高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何第四節(jié)直線與圓圓與圓的位置關(guān)系課件文.ppt

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文數(shù) 課標(biāo)版,第四節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系,1.直線與圓的位置關(guān)系 (1)三種位置關(guān)系:① 相交 、② 相切 、③ 相離 . (2)兩種研究方法:,教材研讀,2.圓與圓的位置關(guān)系 設(shè)圓O1:(x-a1)2+(y-b1)2= (r10), 圓O2:(x-a2)2+(y-b2)2= (r20).,判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)如果直線與圓的方程組成的方程組有且只有一組實(shí)數(shù)解,則直線與 圓相切. (√) (2)如果兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解,則兩圓外切. (×) (3)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和,則兩圓相交. (×),1.直線x-y+1=0與圓(x+1)2+y2=1的位置關(guān)系是 ( ) A.相切 B.直線過圓心 C.直線不過圓心,但與圓相交 D.相離 答案 B 依題意知圓心為(-1,0),到直線x-y+1=0的距離d= =0, 所以直線過圓心.,,2.圓O1:x2+y2-2x=0和圓O2:x2+y2-4y=0的位置關(guān)系是 ( ) A.外離 B.相交 C.外切 D.內(nèi)切,答案 B 圓O1:(x-1)2+y2=1,圓O2:x2+(y-2)2=22,∵|O1O2|= = ,∴|2-1||O1O2|2+1,∴兩圓相交.故選B.,,3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線3x+4y-5=0與圓x2+y2=4相交于A,B兩點(diǎn), 則弦AB的長為 ( ) A.3 B.2 C. D.1,答案 B 圓心(0,0)到直線3x+4y-5=0的距離d= =1,因?yàn)?=22-12=3,所以|AB|=2 .,,4.若圓x2+y2=1與直線y=kx+2沒有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 . 答案 (- , ) 解析 依題意知 1,解得- k .,5.若圓C1:x2+y2=1與圓C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,則m= . 答案 9 解析 圓C1的圓心C1(0,0),半徑r1=1,圓C2的方程可化為(x-3)2+(y-4)2=25- m,所以圓心C2(3,4),半徑r2= .從而|C1C2|= =5.由兩圓外切得| C1C2|=r1+r2,即1+ =5,解得m=9.,,,考點(diǎn)一 直線與圓的位置關(guān)系 典例1 (1)直線l:mx-y+1-m=0與圓C:x2+(y-1)2=5的位置關(guān)系是 ( ) A.相交 B.相切 C.相離 D.不確定,考點(diǎn)突破,(2)若直線x+my=2+m與圓x2+y2-2x-2y+1=0相交,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 ( ) A.(-∞,+∞) B.(-∞,0) C.(0,+∞) D.(-∞,0)∪(0,+∞) 答案 (1)A (2)D,解析 (1)解法一:由 消去y,整理得(1+m2)x2-2m2x+m2-5= 0,,,則Δ=4m4-4(1+m2)(m2-5)=16m2+200, 所以直線l與圓C相交.故選A. 解法二:因?yàn)閳A心(0,1)到直線l的距離d= 1 ,故直線l與圓相交, 選A. 解法三:直線l:mx-y+1-m=0過定點(diǎn)(1,1),因?yàn)辄c(diǎn)(1,1)在圓C:x2+(y-1)2=5的 內(nèi)部,所以直線l與圓C相交.故選A.,(2)由x2+y2-2x-2y+1=0,得(x-1)2+(y-1)2=1,因?yàn)橹本€x+my=2+m與圓(x-1)2+(y -1)2=1相交, ∴ 1,∴m≠0, 故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-∞,0)∪(0,+∞).,方法技巧 (1)判斷直線與圓的位置關(guān)系時(shí),若兩方程已知或圓心到直線的距離易 表達(dá),則用幾何法;若方程中含有參數(shù),或圓心到直線的距離的表達(dá)較煩 瑣,則用代數(shù)法.(2)已知直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍時(shí),可根 據(jù)數(shù)形結(jié)合思想利用直線與圓的位置關(guān)系的判斷條件建立不等式解決.,1-1 已知點(diǎn)M(a,b)在圓O:x2+y2=1外,則直線ax+by=1與圓O的位置關(guān)系 是 ( ) A.相切 B.相交 C.相離 D.不確定 答案 B 因?yàn)镸(a,b)在圓O:x2+y2=1外,所以a2+b21,而圓心O到直線ax+ by=1的距離d= = 1.故直線與圓O相交.,,1-2 已知直線l:y=kx+1,圓C:(x-1)2+(y+1)2=12. (1)試證明:無論k為何實(shí)數(shù),直線l和圓C總有兩個(gè)交點(diǎn); (2)求直線l被圓C截得的最短弦長. 解析 (1)證明:由 消去y,得(k2+1)x2+(4k-2)x-7=0, 因?yàn)棣?(4k-2)2+28(k2+1)0, 所以無論k為何實(shí)數(shù),直線l和圓C總有兩個(gè)交點(diǎn). (2)設(shè)直線與圓交于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點(diǎn), 則直線l被圓C截得的弦長|AB|= |x1-x2| =2 =2 ,,,令t= ,則tk2-4k+(t-3)=0, 當(dāng)t=0時(shí),k=- ; 當(dāng)t≠0時(shí),因?yàn)閗∈R, 所以Δ=16-4t(t-3)≥0, 解得-1≤t≤4,且t≠0, 故t= 的最大值為4, 此時(shí)|AB|最小,為2 .,答案 (1)D (2)4π 解析 (1)因?yàn)閳A心(0,0)到直線ax+by+c=0的距離d= = = ,所以弦長的一半等于 = ,所以弦長為 . (2)把圓C的方程化為x2+(y-a)2=2+a2,則圓心為(0,a),半徑r= .圓心到 直線x-y+2a=0的距離d= .由r2=d2+ ,得a2+2= +3,解得a2=2,則r2 =4,所以圓的面積S=πr2=4π.,方法技巧 當(dāng)直線與圓相交時(shí),求弦長的方法如下: (1)幾何法:如圖所示,設(shè)直線l被圓C截得的弦為AB,圓的半徑為r,圓心到 直線的距離為d,則有關(guān)系式:|AB|=2 . (2)代數(shù)法:若斜率為k的直線與圓相交于A(xA,yA),B(xB,yB)兩點(diǎn),則|AB|= · = |yA-yB|(其中k≠0).特別地,當(dāng)k=0時(shí),|AB|=,|xA-xB|;當(dāng)斜率不存在時(shí),|AB|=|yA-yB|.,2-1 (2016課標(biāo)全國Ⅲ,15,5分)已知直線l:x- y+6=0與圓x2+y2=12交 于A,B兩點(diǎn),過A,B分別作l的垂線與x軸交于C,D兩點(diǎn),則|CD|= . 答案 4 解析 圓心(0,0)到直線x- y+6=0的距離d= =3,|AB|=2 = 2 ,過C作CE⊥BD于E,因?yàn)橹本€l的傾斜角為30°,所以|CD|= = = =4.,,2-2 已知圓C過點(diǎn)(1,0),且圓心在x軸的正半軸上,直線l:y=x-1被圓C所 截得的弦長為2 ,則過圓心且與直線l垂直的直線的方程為 . 答案 x+y-3=0 解析 由題意,設(shè)所求的直線方程為x+y+m=0,設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,0),則由 題意知 +2=(a-1)2,解得a=3或a=-1,又因?yàn)閳A心在x軸的正半軸上, 所以a=3,故圓心坐標(biāo)為(3,0).因?yàn)閳A心(3,0)在所求的直線上,所以3+0+m =0,即m=-3,故所求的直線方程為x+y-3=0.,,考點(diǎn)三 圓的切線問題 典例3 已知點(diǎn)P( +1,2- ),點(diǎn)M(3,1),圓C:(x-1)2+(y-2)2=4. (1)求過點(diǎn)P的圓C的切線方程; (2)求過點(diǎn)M的圓C的切線方程,并求出切線長. 解析 由題意得圓心C(1,2),半徑r=2.,(1)∵( +1-1)2+(2- -2)2=4, ∴點(diǎn)P在圓C上. 又kPC= =-1,∴切線的斜率k=- =1,,∴過點(diǎn)P的圓C的切線方程是y-(2- )=1×[x-( +1)],即x-y+1-2 =0.,,(2)∵(3-1)2+(1-2)2=54, ∴點(diǎn)M在圓C外部. 當(dāng)過點(diǎn)M的直線斜率不存在時(shí),直線方程為x=3,即x-3=0.,又點(diǎn)C(1,2)到直線x-3=0的距離d=3-1=2=r, 即此時(shí)滿足題意,所以直線x=3是圓的切線. 當(dāng)切線的斜率存在時(shí),設(shè)切線方程為y-1=k(x-3),,即kx-y+1-3k=0, 則圓心C到切線的距離d= =r=2, 解得k= . ∴切線方程為y-1= (x-3),即3x-4y-5=0. 綜上可得,過點(diǎn)M的圓C的切線方程為x-3=0或3x-4y-5=0. ∵|MC|= = ,∴過點(diǎn)M的圓C的切線長為 = =1.,1.求過圓上的一點(diǎn)(x0,y0)的切線方程: 先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k,若k不存在,則結(jié)合圖形可直接寫出切線 方程為y=y0;若k=0,則結(jié)合圖形可直接寫出切線方程為x=x0;若k存在且k ≠0,則由垂直關(guān)系知切線的斜率為- ,由點(diǎn)斜式可寫出切線方程.,方法指導(dǎo),2.求過圓外一點(diǎn)(x0,y0)的圓的切線方程: (1)幾何法 當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)為k,則切線方程為y-y0=k(x-x0),即kx-y+y0-kx0=0.由圓心 到直線的距離等于半徑,即可求出k的值,進(jìn)而寫出切線方程. (2)代數(shù)法 當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)為k,則切線方程為y-y0=k(x-x0),即y=kx-kx0+y0,代入圓的 方程,得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程,由Δ=0求得k,切線方程即可求出.,3.在求過一定點(diǎn)的圓的切線方程時(shí),應(yīng)先判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,若點(diǎn) 在圓上,則該點(diǎn)為切點(diǎn),切線只有一條;若點(diǎn)在圓外,切線有兩條;若點(diǎn)在 圓內(nèi),則切線不存在.,3-1 一條光線從點(diǎn)(-2,-3)射出,經(jīng)y軸反射后與圓(x+3)2+(y-2)2=1相切,則 反射光線所在直線的斜率為 ( ) A.- 或- B.- 或- C.- 或- D.- 或- 答案 D 點(diǎn)(-2,-3)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為(2,-3),由題意,知反射光線所在 直線一定過點(diǎn)(2,-3).設(shè)反射光線所在直線的斜率為k,則反射光線所在直 線的方程為y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.由反射光線與圓相切,則有 =1,解得k=- 或k=- .,,3-2 已知直線l:x+ay-1=0(a∈R)是圓C:x2+y2-4x-2y+1=0的對稱軸.過點(diǎn) A(-4,a)作圓C的一條切線,切點(diǎn)為B,則|AB|= ( ) A.2 B.4 C.6 D.2,答案 C 圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-1)2=22,圓心為C(2,1),半徑r=2,由 直線l是圓C的對稱軸,知直線l過點(diǎn)C,所以2+a×1-1=0,a=-1,所以A(-4,-1), 于是|AC|2=40,所以|AB|= = =6.故選C.,,考點(diǎn)四 圓與圓的位置關(guān)系 典例4 已知兩圓C1:x2+y2-2x-6y-1=0和C2:x2+y2-10x-12y+45=0. (1)求證:圓C1和圓C2相交; (2)求圓C1和圓C2的公共弦所在直線的方程和公共弦長. 解析 (1)證明:圓C1的圓心為C1(1,3),半徑r1= , 圓C2的圓心為C2(5,6),半徑r2=4, 兩圓圓心距d=|C1C2|=5,r1+r2= +4,|r1-r2|=4- , ∴|r1-r2|dr1+r2, ∴圓C1和圓C2相交. (2)圓C1和圓C2的方程左、右分別相減, 得4x+3y-23=0,,,∴兩圓的公共弦所在直線的方程為4x+3y-23=0. 圓心C2(5,6)到直線4x+3y-23=0的距離 d= =3, 故公共弦長為2 =2 .,3.兩圓公共弦長的求法 求兩圓公共弦長,選其中一圓,在由弦心距,弦長的一半,半徑構(gòu)成的直角 三角形中,利用勾股定理求解.,4-1 圓C1:x2+y2+2x+4y+1=0與圓C2:x2+y2-4x-4y-1=0的公切線有 ( ) A.1條 B.2條 C.3條 D.4條,答案 C 圓C1:x2+y2+2x+4y+1=0化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y+2)2=4,圓心 坐標(biāo)為(-1,-2),半徑為2,圓C2:x2+y2-4x-4y-1=0化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-2)2 =9,圓心坐標(biāo)為(2,2),半徑為3,所以 =5=2+3,故兩圓 的圓心距等于兩圓的半徑之和,所以兩圓外切,所以兩圓的公切線有3條.,,4-2 已知圓C1:(x-a)2+(y+2)2=4與圓C2:(x+b)2+(y+2)2=1相外切,則ab的最 大值為 ( ) A. B. C. D.2 答案 C 由圓C1與圓C2相外切, 可得 =2+1=3, 即(a+b)2=a2+2ab+b2=9, 根據(jù)基本不等式可知9=a2+2ab+b2≥2ab+2ab=4ab, 即ab≤ , 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號成立.故選C.,,