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1、3.1.2 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算
雙基達(dá)標(biāo) (限時(shí)20分鐘)
1．給出的下列幾個(gè)命題：
①向量a，b，c共面，則它們所在的直線共面；
②零向量的方向是任意的；
③若a∥b，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.其中真命題的個(gè)數(shù)為 ( )．
A．0 B．1 C．2 D．3
解析?、偌倜}．三個(gè)向量共面時(shí)，它們所在的直線或者在平面內(nèi)或者與平面平行；
②真命題．這是關(guān)于零向量的方向的規(guī)定；③假命題．當(dāng)b＝0，則有無數(shù)多個(gè)λ使之成
立．
答案 B
2．設(shè)空間四點(diǎn)O，A，
2、B，P滿足＝m＋n，其中m＋n＝1，則 ( )．
A．點(diǎn)P一定在直線AB上
B．點(diǎn)P一定不在直線AB上
C．點(diǎn)P可能在直線AB上，也可能不在直線AB上
D.與的方向一定相同
解析 已知m＋n＝1，則m＝1－n，＝(1－n)＋n＝－n＋n?－＝
n(－)?＝n.因?yàn)椤?，所以和共線，即點(diǎn)A，P，B共線，故選A.
答案 A
3．已知點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)，并且對(duì)空間任意一點(diǎn)O，有＝x＋＋，則x的值為 ( )．
A．1
3、 B．0 C．3 D.
解析 ∵＝x＋＋，且M，A，B，C四點(diǎn)共面，∴x＋＋＝1，x＝，故
選D.
答案 D
4．以下命題：①兩個(gè)共線向量是指在同一直線上的兩個(gè)向量；②共線的兩個(gè)向量互相平行；③共面的三個(gè)向量是指在同一平面內(nèi)的三個(gè)向量；④共面的三個(gè)向量是指平行于同一平面的三個(gè)向量．其中正確命題的序號(hào)是________．
解析 根據(jù)共面與共線向量的定義判定，易知②④正確．
答案 ②④
5．設(shè)e1，e2是平面內(nèi)不共線的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三點(diǎn)共線，則k＝_
4、_____．
解析?。剑絜1－4e2，＝2e1＋ke2，
又A、B、D三點(diǎn)共線，由共線向量定理得＝λ，
∴＝.∴k＝－8.
答案?。?
6．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，請(qǐng)判斷向量與＋是否共線？
解 取AC中點(diǎn)為G.
連接EG，F(xiàn)G，
∴＝，＝，
又∵，，共面，
∴＝＋
＝＋
＝(＋)，
∴與＋共線．
綜合提高（限時(shí)25分鐘）
7．對(duì)于空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，有＝x＋y＋z，則x＋y＋z＝1是P，A，B，C四點(diǎn)共面的 (
5、 )．
A．必要不充分條件
B．充分不必要條件
C．充要條件
D．既不充分又不必要條件
解析 若x＋y＋z＝1，則＝(1－y－z)＋y＋z，即＝y(tǒng)＋z，由共面定
理可知向量，，共面，所以P，A，B，C四點(diǎn)共面；反之，若P，A，B，C四
點(diǎn)共面，當(dāng)O與四個(gè)點(diǎn)中的一個(gè)(比如A點(diǎn))重合時(shí)，＝0，x可取任意值，不一定有x
＋y＋z＝1，故選B.
答案 B
8．已知O、A、B是平面上的三個(gè)點(diǎn)，直線AB上有一點(diǎn)C，滿足2＋＝0，則等于( )．
A．2－ B．－＋2
C.－ D．－＋
6、
解析 由已知得2(－)＋(－)＝0，
∴＝2－.
答案 A
9．如圖所示，在四面體O—ABC中，＝a，＝b，＝c，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則＝______(用a，b，c表示)．
解析?。剑絘＋
＝a＋(－)
＝a＋
＝a＋×(＋)
＝a＋b＋c.
答案 a＋b＋c
10．已知A，B，C三點(diǎn)共線，則對(duì)空間任一點(diǎn)O，存在三個(gè)不為0的實(shí)數(shù)λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值為________．
解析 ∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴存在唯一實(shí)數(shù)k使＝k，
即－＝k(－)，
∴(k－1)＋－k＝0，
又λ＋m＋n＝0，
令λ＝k－1，m＝1，n＝－k，
7、則λ＋m＋n＝0.
答案 0
11．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1和A1D1的中點(diǎn)．
證明：向量、、是共面向量．
證明 法一 ＝＋＋
＝－＋
＝(＋)－
＝－.
由向量共面的充要條件知，、、是共面向量．
法二 連結(jié)A1D、BD，取A1D中點(diǎn)G，連結(jié)FG、BG，
則有FG綉DD1，BE綉DD1，
∴FG綉B(tài)E.
∴四邊形BEFG為平行四邊形．
∴EF∥BG.
∴EF∥平面A1BD.
同理，B1C∥A1D，∴B1C∥平面A1BD，
∴、、都與平面A1BD平行．
∴、、共面．
12．(創(chuàng)新拓展)已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．
(1)證明E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；
(2)證明BD∥平面EFGH.
證明 如圖，連結(jié)EG，BG.
(1)∵＝＋
＝＋(＋)
＝＋＋＝＋，
由向量共面的充要條件知：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．
(2)法一 ∵＝－＝－＝，
∴EH∥BD.
又EH?面EFGH，BD?面EFGH，
∴BD∥面EFGH.
法二 ∵＝＋＝2＋2
＝2＝2(＋)＝2＋2，
又，不共線，∴與，共面．
又BD?面EFGH，∴BD∥面EFGH.
高三數(shù)學(xué) 經(jīng)典例題精解分析 3-1-2 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算
