高三數(shù)學(xué) 經(jīng)典例題精解分析 2-3-1 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

2.3　雙曲線2.3.1　雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 雙基達標(biāo)　(限時20分鐘) 1．平面內(nèi)有兩個定點F1(－5，0)和F2(5，0)，動點P滿足|PF1|－|PF2|＝6，則動點P的軌跡方程是 (　　)． A.－＝1(x≤－4) B.－＝1(x≤－3) C.－＝1(x≥4) D.－＝1(x≥3) 解析　根據(jù)雙曲線的定義可得． 答案　D 2．雙曲線－＝1的焦距為 (　　)． A．3 B．4 C．3 D．4 解析　由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，a2＝10，b2＝2.于是有c2＝a2＋b2＝12，則2c＝4. 故選D. 答案　D 3．已知雙曲線的a＝5，c＝7，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (　　)． A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1或－＝1 D.－＝0或－＝0 解析　因為b2＝c2－a2＝49－25＝24，且焦點位置不確定，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 為－＝1或－＝1. 答案　C 4．若雙曲線8kx2－ky2＝8的一個焦點坐標(biāo)是(0，3)，則實數(shù)k的值為________． 解析　因為雙曲線焦點在y軸上，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1，所以k<0，又 (0，3)是雙曲線的一個焦點，則c＝3，于是有－－＝32＝9，解得k＝－1. 答案?。? 5．已知P是雙曲線－＝1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的兩個焦點，若|PF1|＝17，則|PF2|的值為________． 解析　由雙曲線方程－＝1知，a＝8，b＝6，則c＝＝10. ∵P是雙曲線上一點， ∴||PF1|－|PF2||＝2a＝16， 又|PF1|＝17， ∴|PF2|＝1或|PF2|＝33. 又|PF2|≥c－a＝2， ∴|PF2|＝33. 答案　33 6．(1)求經(jīng)過點P(－3，2)和Q(－6，－7)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)已知雙曲線與橢圓＋＝1有共同的焦點，且與橢圓相交，一個交點A的縱坐標(biāo)為4，求雙曲線的方程． 解　(1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為nx2＋my2＝1(m·n<0)， 又雙曲線經(jīng)過點P(－3，2)和Q(－6，－7)， 所以解得 所以所求的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. (2)因為橢圓＋＝1的焦點為(0，－3)，(0，3)，A點的坐標(biāo)為(±，4)，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a>0，b>0)，所以解得所以所求的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. 綜合提高（限時25分鐘） 7．已知方程(1＋k)x2－(1－k)y2＝1表示焦點在x軸上的雙曲線，則k的取值范圍為 (　　)． A．－1<k<1 B．k>1 C．k<－1 D．k>1或k<－1 解析　由題意得解得即－1<k<1. 答案　A 8．已知雙曲線C：－＝1的左、右焦點分別為F1、F2，P為C右支上的一點，且|PF2|＝|F1F2|，則△PF1F2的面積等于 (　　)． A．24 B．36 C．48 D．96 解析　依題意得|PF2|＝|F1F2|＝10，由雙曲線的定義，得|PF1|－|PF2|＝6，∴|PF1|＝16. ∴S△PF1F2＝×16×＝48.故選C. 答案　C 9．雙曲線 －＝1的一個焦點到中心的距離為3，那么m＝________. 解析　(1)當(dāng)焦點在x軸上，有m>5， 則c2＝m＋m－5＝9， ∴m＝7； (2)當(dāng)焦點在y軸上，有m<0， 則c2＝－m＋5－m＝9， ∴m＝－2； 綜上述，m＝7或m＝－2. 答案　7或－2 10．已知橢圓＋＝1與雙曲線－＝1有相同的焦點，則實數(shù)a＝________. 解析　由雙曲線－＝1可知a>0，且焦點在x軸上．根據(jù)題意知4－a2＝a＋2，即a2 ＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)，故實數(shù)a＝1. 答案　1 11．已知方程kx2＋y2＝4，其中k∈R，試就k的不同取值討論方程所表示的曲線類型． 解　(1)當(dāng)k＝0時，方程變?yōu)閥＝±2，表示兩條與x軸平行的直線； (2)當(dāng)k＝1時，方程變?yōu)閤2＋y2＝4表示圓心在原點，半徑為2的圓； (3)當(dāng)k<0時，方程變?yōu)椋?，表示焦點在y軸上的雙曲線． (4)當(dāng)0<k<1時，方程變?yōu)椋?，表示焦點在x軸上的橢圓； (5)當(dāng)k>1時，方程變?yōu)椋?，表示焦點在y軸上的橢圓． 12．(創(chuàng)新拓展)已知雙曲線的方程為x2－＝1，如圖，點A的坐標(biāo)為(－，0)，B是圓x2＋(y－)2＝1上的點，點M在雙曲線的右支上，求|MA|＋|MB|的最小值． 解　設(shè)點D的坐標(biāo)為(，0)，則點A，D是雙曲線的焦點， 由雙曲線的定義，得|MA|－|MD|＝2a＝2. ∴|MA|＋|MB|＝2＋|MB|＋|MD|≥2＋|BD|， 又B是圓x2＋(y－)2＝1上的點，圓的圓心為C(0，)， 半徑為1，故|BD|≥|CD|－1＝－1，從而|MA|＋|MB|≥2 ＋|BD|≥＋1， 當(dāng)點M，B在線段CD上時取等號，即|MA|＋|MB|的最小值為＋1.