在等比數(shù)列{an}中,a2=1,則其前3項的和S3的取值范圍是________.
例8.已知數(shù)列{an}滿足log3an+1=log3an+1(n∈N*),且a2+a4+a6=9,則的值是( )
A. -5 B.- C.5 D.
例9.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,,則=( )
A.8 B.6 C.4 D.
例10.若等比數(shù)列的前項均為正數(shù),且,則_________.
§6.3數(shù)列求和
一.課程目標(biāo):
1. 熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式;
2.掌握非等差數(shù)列、非等比數(shù)列求和的幾種常見方法.
二.知識梳理
1.求數(shù)列的前n項和的方法
(1)公式法
①等差數(shù)列的前n項和公式
Sn==na1+d.
②等比數(shù)列的前n項和公式
(ⅰ)當(dāng)q=1時,Sn=na1;
(ⅱ)當(dāng)q≠1時,Sn==.
(2)分組轉(zhuǎn)化法
把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項,使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列,再求解.
(3)裂項相消法
把數(shù)列的通項拆成兩項之差求和,正負(fù)相消剩下首尾若干項.
(4)倒序相加法
把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加,即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣.
(5)錯位相減法
主要用于一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘所得的數(shù)列的求和,即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣.
2.常見的裂項公式
(1)
(2)=
(3)
三.考點梳理
1.求數(shù)列的通項公式。
例1.已知數(shù)列{an}滿足,其中n∈N*.設(shè),求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求出的通項公式;
例2.已知數(shù)列{an}滿足a1=,an+1= ,n∈N+.求證:數(shù)列{﹣2}是等比數(shù)列,并且求出數(shù)列{an}的通項公式;
例3.已知數(shù)列的前n項和為Sn,,(n∈N*且n≥2),數(shù)列滿足:,且(n∈N*且n≥2).
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;
例4.在數(shù)列中,已知.證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項公式;
例5.數(shù)列滿足,()。設(shè),求數(shù)列的通項公式。
例6.數(shù)列{an}滿足,且(n Î N*)。
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)令= + , 求數(shù)列{bn}的前n項和.
例7.數(shù)列{an}中,,且.
(1)求;
(2)求數(shù)列的通項公式;
求通項公式的方法:
①利用;
②根據(jù)目標(biāo)數(shù)列構(gòu)造等差、等比數(shù)列,然后通過等差、等比數(shù)列的通項公式反推出原數(shù)列的通項公式;
③如果遞推公式是有數(shù)列的前后三項組成,可先構(gòu)造等比或等差數(shù)列,然后按照2的步驟進(jìn)行反推。
2.數(shù)列求和
(1)分組轉(zhuǎn)化法
①若數(shù)列{}的通項公式為=,且,為等差或等比數(shù)列,可采用分組求和法求數(shù)列{}的前n項和.
②若數(shù)列{}的通項公式為=其中數(shù)列,是等比數(shù)列或等差數(shù)列,可采用分組求和法求的前n項和.
例1.在數(shù)列中,已知,().
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;
(3)設(shè)數(shù)列{}滿足=,求{}的前n項和.
例2. 已知是等比數(shù)列,前n項和為Sn(n∈N*),且,.
(1)求的通項公式;
(2)若對任意的n∈N*,是和的等差中項,求數(shù)列的前項和.
例3.數(shù)列1,3,5,7,…,(2n-1)+,…的前n項和Sn的值等于( )
A.n2+1- B.2n2-n+1-
C.n2+1- D.n2-n+1-
例4.數(shù)列{an}的通項公式,其前n項和為Sn,則S2 016等于( )
A.1 008 B.2 016 C.504 D.0
(2) 裂項相消法:
①利用裂項相消法求和時,應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項,也有可能前面剩兩項,后面也剩兩項.
②將通項公式裂項后,有時候需要調(diào)整前面的系數(shù),使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項公式相等.
例1.(2015·全國Ⅰ卷)Sn為數(shù)列{an}的前n項和.已知an>0,a+2an=4Sn+3.
(1)求{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的前n項和.
例2.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,已知S3=a7,a8-2a3=3.
(1)求an;
(2)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的前n項和為Tn.
例3.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=﹣an﹣+2(n∈N*),數(shù)列{bn}滿足bn=2nan.
(1)求證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)cn=,數(shù)列{}的前n項和為Tn,求滿足Tn<(n∈N*)的n的最大值.
例4.已知數(shù)列{an}的前 n 項和為 Sn,a1=1,且 an+1=2Sn+1,n∈N?.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)令 c=log3a2n,bn=,記數(shù)列{bn}的前 n 項和為Tn,若對任意 n∈N?,λ<Tn 恒成立,求實數(shù) λ 的取值范圍.
(3) 錯位相減法:
一般地,如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,求數(shù)列{an·bn}的前n項和時,可采用錯位相減法求和,一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比,然后作差求解。
在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn-qSn”的表達(dá)式.
例1.已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足S3=6,S5=15.
(1)求{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
例2.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,(n∈N+).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足an?bn=log3a4n+1,記Tn=b1+b2+b3+…+bn,求證:(n∈N+).
例3.(2016·山東)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n2+8n,{bn}是等差數(shù)列,且an=bn+bn+1.
(1)求數(shù)列{bn}的通項公式;
(2)令cn=,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.
(4) 倒序相加法:
如果一個數(shù)列,與首末項等距的兩項之和等于首末兩項之和,可采用把正著寫和與倒著寫和的兩個和式相加,就得到一個常數(shù)列的和,這一求和方法稱為倒序相加法
例1.已知,求的值;
例2.已知函數(shù),當(dāng)時,恒有
(1)求的值;
(2)已知數(shù)列滿足,求;
(3)若,求
例3.已知函數(shù),是函數(shù)圖象上的任意兩點,且線段的中點的橫坐標(biāo)為
(1)求證:點的縱坐標(biāo)為定值;
(2)數(shù)列中,若,求數(shù)列的前項的和
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