高三數(shù)學(xué) 經(jīng)典例題精解分析 2-4-2 拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

2.4.2　拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 雙基達(dá)標(biāo)　(限時(shí)20分鐘) 1．經(jīng)過(guò)拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)且平行于直線3x－2y＋5＝0的直線l的方程是 (　　)． A．6x－4y－3＝0 B．3x－2y－3＝0 C．2x＋3y－2＝0 D．2x＋3y－1＝0 解析　設(shè)直線l的方程為3x－2y＋c＝0，拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)F(，0)，所以3×－2×0 ＋c＝0， 所以c＝－，故直線l的方程是6x－4y－3＝0.選A. 答案　A 2．過(guò)點(diǎn)(1，0)作斜率為－2的直線，與拋物線y2＝8x交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長(zhǎng)為 (　　)． A．2 B．2 C．2 D．2 解析　不妨設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，其中x1>x2.由直線AB斜率為－2， 且過(guò)點(diǎn)(1，0)得直線AB的方程為y＝－2(x－1)，代入拋物線方程y2＝8x得4(x－1)2＝8x， 整理得x2－4x＋1＝0，解得x1＝2＋，x2＝2－，代入直線AB方程得y1＝－2－2， y2＝2－2.故A(2＋，－2－2)，B(2－，2－2)． |AB|＝＝2. 答案　B 3．已知拋物線y2＝2px(p>0)，過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為 (　　)． A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 解析　拋物線的焦點(diǎn)為F(，0)，所以過(guò)焦點(diǎn)且斜率為1的直線方程為y＝x－，即x＝y(tǒng) ＋，代入y2＝2px得y2＝2p(y＋)＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系得 ＝p＝2(y1，y2分別為點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo))，所以拋物線方程為y2＝4x，準(zhǔn)線方程為x ＝－1. 答案　B 4．拋物線頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，以y軸為對(duì)稱軸，過(guò)焦點(diǎn)且與y軸垂直的弦長(zhǎng)為16，則拋物線方程為_(kāi)_______． 解析　∵過(guò)焦點(diǎn)且與對(duì)稱軸y軸垂直的弦長(zhǎng)等于p的2倍． ∴所求拋物線方程為x2＝±16y. 答案　x2＝±16y 5．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，A是拋物線上一點(diǎn)，若·＝－4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是________． 解析　∵拋物線的焦點(diǎn)為F(1，0)，設(shè)A(，y0)， 則＝(，y0)，＝(1－，－y0)， 由·＝－4，得y0＝±2， ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1，2)或(1，－2)． 答案　(1，2)或(1，－2) 6．求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程： (1)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4； (2)頂點(diǎn)是雙曲線16x2－9y2＝144的中心，準(zhǔn)線過(guò)雙曲線的左頂點(diǎn)，且垂直于坐標(biāo)軸． 解　(1)由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)應(yīng)的圖形易知：頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，故＝4，p＝8.因此，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝±16x或x2＝±16y. (2)雙曲線方程16x2－9y2＝144化為標(biāo)準(zhǔn)形式為－＝1，中心為原點(diǎn)，左頂點(diǎn)為(－3，0)，故拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線為x＝－3.由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px(p>0)，可得＝3，故p＝6.因此，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝12x. 綜合提高（限時(shí)25分鐘） 7．已知直線y＝k(x＋2)(k>0)與拋物線C：y2＝8x相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)．若|FA|＝2|FB|，則k＝ (　　)． A. B. C. D. 解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0， 由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0， ∴x1x2＝4， ① ∵|FA|＝x1＋＝x1＋2， |FB|＝x2＋＝x2＋2，且|FA|＝2|FB|， ∴x1＝2x2＋2. ② 由①②得x2＝1， ∴B(1，2)，代入y＝k(x＋2)，得k＝.故選D. 答案　D 8．過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于M，N兩點(diǎn)，自M，N向準(zhǔn)線l作垂線，垂足分別為M1，N1，則∠M1FN1等于 (　　)． A．45° B．60° C．90° D．120° 解析　如圖，由拋物線的定義， 得|MF|＝|MM1|，|NF|＝|NN1|. ∴∠MFM1＝∠MM1F， ∠NFN1＝∠NN1F. 設(shè)準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為F1， ∵M(jìn)M1∥FF1∥NN1， ∴∠MM1F＝∠M1FF1， ∠NN1F＝∠N1FF1. 而∠MFM1＋∠M1FF1＋∠NFN1＋∠N1FF1＝180°， ∴2∠M1FF1＋2∠N1FF1＝180°，即∠M1FN1＝90°. 答案　C 9．邊長(zhǎng)為1的等邊三角形AOB，O為原點(diǎn)，AB⊥x軸，以O(shè)為頂點(diǎn)，且過(guò)A，B的拋物線方程是________． 解析　該等邊三角形的高為.因而A點(diǎn)坐標(biāo)為或.可設(shè)拋物線方 程為y2＝2px(p≠0)．A在拋物線上，因而p＝±.因而所求拋物線方程為y2＝±x. 答案　y2＝±x 10．設(shè)已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(1，0)．直線l與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為(2，2)，則直線l的方程為_(kāi)_______． 解析　拋物線的方程為y2＝4x， 設(shè)直線l與拋物線C的交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則有x1≠x2， 兩式相減得，y12－y22＝4(x1－x2)， ∴＝＝1， ∴直線l的方程為y－2＝x－2，即y＝x. 答案　y＝x 11．已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的拋物線被直線y＝2x＋1截得的弦長(zhǎng)為，求拋物線的方程． 解　設(shè)拋物線的方程為y2＝2px， 則消去y，得 4x2－(2p－4)x＋1＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， x1＋x2 ＝，x1x2＝. |AB|＝|x1－x2|＝ ＝＝. 則＝，p2－4p－12＝0， p＝－2或6.∴y2＝－4x或y2＝12x. 12．(創(chuàng)新拓展)如圖，已知△AOB的一個(gè)頂點(diǎn)為拋物線y2＝2x的頂點(diǎn)O，A、B兩點(diǎn)都在拋物線上，且∠AOB＝90°. (1)證明直線AB必過(guò)一定點(diǎn)； (2)求△AOB面積的最小值． (1)證明　設(shè)OA所在直線的方程為y＝kx(k≠0)，則直線OB的方程為y＝－x， 由解得或 即A點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)． 同樣由解得B點(diǎn)的坐標(biāo)為(2k2，－2k)． ∴AB所在直線的方程為y＋2k＝(x－2k2)， 化簡(jiǎn)并整理，得(－k)y＝x－2. 不論實(shí)數(shù)k取任何不等于0的實(shí)數(shù)，當(dāng)x＝2時(shí)，恒有y＝0. 故直線過(guò)定點(diǎn)P(2，0)． (2)解　由于AB所在直線過(guò)定點(diǎn)P(2，0)，所以可設(shè)AB所在直線的方程為x＝my＋2. 由消去x并整理得y2－2my－4＝0. ∴y1＋y2＝2m，y1y2＝－4. 于是|y1－y2|＝＝＝＝2. S△AOB＝×|OP|×(|y1|＋|y2|) ＝|OP|·|y1－y2|＝×2×2＝2. ∴當(dāng)m＝0時(shí)，△AOB的面積取得最小值為4.