《定積分的概念》PPT課件

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1、引 言 從 歷 史 上 說 ,定 積 分 的 概 念 產(chǎn) 生 于 計 算 平 面 上 封閉 曲 線 圍 成 區(qū) 域 的 面 積 .為 了 計 算 計 算 這 類 區(qū) 域 的 面積 ， 最 后 把 問 題 歸 結(jié) 為 計 算 具 有 特 定 結(jié) 構(gòu) 的 和 式 的極 限 .人 們 在 實 踐 中 逐 漸 認(rèn) 識 到 這 種 特 定 結(jié) 構(gòu) 的 和 式的 極 限 ,不 僅 是 計 算 區(qū) 域 面 積 的 數(shù) 學(xué) 工 具 ,而 且 也 是 計算 其 它 許 多 實 際 問 題 (如 變 力 作 功 、 水 的 壓 力 、 立 體體 積 等 ） 的 數(shù) 學(xué) 工 具 .因 此 ,無 論 在 理 論 上

2、或 實 踐 中 ,定 積 分 這 種 特 定 結(jié) 構(gòu) 的 和 式 的 極 限 具 有 普 遍 意 義 .于是 它 成 為 數(shù) 學(xué) 分 析 的 重 要 組 成 部 分 . 本 章 就 從 解 決 曲 邊 梯 形 面 積 計 算 入 手 ,給 出 定 積分 的 概 念 ,討 論 定 積 分 的 性 質(zhì) 和 計 算 等 問 題 .Chapt 8. 定 積 分 背 景 來 源 面 積 的 計 算 在 初 等 幾 何 中 ， 我 們 只 會 計 算 由 直 線 段 和圓 弧 圍 成 的 平 面 區(qū) 域 的 面 積 .長 方 形 長 寬 ab 正 方 形 邊 長 邊 長 aa 平 行 四 邊 形 底 高

3、ah 三 角 形 底 高 2 ah 2 梯 形 （ 上 底 下 底 ） 高 2 （ a b） h 2 圓 ， 扇 形 等 如 何 計 算 由 任 意 形 狀 的 閉 曲 線 所 圍 成 的 平面 區(qū) 域 的 面 積 ？ 這 是 一 個 一 般 的 幾 何 問 題 ，這 個 問 題 只 有 用 極 限 的 方 法 才 能 得 到 圓 滿的 解 決 . 一 條 封 閉 曲 線 圍 成 的 平 面 區(qū) 域 ， 常 常 可 用 相 互 垂 直 的 兩 組 平 行 線將 它 分 成 若 干 部 分 ， 總 的 說 來 ， 他 們 可 以 看 作 以 下 三 類 區(qū) 域 ：(1)是 矩 形 (已 知 的

4、)， (2)是 曲 邊 三 角 形 (曲 邊 梯 形 的 特 殊 情 況 )， (3)是 曲 邊 梯 形 。所 以 ， 只 要 會 計 算 曲 邊 梯 形 的 面 積 就 可 以 了 .曲 邊 梯 形 面 積 的 計 算 問 題 就 產(chǎn) 生 了 定 積 分 a b xyo ?A實 例 1: （ 求 曲 邊 梯 形 的 面 積 ）一、問題的提出)(xfy8.1 定 積 分 的 概 念圖 形 .我 們 如 何 求 曲 邊 梯 形 的 面 積 A=？ 圓 面 積 是 用 一 系 列 邊 數(shù) 無 限 增 多 的內(nèi) 接 （ 或 外 切 ） 正 多 邊 形 面 積 的 極 限 來 定 義 的 .在 初 等

5、 數(shù) 學(xué) 里 ， 現(xiàn) 在我 們 仍 用 類 似 的 辦 法 來 定 義 曲 邊 梯 形 的 面 積 . 這 里 我 們 借 助 矩 形 的 面 積 來 定 義 曲 邊 梯 形的 面 積 。 a b xyoa b xyo 用 矩 形 面 積 近 似 取 代 曲 邊 梯 形 面 積顯 然 ， 小 矩 形 越 多 ， 矩 形 總 面 積 越 接 近 曲 邊 梯 形 面 積 （ 四 個 小 矩 形 ） （ 九 個 小 矩 形 ）基 本 思 想 (以 直 代 曲 )具 體 做 法 (如 下 ) a b xyo ix1x 1ix 1nx1.分 割分法任意 )(xfy（ 化 整 為 零 ）在 區(qū) 間 a,b

6、內(nèi) 任 意 插 入 (n-1)個 分 點 ,稱 為 區(qū) 間 a,b的 一個 分 法 (分 割 )， 記 為 T. bxxxxa nn 110 分 法 T將 區(qū) 間 a,b分成 n個 小 區(qū) 間 ，過 每 個 分 點 作 x軸 的 垂 線 ， 這 些 垂 線與 曲 線 f(x)相 交 ， 相 應(yīng) 地 把 大 曲 邊 梯 形分 為 n 個 小 曲 邊 梯 形 ， 其 面 積 分 別 記為 Ai ( i=1, 2, , n ) 1 iii xxx其 長 度 記 為 , 1 ii xx 把 一 個 大 曲 邊 梯 形 分 割 成 n個 小 曲 邊 梯 形 ba x1ix ix1x 2.代 替 （ 化

7、曲 為 直 ）在 每 個 小 區(qū) 間 xi-1, xi 上 任取 一 點 i ， 于 是 ， 以為 底 ， 為 高 的 小 矩 形 面積 應(yīng) 為 小 曲 邊 梯 形面 積 的 近 似 值 ， 即 , 1 ii xx)( if ii xf )( iii xfA )( 取法任意 .越 小 ， 其 近 似 程 度 越 好顯 然 ， ix 用 小 矩 形 的 面 積 替 代 相 應(yīng) 小 曲 邊 梯 形 的 面 積 ，xy baO ix1ix1x i)( if 3.求 和 （ 積 零 為 整 ）將 n個 矩 形 面 積 加 起 來 ， 應(yīng) 該 是 大 曲 邊 梯 形 面 積 近 似 值 .曲 邊 梯 形

8、 面 積 A的 近 似 值 為 ： ni iini i xfAA 11 )( 曲 邊 梯 形 面 積 將 a,b逐 次 分 下 去 ， 使 小 區(qū) 間 的 長 越 來 越 小 ， 則不 論 怎 樣 選 取 ， n個 矩 形 面 積 之 和 應(yīng) 該 越 來 越趨 近 于 曲 邊 梯 形 的 面 積 .不 難 看 到 ， 在 任 何 有 限 的過 程 中 ， n個 矩 形 面 積 之 和 總 是 曲 邊 梯 形 面 積 的 近似 值 ， 只 有 在 無 限 過 程 中 ， 應(yīng) 用 極 限 方 法 才 能 轉(zhuǎn)化 為 曲 邊 梯 形 的 面 積 . i 求 n個 小 矩 形 面 積 之 和 . 0 1

9、lim ( )n i ii fA x 4.取 極 限 （ 化 直 為 曲 ）于 是 ， 就 相 當(dāng) 于 分 割 無 限 加 細(xì) ， 讓 每 個 小 區(qū) 間 的 長 度 都 無 限 趨 近 于 零, 21 nT max令 即 n個 小 區(qū) 間 之 長 的 最 大 者 .0如 果 當(dāng) 時 ， n個 矩 形 面 積 之 和 存 在 極 限 ， 設(shè)0 ni ii xf1 )( 則 稱 A是 曲 邊 梯 形 面 積 .由 此 可 見 ， 曲 邊 梯 形 面 積 A是 一 個 特 定 結(jié) 構(gòu) 和 式 的 極 限 .這 個 定 義 給 出 了 計 算 曲 邊 梯 形 面 積 的 方 法 .不 過 按 此 定

10、 義計 算 曲 邊 梯 形 的 面 積 ， 要 進(jìn) 行 復(fù) 雜 的 運 算 .在 后 面 一 節(jié) 中 ，將 進(jìn) 一 步 討 論 這 個 和 式 極 限 的 計 算 方 法 .由 近 似 值 過 渡 到 精 確 值 求 曲 邊 梯 形 的 面 積 體 現(xiàn) 了 化 曲 為 直 、化 直 為 曲 的 辯 證 思 想 。 這 個 計 算 過 程 ， 就是 一 個 先 微 分 后 積 分 的 過 程 。 也 就 是 說 ，把 曲 邊 梯 形 分 割 成 許 多 小 曲 邊 梯 形 ， 在 每個 小 曲 邊 梯 形 中 ， 把 曲 邊 看 成 直 邊 ， 用 這些 小 “ 矩 形 ” 面 積 的 和 近

11、似 地 表 示 原 來 大曲 邊 梯 形 的 面 積 ， 從 而 實 現(xiàn) 了 局 部 的 曲 轉(zhuǎn)化 為 局 部 的 直 ， 即 “ 以 直 代 曲 ” 。 然 后 ， 再 把 分 割 無 限 加 細(xì) ， 通 過 取 極限 ， 就 使 小 矩 形 面 積 的 和 ， 轉(zhuǎn) 化 為 原 來 大曲 邊 梯 形 的 面 積 。 這 樣 局 部 的 直 又 反 過 來轉(zhuǎn) 化 為 整 體 的 曲 。 這 種 曲 轉(zhuǎn) 化 為 直 ， 直 轉(zhuǎn)化 為 曲 ， 以 及 由 此 所 反 映 出 來 的 化 整 為 零 、積 零 為 整 的 思 想 方 法 ， 是 微 積 分 乃 至 整 個高 等 數(shù) 學(xué) 的 一 個

12、重 要 方 法 。 實 例 2: （ 求 變 速 直 線 運 動 的 路 程 ）思 路 ： 把 整 段 時 間 分 割 成 若 干 小 段 ， 每 小 段 上速 度 看 作 不 變 ， 求 出 各 小 段 的 路 程 再 相 加 ， 便得 到 路 程 的 近 似 值 ， 最 后 通 過 對 時 間 的 無 限 細(xì)分 過 程 求 得 路 程 的 精 確 值 以 恒 代 變 (1)分 割 212101 TtttttT nn 1 iii ttt iii tvs )(部 分 路 程 值 某 時 刻 速 度(3)求 和 iini tvs )(1 (4)取 極 限 ,max 21 nttt 0 1lim

13、( )n i ii vs t 路 程 的 精 確 值 (2)代 替 路 程 的 近 似 值 從 上 面 例 子 看 出 ， 不 管 是 求 曲 邊 梯 形 的 面 積 或 是 計 算物 體 運 動 的 路 程 ， 盡 管 他 們 的 實 際 意 義 完 全 不 同 ， 但從 抽 象 的 數(shù) 量 關(guān) 系 來 看 ， 他 們 的 分 析 結(jié) 構(gòu) 完 全 相 同 ，它 們 都 歸 結(jié) 為 對 問 題 的 某 些 量 進(jìn) 行 “ 分 割 、 近 似 求 和 、 取 極 限 ” ， 或 者 說 都 歸 結(jié) 為 形 如 的 具 有 特 定 結(jié) 構(gòu) 和 式 極 限 問 題 。 我 們 把 這 些 問 題 從

14、 具體 的 問 題 中 抽 象 出 來 ， 作 為 一 個 數(shù) 學(xué) 概 念 提 出 來 就 是今 天 要 講 的 定 積 分 。 由 此 我 們 可 以 給 定 積 分 下 一 個 定義 ： ni ixif1 )( 二、定積分的定義 設(shè) 函 數(shù) f (x) 在 a, b 上 有 定 義 ,在 a, b內(nèi)任 意 插 入 (n-1)分 點 使0 1 2 1 ,n na x x x x x b T = x0, x1, , xn = 1, 2, , n 將 a, b 分 成 n個 小 區(qū) 間 i= xi-1, xi i=1, 2, , n 這 些 分 點 構(gòu) 成 a, b 的 一 個 分 法 (分 割

15、 )， 記 為 T, x1, , xn-1 , ba x1ix ix1x 分法任意 各 小 區(qū) 間 的 長 度 依 此 記 為 xi= xi- xi-1 ,(i=1,2, ， n)在 上 任 取 點 i i , i=1, 2, , n ， 作 和 ni ii xfT 1 )(),( 稱 此 和 式 為 f (x) 在 a, b 上 的 一 個 積 分 和 ， 也 稱為 黎 曼 （ Riemann） 和 . (Rienann和 )注 ： 顯 然 函 數(shù) f (x) 在 a, b 的 積 分 和 與 分 法 (割 )T 有 關(guān) ，也 與 一 組 = (i i , i=1, , n )的 取 法 有

16、 關(guān) .i 取法任意, 1 ii xx 記 ,max 21 nxxxT 如 果 不 論 對 a,b怎 樣 的 分 法 (分 割 )；也 不 論 在 小 區(qū) 間 上 ， 點 怎 樣 的 取 法 ，, 1 ii xx i只 要 時 ， 積 分 和 存 在 確 定 的 有 限 極 限0 IxfT ni ii 100 )(lim),(lim 設(shè) 則 稱 函 數(shù) f (x) 在 a, b 上 (黎 曼 )可 積 ； 數(shù) I 稱 為 f 在 a, b 上 的 定 積 分 . 亦 稱 黎 曼 積 分 , IxfT ni ii 100 )(lim),(lim .;,:,0,0 tsT i |)(| 1 Ixf

17、ni ii 記 為 ni iiba xfIdxxf 10 )(lim)( 且 數(shù) 與 分 法 T無 關(guān) ， 也 與 在 的 取 法 無 關(guān) . i , 1 ii xx 在 定 積 分 符 號 中 ， 各 部 分 的 名 稱 如 下 ：(Rienann積 分 ) 注 意 ： ba dxxf )( ba dttf )( ba duuf )(規(guī) 定 當(dāng) a= b 時 , 0)( aa dxxf規(guī) 定 當(dāng) a b 時 , abba dxxfdxxf )()(函 數(shù) f(x)在 區(qū) 間 a,b的 定 積 分 的 定 義 要 求 ab且 ab,定 積 分 沒 有 意 義 ， 為 了 運 算 的 需 要 ，

18、 時 必 定 同 時 有n .n(3)一 般 不 能 用 因 為 來 代 替 時 未 必 有 但 n 0 00 唯 一 重 要 的 是 分 割 的 細(xì) 度 i 極 限 的 存 在 ， 與 分 割 T的 形 式 無 關(guān) ， 與 的 選 擇 也 無 關(guān) ； 當(dāng) 足 夠 小 時 ， 總 能 使 積 分 和 與 某 一 確 定 的 數(shù) I無 限 接 近 . 把 定 積 分 定 義 的 說 法 和 函 數(shù) 極 限 的 說 法 相 對 照 ， 便 會 發(fā) 現(xiàn) 兩 者 有 相 似 的 陳 述 方 式 ， 因 此 我 們 也 常 用 極 限 符 號 來 表 達(dá) 定 積 分 ， (4) 積 分 和 的 極 限

19、與 函 數(shù) 的 極 限 有 很 大 的 區(qū) 別 積 分 和 的 極 限 與 函 數(shù) 的 極 限 之 間 其 實 有 著 很 大 的區(qū) 別 ： 然 而 ， ( )limx a f x 在 函 數(shù) 極 限 中 ， 對 每 一 個 變 量 x來 說 ， f(x)的 值 是 唯 一 確 定 的 ； 由 于 積 分 和 與 函 數(shù) f(X),分 法 T, 取 法 有 關(guān) 。而 對 于 積 分 和 的 極 限 而 言 ， 它 不 是 分 法 T的 函 數(shù) ， 每 一個 并 不 唯 一 對 應(yīng) 積 分 和 的 一 個 值 .它 的 要 求 條 件 很 強 ，即 必 須 是 “ 任 意 分 法 ” 和 “ 任

20、 意 取 法 ” 下 ， 各 種 各 樣 的積 分 和 都 無 限 趨 近 于 同 一 個 有 限 常 數(shù) ， 才 能 說 定 積 分 存在 。 這 使 得 積 分 和 的 極 限 要 比 通 常 的 函 數(shù) 極 限 復(fù) 雜 得 多 . ni iiba xfdxxf 10 )(lim)( i dxxf )( 與 ba dxxf )( 的 差 別 dxxf )( 是 )(xf 的 全 體 原 函 數(shù) 是 函 數(shù) ba dxxf )( 是 一 個 和 式 的 極 限 是 一 個 確 定 的 常 數(shù) (5) 不 定 積 分 和 定 積 分 是 積 分 學(xué) 中 的 兩 大 基 本 問 題 .定 積 分

21、 則 是 某 種 特 殊 和 式 的 極 限 ，求 不 定 積 分 是 求 導(dǎo) 數(shù) 的 逆 運 算 ， 1.曲 線 y = f (x) 0， 直 線 x = a， x = b， 所 圍 成 的 曲 邊 梯 形 面 積 可 用 定 積 分 表 示 為 ba dxxfA )(根 據(jù) 定 積 分 的 定 義 ， 可 以 看 出 ， 前 面 所 舉 的 兩 個 實 例 ， 都 是 定 積 分 .2.物 體 運 動 的 路 程 s是 速 度 函 數(shù) v(t)在 時 間 間 隔 的 定 積 分 ， 即 21 )(TT dttvs , 21 TT 黎 曼 （ Georg Friedrich Bernhard

22、 Riemann， 1826-1866） 19世 紀(jì) 富 有 創(chuàng)造 性 的 德 國 數(shù) 學(xué) 家 、物 理 學(xué) 家 。 對 數(shù) 學(xué) 分析 和 微 分 幾 何 做 出 了重 要 貢 獻(xiàn) 。 A.與 區(qū) 間 及 被 積 函 數(shù) 有 關(guān) ； B.與 區(qū) 間 無 關(guān) 與 被 積 函 數(shù) 有 關(guān) C.與 積 分 變 量 用 何 字 母 表 示 有 關(guān) ； D.與 被 積 函 數(shù) 的 形 式 無 關(guān) )(xfy 在 ba, 上 連 續(xù) ， 則 定 積 分 ba dxxf )( 的 值4.(B) 22 3sin tdt中 ， 積 分 上 限 是 積 分 下 限 是 積 分 區(qū) 間 是 2.(A) 及 x軸 所

23、 圍 成 的 曲 邊 梯 形 的 面 積 ， 用 定 積 分 表 示 為 12 xy 與 直 線 3,1 xx1. 由 曲 線(B) 舉 例 dxx )1( 231 2 -2-2,2 0 A22 2 )1( dxx3.定 積 分(A) , .1: ,f x a b f x a b若在閉區(qū)可間則在積，定有界理三 、 函 數(shù) 可 積 的 必 要 條 件證 明 ： （ 用 反 證 法 ）假 設(shè) 函 數(shù) f(x)在 a,b無 界 MxfbaxM MM )(,0 有對 于 a,b的 任 意 分 割 T， 必 至 少 有 一 個 小 區(qū) 間 ， 不 妨 設(shè) 在 函 數(shù) f(x)無 界 . , 10 xx

24、11101 )(,0 xNMfxxM 有 有 界可 積 ni iini iini iini ii xfxf xfxf xfxf xfT 211 211 211 1 )()( )()( )()( )(),( ni iini ii xfxf xfT 21 1 )()( )(),( ni ii xfN 2 )( 11101 )(,0 xNMfxxM 有 有,0 101 xxM ni ii xfT 1 )(),( MNxxNM 11 即 積 分 和 無 界 ， 從 而 ， 積 分 和 不 存 在 極 限 ，這 與 函 數(shù) f(x)在 a,b可 積 矛 盾 . 注 ： 函 數(shù) f(x)在 a,b有 界

25、僅 是 函 數(shù) f(x)在 a,b可 積 的必 要 條 件 ， 不 是 充 分 條 件 . 有 界可 積 即 ， 有 的 函 數(shù) 雖 然 有 界 ， 但 也 不 可 積 .例 如 ： 狄 利 克 雷 (Dirichlet )函 數(shù) ， 01)(xD X是 0,1的 有 理 函 數(shù)X是 0,1的 無 理 函 數(shù)D(x)在 0,1內(nèi) 有 界 ， 但 它 在 0,1不 可 積 . 若 能 構(gòu) 造 出 兩 個 不 同 方 式 的 積 分 和 ， 使 它們 的 極 限 不 相 同 ， 則 該 函 數(shù) 在 所 論 區(qū) 間 上是 不 可 積 的 .分 析 ： 證 明 ： 對 于 0,1的 任 意 分 法 T

26、,因 為 在 0,1的 有 理 函 數(shù) 與 無 理 函 數(shù) 是 處 處 稠 密 的 ，所 以 ， 在 每 個 小 區(qū) 間 上 既 存 在 有 理 函 數(shù) 又 存 在 無 理 函 數(shù) . 若 每 個 取 為 無 理 函 數(shù) ， 則 積 分 和i 0)(),( 1 ni ii xDT 若 每 個 取 為 無 理 函 數(shù) ， 則 積 分 和i 1)(),( 11 ni ini ii xxDT 于 是 ， 當(dāng) 時 ， 積 分 和 不 存 在 極 限 ， 即 D(x)在 0,1不 可 積 .0 D(x)在 0,1不 可 積 . 1、 當(dāng) f (x) 0， 定 積 分ba dxxf )(的 幾 何 意 義

27、 就 是 曲 線 y = f (x)直 線 x = a， x = b， y = 0 所圍 成 的 曲 邊 梯 形 的 面 積 bAo xya y=f (x)S四、定積分的幾何意義 2、 當(dāng) 函 數(shù) f (x) 0 ， xa, b 時 定 積 分ba dxxf )( Sdxxf ba )(幾 何 意 義 就 是 位 于 x 軸 下 方 的曲 邊 梯 形 面 積 的 相 反 數(shù) . 即 o xy a by=f (x)S 幾 何 意 義 ： ( ), x f xx a x bx x 它 是 介 于 軸 、 函 數(shù) 的 圖 形 及 兩 條直 線 之 間 的 各 部 分 面 積 的 在 軸 上 方 的

28、面 積 取 正 號 ； 在 軸 下 方 的 面積 代 數(shù) 和取 負(fù) 號 a b ,0)( xf ba Adxxf )( 曲 邊 梯 形 的 面 積,0)( xf ba Adxxf )( 曲 邊 梯 形 的 面 積 的 負(fù) 值1A 2A 3A 4A 4321)( AAAAdxxfba a b ;0. abbaaa f x dx f x dxf x dx 規(guī)定： 五 、 小 結(jié) 定 積 分 的 實 質(zhì) ： 特 殊 和 式 的 極 限 定 積 分 的 思 想 和 方 法 ：分 割 化 整 為 零求 和 積 零 為 整取 極 限 精 確 值 定 積 分求 近 似 以 直 （ 不 變 ） 代 曲 （ 變

29、 ）取 極 限3.定 積 分 的 幾 何 意 義 例 利 用 定 義 計 算 定 積 分 .10 2dxx解 1 ( )n i ii f x iini x 21 ,1 2 ini i xx nnini 121 ni in 1 231 6 )12)(1(13 nnnn,121161 nn n0dxx10 2 iini x 210lim nnn 121161lim .31 人 物 簡 介 黎 曼 （ 1826 1866） Riemann， Georg Friedrich Bernhard德 國 數(shù) 學(xué) 家 ， 物 理 學(xué) 家 。1826年 9月 17日 生 于 漢 諾 威 布 列 斯 倫 茨 ，1

30、866年 7月 20日 卒 于 意 大 利 塞 那 斯 加 。1846年 入 格 丁 根 大 學(xué) 讀 神 學(xué) 與 哲 學(xué) ， 后 來 轉(zhuǎn) 學(xué) 數(shù) 學(xué) ， 在 大 學(xué) 期 間 有 兩 年 去 柏 林 大 學(xué) 就 讀 ， 受 到 C.G.J.雅 可 比 和 P.G.L.狄 利 克 雷 的 影 響 。1849年 回 格 丁 根 。1851 年 獲 博 士 學(xué) 位 。 1854 年 成 為 格 丁 根 大 學(xué) 的 講 師 ，1859年 接 替 狄 利 克 雷 成 為 教 授 。 1851 年 論 證 了 復(fù) 變 函 數(shù) 可 導(dǎo) 的 必 要 充 分 條 件 （ 即 柯 西 -黎 曼 方 程 ） 。借 助

31、 狄 利 克 雷 原 理 闡 述 了 黎 曼 映 射 定 理 ， 成 為 函 數(shù) 的 幾 何 理 論 的 基 礎(chǔ) 。1853年 定 義 了 黎 曼 積 分 并 研 究 了 三 角 級 數(shù) 收 斂 的 準(zhǔn) 則 。1854年 發(fā) 揚 了 高 斯 關(guān) 于 曲 面 的 微 分 幾 何 研 究 ， 提 出 用 流 形 的 概 念 理 解 空 間 的 實 質(zhì) ， 用 微 分 弧 長 度 的 平 方 所 確 定 的 正 定 二 次 型 理 解 度 量 ， 建立 了 黎 曼 空 間 的 概 念 ， 把 歐 氏 幾 何 、 非 歐 幾 何 包 進(jìn) 了 他 的 體 系 之 中 。1857年 發(fā) 表 的 關(guān) 于 阿 貝 爾 函 數(shù) 的 研 究 論 文 ， 引 出 黎 曼 曲 面 的 概 念 ，將 阿 貝 爾 積 分 與 阿 貝 爾 函 數(shù) 的 理 論 帶 到 新 的 轉(zhuǎn) 折 點 并 做 系 統(tǒng) 的 研 究 。其 中 對 黎 曼 曲 面 從 拓 撲 、 分 析 、 代 數(shù) 幾 何 各 角 度 作 了 深 入 研 究 。創(chuàng) 造 了 一 系 列 對 代 數(shù) 拓 撲 發(fā) 展 影 響 深 遠(yuǎn) 的 概 念 ， 闡 明 了 后 來 為 G.羅 赫所 補 足 的 黎 曼 -羅 赫 定 理 。