考研數(shù)學 數(shù)學證明題三步走.doc

考研數(shù)學 數(shù)學證明題三步走 考研數(shù)學 數(shù)學證明題三步走 第一步：結合幾何意義記住零點存在定理、中值定理、泰勒公式、極限存在的兩個準那么等根本原理，包括條件及結論。知道根本原理是證明的根底，知道的程度(即就是對定理理解的深化程度)不同會導致不同的推理才能。如2023年數(shù)學一真題第16題(1)是證明極限的存在性并求極限。只要證明了極限存在，求值是很容易的，但是假如沒有證明第一步，即使求出了極限值也是不能得分的.。因為數(shù)學推理是環(huán)環(huán)相扣的，假如第一步未得到結論，那么第二步就是空中樓閣。這個題目非常簡單，只用了極限存在的兩個準那么之一：單調有界數(shù)列必有極限。只要知道這個準那么，該問題就能輕松解決，因為對于該題中的數(shù)列來說，“單調性”與“有界性”都是很好驗證的。像這樣直接可以利用根本原理的證明題并不是很多，更多的是要用到第二步。 第二步：借助幾何意義尋求證明思路。一個證明題，大多時候是能用其幾何意義來正確解釋的，當然最為根底的是要正確理解題目文字的含義。如2023年數(shù)學一第19題是一個關于中值定理的證明題，可以在直角坐標系中畫出滿足題設條件的函數(shù)草圖，再聯(lián)絡結論可以發(fā)現(xiàn)：兩個函數(shù)除兩個端點外還有一個函數(shù)值相等的點，那就是兩個函數(shù)分別取最大值的點(正確審題：兩個函數(shù)獲得最大值的點不一定是同一個點)之間的一個點。這樣很容易想到輔助函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)有三個零點，兩次應用羅爾中值定理就能得到所證結論。再如2023年數(shù)學一第18題(1)是關于零點存在定理的證明題，只要在直角坐標系中結合所給條件作出函數(shù)y=f(x)及y=1-x在[0，1]上的圖形就立即能看到兩個函數(shù)圖形有交點，這就是所證結論，重要的是寫出推理過程。從圖形也應該看到兩函數(shù)在兩個端點處大小關系恰好相反，也就是差函數(shù)在兩個端點的值是異號的，零點存在定理保證了區(qū)間內有零點，這就證得所需結果。假如第二步實在無法完美解決問題的話，轉第三步。 第三步：逆推。從結論出發(fā)尋求證明方法。如2023年第15題是不等式證明題，該題只要應用不等式證明的一般步驟就能解決問題：即從結論出發(fā)構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調性推出結論。在斷定函數(shù)的單調性時需借助導數(shù)符號與單調性之間的關系，正常情況只需一階導的符號就可判斷函數(shù)的單調性，非正常情況卻出現(xiàn)的更多(這里所舉出的例子就屬非正常情況)，這時需先用二階導數(shù)的符號斷定一階導數(shù)的單調性，再用一階導的符號斷定原來函數(shù)的單調性，從而得所要證的結果。該題中可設F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)/e*,其中eF(a)就是所要證的不等式。 對于那些經(jīng)常使用如上方法的同學來說，利用三步走就能輕松收獲數(shù)學證明的12分，但對于從心理上就不自信能解決證明題的同學來說，卻常常輕易喪失12分，后一局部同學請按“證明三步走”來建立自信心，以阻止考試分數(shù)的白白流失。 第 3 頁 共 3 頁