高三數(shù)學(xué) 經(jīng)典例題精解分析 高考真題(二)圓錐曲線與方程

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1、第二章 圓錐曲線與方程 本章歸納整合 高考真題 1．(2011·陜西高考)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x＝－2，則拋物線的方程是 (　　)． A．y2＝－8x B．y2＝－4x C．y2＝8x D．y2＝4x 解析　由準(zhǔn)線方程為x＝－2，可知拋物線的焦點(diǎn)在x軸正半軸上，且p＝4，所以拋物線 的方程為y2＝2px＝8x. 答案　C 2．(2011·安徽高考)雙曲線2x2－y2＝8的實(shí)軸長(zhǎng)是 (　　)．

2、A．2 B．2 C．4 D．4 解析　雙曲線方程可變形為－＝1，所以a2＝4，a＝2，從而2a＝4，故選C. 答案　C 3．(2011·廣東高考)設(shè)圓C與圓x2＋(y－3)2＝1外切，與直線y＝0相切，則C的圓心軌跡為(　　)． A．拋物線 B．雙曲線 C．橢圓 D．圓 解析　設(shè)圓C的半徑為r，則圓心C到直線y＝0的距離為r.由兩圓外切可得，圓心C到 點(diǎn)

3、(0，3)的距離為r＋1，也就是說(shuō)，圓心C到點(diǎn)(0，3)的距離比到直線y＝0的距離大1， 故點(diǎn)C到點(diǎn)(0，3)的距離和它到直線y＝－1的距離相等，符合拋物線的特征，故點(diǎn)C的 軌跡為拋物線． 答案　A 4．(2011·江西高考)若雙曲線－＝1的離心率e＝2，則m＝________. 解析　由題意知a2＝16，即a＝4，又e＝2，所以c＝2a＝8，則m＝c2－a2＝48. 答案　48 5．(2011·全國(guó)課標(biāo)卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為.過(guò)F1的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長(zhǎng)為16，那么C的方程為_(kāi)_________．

4、 解析　設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，由e＝知＝， 故＝. 由于△ABF2的周長(zhǎng)為|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋ |BF2|＝4a＝16，故a＝4. ∴b2＝8. ∴橢圓C的方程為＋＝1. 答案　＋＝1 6．(2011·陜西高考) 如圖，設(shè)P是圓x2＋y2＝25上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是P在x軸上的投影，M為PD上一點(diǎn)，且|MD|＝|PD|. (1)當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程； (2)求過(guò)點(diǎn)(3，0)且斜率為的直線被C所截線段的長(zhǎng)度． 解　(1)設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，P的坐標(biāo)為(xP，yP)， 由已知得 ∵P在圓上，

5、∴x2＋(y)2＝25，即軌跡C的方程為＋＝1. (2)過(guò)點(diǎn)(3，0)且斜率為的直線方程為y＝(x－3)， 設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 將直線方程y＝(x－3)代入C的方程，得 ＋＝1， 即x2－3x－8＝0. ∴x1＝，x2＝. ∴線段AB的長(zhǎng)度為 |AB|＝＝＝＝. 7．(2011·福建高考) 如圖，直線l：y＝x＋b與拋物線C：x2＝4y相切于點(diǎn)A. (1)求實(shí)數(shù)b的值； (2)求以點(diǎn)A為圓心，且與拋物線C的準(zhǔn)線相切的圓的方程． 解　(1)由得x2－4x－4b＝0(*)， 因?yàn)橹本€l與拋物線C相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝

6、0，解得b＝－1. (2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)為x2－4x＋4＝0，解得x＝2， 代入x2＝4y，得y＝1，故點(diǎn)A(2，1)． 因?yàn)閳AA與拋物線C的準(zhǔn)線相切，所以圓A的半徑r就等于圓心A到拋物線的準(zhǔn)線y＝－1的距離，即r＝|1－(－1)|＝2， 所以圓A的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4. 8．(2011·江西高考)P(x0，y0)(x0≠±a)是雙曲線E：－＝1(a＞0，b＞0)上一點(diǎn)，M，N分別是雙曲線E的左、右頂點(diǎn)，直線PM，PN的斜率之積為. (1)求雙曲線的離心率； (2)過(guò)雙曲線E的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為雙曲線

7、上一點(diǎn)，滿足＝λ＋，求λ的值． 解　(1)點(diǎn)P(x0，y0)(x0≠±a)在雙曲線－＝1(a>0，b>0)上，有－＝1. 由題意又有·＝， 即x02－5y02＝a2，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2， 則e＝＝. (2)聯(lián)立得4x2－10cx＋35b2＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則 ① 設(shè)＝(x3，y3)，＝λ＋， 即 又C為雙曲線上一點(diǎn)，即x32－5y32＝5b2， 有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2， 化簡(jiǎn)得λ2(x12－5y12)＋(x22－5y22)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2， ② 又A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上，所以x12－5y12＝5b2， x22－5y22＝5b2. 由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c) ＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2， 由②式得λ2＋4λ＝0，解出λ＝0，或λ＝－4.