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1、§4.4 局部連通空間
本節(jié)重點:
掌握局部連通的定義與性質(zhì)(定理4.4.1-4.4.3)；
掌握連通與局部連通的關(guān)系.
引進新的概念之前，我們先來考察一個例子．
例4.4.1 在歐氏平面中令S={(x,sin(1/x))|x∈(0,1]}．
T={0}×[-1,1],其中S被稱作拓撲學(xué)家的正弦曲線，它是區(qū)間（0，1]在一個連續(xù)映射下的象，因此是連通的．此外，也容易驗證
＝S∪T，因此＝S∪T也是連通的．盡管如此，倘若我們查看 中的點，容易發(fā)現(xiàn)它們明顯地分為兩類：S中的每一個點的任何一個“較小的”鄰域中都包含著一個連通的鄰域，而T中的每一個點的任何一個鄰域都是
2、不連通的.我們用以下的術(shù)語將這兩個類型的點區(qū)別開來．
定義4.4.1 設(shè)X是一個拓撲空間，x∈X．如果x的每一個鄰域U中都包含著x的某一個連通的鄰域V，則稱拓撲空間X在點x處是局部連通的．
如果拓撲空間X在它的每一個點處都是局部連通的，則稱X是一個局部連通空間．
回到例4.4.1中所定義的拓撲空間．容易證明，在其屬于S的每一個點處是局部連通的，而在其屬于T的每一個點處都不是局部連通的．也因此，盡管是一個連通空間，但它卻不是一個局部連通的空間．
局部連通的拓撲空間也不必是連通的．
例如，每一個離散空間都是局部連通空間，但包含著多于兩個點的離散空間卻不是連通空間．
又例如，
3、n維歐氏空間的任何一個開子空間都是局部連通的（這是因為每一個球形鄰域都同胚于整個歐氏空間，因而是連通的），特別，歐氏空間本身是局部連通的．另一方面，歐氏空間中由兩個無交的非空開集的并作為子空間就一定不是連通的（請讀者自己證明）．
此外根據(jù)定義立即可見：
拓撲空間X在點x∈X處是局部連通的當(dāng)且僅當(dāng)x的所有連通鄰域構(gòu)成點x處的一個鄰域基，
定理4.4.1 設(shè)X是一個拓撲空間．則以下條件等價：
（1）X是一個局部連通空間；
（2）X的任何一個開集的任何一個連通分支都是開集；
?。?）X有一個基，它的每一個元素都是連通的．
證明（1）蘊涵（2）．設(shè)C是X的一個連通分
4、支,．如果x∈C，由于U是x的一個鄰域，所以當(dāng)（1）成立時x有一個連通鄰域V包含于U．又由于V∩C包含著點x,所以不是空集，根據(jù)定理4．3．1可見．因此C∈．這證明C是屬于它的任何一個點x的鄰域，因此C是一個開集．
條件（2）蘊涵（3）．若（2）成立，則X的所有開集的所有連通分支（它們都是開集）構(gòu)成的集族，由于每一個集合是它的所有連通分支之并，恰是X的一個基．
條件（3）蘊涵(1)．顯然．
我們常用到定理4.4.1的一個推論：局部連通空間的每一個連通分支都是開集．
定理4.4.2 設(shè)X和Y都是拓撲空間，其中X是局部連通的．又設(shè)f:X→Y是一個連續(xù)開映射．則 f（X）是一
5、個局部連通空間．
證明 根據(jù)定理4.4.1，可設(shè)B是X的一個基，其中的每一個元素都是連通的．對于每一個B∈B，集合f(B)是連通的，并且由于f是一個開映射，f（B）是Y中的一個開集，因此也是f（X）的一個開集．這證明集族B1={f（B）|B∈B}}是一個由f（X）的連通開集構(gòu)成的族．我們指出B1是f(X)的一個基，這是因為，如果U是f(X)中的一個開集，則（U）是X中的一個開集，因此
是B1中某些元素之并．于是根據(jù)定理4.4.l可知f（X）是局部連通的．
根據(jù)定理4.4.2易見，拓撲空間的局部連通性是一個拓撲不變性質(zhì).
定理4.4.3 設(shè)是n≥1個局部連通空間．則積空間 也是局部連通空間．
證明(略)
應(yīng)用這些定理，有些事情說起來就會簡單得多．例如，實數(shù)空間R由于所有的開區(qū)間構(gòu)成它的一個基，所以它是局部連通的；n維歐氏空間是n個R的積空間，所以它也是局部連通的．當(dāng)然這些事情我們早就知道了．
作業(yè):
P127 1.2.3.
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《點集拓撲學(xué)》§4.4 局部連通空間
