高三數學 經典例題精解分析 3-1-5 空間向量運算的坐標表示

3.1.5　空間向量運算的坐標表示 雙基達標　(限時20分鐘) 1．已知a＝(2，－3，1)，則下列向量中與a平行的是 (　　)． A．(1，1，1) B．(－2，－3，5) C．(2，－3，5) D．(－4，6，－2) 解析　若b＝(－4，6，－2)，則b＝－2(2，－3，1)＝－2a，所以a∥b. 答案　D 2．已知a＝(1，5，－2)，b＝(m，2，m＋2)，若a⊥b，則m的值為 (　　)． A．0 B．6 C．－6 D．±6 解析　∵a⊥b，∴1×m＋5×2－2(m＋2)＝0，解得m＝6. 答案　B 3．若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，且a與b的夾角的余弦為，則λ＝ (　　)． A．2 B．－2 C．－2或 D．2或－ 解析　因為a·b＝1×2＋λ×(－1)＋2×2＝6－λ， 又因為a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝··＝，所以＝6－λ， 解得λ＝－2或. 答案　C 4．已知向量a＝(－1，0，1)，b＝(1，2，3)，k∈R，若ka－b與b垂直，則k＝________． 解析　因為(ka－b)⊥b，所以(ka－b)·b＝0， 所以ka·b－|b|2＝0， 所以k(－1×1＋0×2＋1×3)－()2＝0，解得k＝7. 答案　7 5．已知點A(－1，3，1)，B(－1，3，4)，D(1，1，1)，若＝2，則||的值是______． 解析　設點P(x，y，z)，則由＝2， 得(x＋1，y－3，z－1)＝2(－1－x，3－y，4－z)， 則解得即P(－1，3，3)， 則||＝＝＝2. 答案　2 6．已知a＝(1，－2，4)，b＝(1，0，3)，c＝(0，0，2)．求 (1)a·(b＋c)；(2)4a－b＋2c. 解　(1)∵b＋c＝(1，0，5)， ∴a·(b＋c)＝1×1＋(－2)×0＋4×5＝21. (2)4a－b＋2c＝(4，－8，16)－(1，0，3)＋(0，0，4) ＝(3，－8，17)． 綜合提高（限時25分鐘） 7．若A(3cos α，3sin α，1)，B(2cos θ，2sin θ，1)，則||的取值范圍是 (　　)． A．[0，5] B．[1，5] C．(1，5) D．(0，5) 解析　||＝ ＝，∵－1≤cos(α－θ)≤1，∴1≤||≤5. 答案　B 8．已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，則等于 (　　)． A．(，，－3) B．(，，－3) C．(－，－，－3) D．(，－，－3) 解析　因為⊥，所以·＝0， 即1×3＋5×1＋(－2)z＝0，所以z＝4. 因為BP⊥平面ABC， 所以⊥，且⊥， 即1×(x－1)＋5y＋(－2)×(－3)＝0， 且3(x－1)＋y＋(－3)×4＝0. 解得x＝，y＝－， 于是＝(，－，－3)． 答案　D 9．已知點A(λ＋1，μ－1，3)，B(2λ，μ，λ－2μ)，C(λ＋3，μ－3，9)三點共線，則實數λ＋μ＝________． 解析　因為＝(λ－1，1，λ－2μ－3)，＝(2，－2，6)，若A，B，C三點共線，則 ∥，即＝－＝，解得λ＝0，μ＝0，所以λ＋μ＝0. 答案　0 10．已知空間三點A(1，1，1)，B(－1，0，4)，C(2，－2，3)，則與的夾角θ的大小是________． 解析　∵＝(－2，－1，3)，＝(－1，3，－2)， ∴cos〈，〉＝ ＝＝＝－， 又0°≤〈，〉≤180°，∴θ＝〈，〉＝120°. 答案　120° 11．已知△ABC三個頂點的坐標分別為A(1，2，3)，B(2，－1，5)，C(3，2，－5)． (1)求△ABC的面積； (2)求△ABC中AB邊上的高． 解　(1)由已知得＝(1，－3，2)，＝(2，0，－8)， ∴||＝＝，||＝＝2， ·＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14， cos〈，〉＝＝＝， sin〈，〉＝＝. ∴S△ABC＝||·||·sin〈，〉 ＝××2×＝3. (2)設AB邊上的高為CD，則||＝＝3. 12．(創(chuàng)新拓展)在正方體AC1中，已知E、F、G、H分別是CC1、BC、CD和A1C1的中點． 證明：(1)AB1∥GE，AB1⊥EH； (2)A1G⊥平面EFD. 證明　如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，設正方體棱長為1，則A(0，0，0)、B(1，0，0)、C(1，1，0)，D(0，1，0)、A1(0，0，1)、B1(1，0，1)、C1(1，1，1)、D1(0，1，1)，由中點性質得E(1，1，)、F(1，，0)，G(，1，0)、H(，，1)． (1)則＝(1，0，1)， ＝(，0，)， ＝(－，－，) ∵＝2，·＝1×(－)＋1×＝0， ∴∥，⊥. 即AB1∥GE，AB1⊥EH. (2)∵＝(，1，－1)，＝(1，－，0)， ＝(1，0，)，∴·＝－＋0＝0， ·＝＋0－＝0，∴A1G⊥DF，A1G⊥DE. 又DF∩DE＝D，∴A1G⊥平面EFD.