《點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)》§4.4 局部連通空間

§4.4　局部連通空間 　　本節(jié)重點(diǎn): 　　掌握局部連通的定義與性質(zhì)(定理4.4.1-4.4.3)； 掌握連通與局部連通的關(guān)系. 　　引進(jìn)新的概念之前，我們先來考察一個(gè)例子． 　　例4.4.1　在歐氏平面中令S={(x,sin(1/x))|x∈(0,1]}． T={0}×[-1,1],其中S被稱作拓?fù)鋵W(xué)家的正弦曲線，它是區(qū)間（0，1]在一個(gè)連續(xù)映射下的象，因此是連通的．此外，也容易驗(yàn)證 ＝S∪T，因此＝S∪T也是連通的．盡管如此，倘若我們查看 中的點(diǎn)，容易發(fā)現(xiàn)它們明顯地分為兩類：S中的每一個(gè)點(diǎn)的任何一個(gè)“較小的”鄰域中都包含著一個(gè)連通的鄰域，而T中的每一個(gè)點(diǎn)的任何一個(gè)鄰域都是不連通的.我們用以下的術(shù)語將這兩個(gè)類型的點(diǎn)區(qū)別開來． 　　定義4.4.1　設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，x∈X．如果x的每一個(gè)鄰域U中都包含著x的某一個(gè)連通的鄰域V，則稱拓?fù)淇臻gX在點(diǎn)x處是局部連通的． 　　如果拓?fù)淇臻gX在它的每一個(gè)點(diǎn)處都是局部連通的，則稱X是一個(gè)局部連通空間． 　　回到例4.4.1中所定義的拓?fù)淇臻g．容易證明，在其屬于S的每一個(gè)點(diǎn)處是局部連通的，而在其屬于T的每一個(gè)點(diǎn)處都不是局部連通的．也因此，盡管是一個(gè)連通空間，但它卻不是一個(gè)局部連通的空間． 局部連通的拓?fù)淇臻g也不必是連通的． 例如，每一個(gè)離散空間都是局部連通空間，但包含著多于兩個(gè)點(diǎn)的離散空間卻不是連通空間． 又例如，n維歐氏空間的任何一個(gè)開子空間都是局部連通的（這是因?yàn)槊恳粋€(gè)球形鄰域都同胚于整個(gè)歐氏空間，因而是連通的），特別，歐氏空間本身是局部連通的．另一方面，歐氏空間中由兩個(gè)無交的非空開集的并作為子空間就一定不是連通的（請(qǐng)讀者自己證明）． 此外根據(jù)定義立即可見： 拓?fù)淇臻gX在點(diǎn)x∈X處是局部連通的當(dāng)且僅當(dāng)x的所有連通鄰域構(gòu)成點(diǎn)x處的一個(gè)鄰域基， 　　定理4.4.1　設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g．則以下條件等價(jià)： 　?。?）X是一個(gè)局部連通空間； 　?。?）X的任何一個(gè)開集的任何一個(gè)連通分支都是開集； 　?。?）X有一個(gè)基，它的每一個(gè)元素都是連通的． 　　證明（1）蘊(yùn)涵（2）．設(shè)C是X的一個(gè)連通分支,．如果x∈C，由于U是x的一個(gè)鄰域，所以當(dāng)（1）成立時(shí)x有一個(gè)連通鄰域V包含于U．又由于V∩C包含著點(diǎn)x,所以不是空集，根據(jù)定理4．3．1可見．因此C∈．這證明C是屬于它的任何一個(gè)點(diǎn)x的鄰域，因此C是一個(gè)開集． 　　條件（2）蘊(yùn)涵（3）．若（2）成立，則X的所有開集的所有連通分支（它們都是開集）構(gòu)成的集族，由于每一個(gè)集合是它的所有連通分支之并，恰是X的一個(gè)基． 　　條件（3）蘊(yùn)涵(1)．顯然． 　　我們常用到定理4.4.1的一個(gè)推論：局部連通空間的每一個(gè)連通分支都是開集． 　　定理4.4.2　設(shè)X和Y都是拓?fù)淇臻g，其中X是局部連通的．又設(shè)f:X→Y是一個(gè)連續(xù)開映射．則 f（X）是一個(gè)局部連通空間． 　　證明　根據(jù)定理4.4.1，可設(shè)B是X的一個(gè)基，其中的每一個(gè)元素都是連通的．對(duì)于每一個(gè)B∈B，集合f(B)是連通的，并且由于f是一個(gè)開映射，f（B）是Y中的一個(gè)開集，因此也是f（X）的一個(gè)開集．這證明集族B1={f（B）|B∈B}}是一個(gè)由f（X）的連通開集構(gòu)成的族．我們指出B1是f(X)的一個(gè)基，這是因?yàn)?，如果U是f(X)中的一個(gè)開集，則（U）是X中的一個(gè)開集，因此 　　 是B1中某些元素之并．于是根據(jù)定理4.4.l可知f（X）是局部連通的． 　　根據(jù)定理4.4.2易見，拓?fù)淇臻g的局部連通性是一個(gè)拓?fù)洳蛔冃再|(zhì). 　　定理4.4.3　設(shè)是n≥1個(gè)局部連通空間．則積空間 也是局部連通空間． 　　證明(略) 　　應(yīng)用這些定理，有些事情說起來就會(huì)簡(jiǎn)單得多．例如，實(shí)數(shù)空間R由于所有的開區(qū)間構(gòu)成它的一個(gè)基，所以它是局部連通的；n維歐氏空間是n個(gè)R的積空間，所以它也是局部連通的．當(dāng)然這些事情我們?cè)缇椭懒耍? 　 　作業(yè): P127　1.2.3. 第 4 頁 ** 共 4 頁