高三數(shù)學 經(jīng)典例題精解分析 高考真題(二)圓錐曲線與方程

第二章 圓錐曲線與方程 本章歸納整合 高考真題 1．(2011·陜西高考)設拋物線的頂點在原點，準線方程為x＝－2，則拋物線的方程是 (　　)． A．y2＝－8x B．y2＝－4x C．y2＝8x D．y2＝4x 解析　由準線方程為x＝－2，可知拋物線的焦點在x軸正半軸上，且p＝4，所以拋物線 的方程為y2＝2px＝8x. 答案　C 2．(2011·安徽高考)雙曲線2x2－y2＝8的實軸長是 (　　)． A．2 B．2 C．4 D．4 解析　雙曲線方程可變形為－＝1，所以a2＝4，a＝2，從而2a＝4，故選C. 答案　C 3．(2011·廣東高考)設圓C與圓x2＋(y－3)2＝1外切，與直線y＝0相切，則C的圓心軌跡為(　　)． A．拋物線 B．雙曲線 C．橢圓 D．圓 解析　設圓C的半徑為r，則圓心C到直線y＝0的距離為r.由兩圓外切可得，圓心C到 點(0，3)的距離為r＋1，也就是說，圓心C到點(0，3)的距離比到直線y＝0的距離大1， 故點C到點(0，3)的距離和它到直線y＝－1的距離相等，符合拋物線的特征，故點C的 軌跡為拋物線． 答案　A 4．(2011·江西高考)若雙曲線－＝1的離心率e＝2，則m＝________. 解析　由題意知a2＝16，即a＝4，又e＝2，所以c＝2a＝8，則m＝c2－a2＝48. 答案　48 5．(2011·全國課標卷)在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為.過F1的直線l交C于A，B兩點，且△ABF2的周長為16，那么C的方程為__________． 解析　設橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，由e＝知＝， 故＝. 由于△ABF2的周長為|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋ |BF2|＝4a＝16，故a＝4. ∴b2＝8. ∴橢圓C的方程為＋＝1. 答案?。? 6．(2011·陜西高考) 如圖，設P是圓x2＋y2＝25上的動點，點D是P在x軸上的投影，M為PD上一點，且|MD|＝|PD|. (1)當P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程； (2)求過點(3，0)且斜率為的直線被C所截線段的長度． 解　(1)設M的坐標為(x，y)，P的坐標為(xP，yP)， 由已知得 ∵P在圓上， ∴x2＋(y)2＝25，即軌跡C的方程為＋＝1. (2)過點(3，0)且斜率為的直線方程為y＝(x－3)， 設直線與C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 將直線方程y＝(x－3)代入C的方程，得 ＋＝1， 即x2－3x－8＝0. ∴x1＝，x2＝. ∴線段AB的長度為 |AB|＝＝＝＝. 7．(2011·福建高考) 如圖，直線l：y＝x＋b與拋物線C：x2＝4y相切于點A. (1)求實數(shù)b的值； (2)求以點A為圓心，且與拋物線C的準線相切的圓的方程． 解　(1)由得x2－4x－4b＝0(*)， 因為直線l與拋物線C相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1. (2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)為x2－4x＋4＝0，解得x＝2， 代入x2＝4y，得y＝1，故點A(2，1)． 因為圓A與拋物線C的準線相切，所以圓A的半徑r就等于圓心A到拋物線的準線y＝－1的距離，即r＝|1－(－1)|＝2， 所以圓A的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4. 8．(2011·江西高考)P(x0，y0)(x0≠±a)是雙曲線E：－＝1(a＞0，b＞0)上一點，M，N分別是雙曲線E的左、右頂點，直線PM，PN的斜率之積為. (1)求雙曲線的離心率； (2)過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標原點，C為雙曲線上一點，滿足＝λ＋，求λ的值． 解　(1)點P(x0，y0)(x0≠±a)在雙曲線－＝1(a>0，b>0)上，有－＝1. 由題意又有·＝， 即x02－5y02＝a2，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2， 則e＝＝. (2)聯(lián)立得4x2－10cx＋35b2＝0， 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則 ① 設＝(x3，y3)，＝λ＋， 即 又C為雙曲線上一點，即x32－5y32＝5b2， 有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2， 化簡得λ2(x12－5y12)＋(x22－5y22)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2， ② 又A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上，所以x12－5y12＝5b2， x22－5y22＝5b2. 由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c) ＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2， 由②式得λ2＋4λ＝0，解出λ＝0，或λ＝－4.