高三數(shù)學(xué) 經(jīng)典例題精解分析 2-2-2第2課時(shí) 橢圓方程及性質(zhì)的應(yīng)用

第2課時(shí) 橢圓方程及性質(zhì)的應(yīng)用 雙基達(dá)標(biāo)　(限時(shí)20分鐘) 1．橢圓＋＝1的一個(gè)焦點(diǎn)為F1，點(diǎn)P在橢圓上．如果線段PF1的中點(diǎn)M在y軸上，那么點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是 (　　)． A．± B．± C．± D．± 解析　由條件可得F1(－3，0)，PF1的中點(diǎn)在y軸上， ∴P坐標(biāo)(3，y0)，又P在＋＝1的橢圓上得y0＝±， ∴M的坐標(biāo)(0，±)，故選A. 答案　A 2．如圖所示，直線l：x－2y＋2＝0過橢圓的左焦點(diǎn)F1和一個(gè)頂點(diǎn)B，該橢圓的離心率為(　　)． A. B. C. D. 解析　由條件知，F(xiàn)1(－2，0)，B(0，1)，∴b＝1，c＝2， ∴a＝＝， ∴e＝＝＝. 答案　D 3．已知橢圓＋＝1的上焦點(diǎn)為F，直線x＋y－1＝0和x＋y＋1＝0與橢圓分別相交于點(diǎn)A，B和C，D，則AF＋BF＋CF＋DF＝ (　　)． A．2 B．4 C．4 D．8 解析　如圖，兩條平行直線分別經(jīng)過橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，連接 AF1、FD.由橢圓的對(duì)稱性可知，四邊形AFDF1(其中F1為橢 圓的下焦點(diǎn))為平行四邊形， ∴AF1＝FD，同理BF1＝CF， ∴AF＋BF＋CF＋DF＝AF＋BF＋BF1＋AF1＝4a＝8. 答案　D 4．直線y＝x＋2與橢圓＋＝1有兩個(gè)公共點(diǎn)，則m的取值范圍是________． 解析　由消去y， 整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0. 若直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)， 則解得 由＋＝1表示橢圓知，m>0且m≠3. 綜上可知，m的取值范圍是(1，3)∪(3，＋∞)． 答案　(1，3)∪(3，＋∞) 5．橢圓x2＋4y2＝16被直線y＝x＋1截得的弦長(zhǎng)為________． 解析　由消去y并化簡(jiǎn)得x2＋2x－6＝0. 設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為M(x1，y1)，N(x2，y2)， 則x1＋x2＝－2，x1x2＝－6. ∴弦長(zhǎng)|MN|＝ ＝ ＝ ＝＝. 答案　 6．已知直線l：y＝kx＋1與橢圓＋y2＝1交于M、N兩點(diǎn)，且|MN|＝.求直線l的方程． 解　設(shè)直線l與橢圓的交點(diǎn) M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由消y并化簡(jiǎn)，得(1＋2k2)x2＋4kx＝0， ∴x1＋x2＝－，x1x2＝0. 由|MN|＝，得(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝， ∴(1＋k2)(x1－x2)2＝， ∴(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝. 即(1＋k2)(－)2＝. 化簡(jiǎn)，得k4＋k2－2＝0，∴k2＝1，∴k＝±1. ∴所求直線l的方程是y＝x＋1或y＝－x＋1. 綜合提高（限時(shí)25分鐘） 7．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率是，過橢圓上一點(diǎn)M作直線MA，MB分別交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且斜率分別為k1，k2，若點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則k1·k2的值為 (　　)． A. B．－ C. D．－ 解析　設(shè)點(diǎn)M(x，y)，A(x1，y1)，B(－x1，－y1)， 則y2＝b2－，y12＝b2－， 所以k1·k2＝·＝＝－＝－1＝e2－1＝－， 即k1·k2的值為－. 答案　D 8．已知橢圓C：＋y2＝1的右焦點(diǎn)為F，直線l：x＝2，點(diǎn)A∈l，線段AF交C于點(diǎn)B，若＝3，則||＝ (　　)． A. B．2 C. D．3 解析　設(shè)點(diǎn)A(2，n)，B(x0，y0)． 由橢圓C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1， ∴c2＝1，即c＝1，∴右焦點(diǎn)F(1，0)． ∴由＝3得(1，n)＝3(x0－1，y0)． ∴1＝3(x0－1)且n＝3y0. ∴x0＝，y0＝n. 將x0，y0代入＋y2＝1，得 ×()2＋(n)2＝1. 解得n2＝1，∴||＝＝＝.所以選A. 答案　A 9．已知F1、F2為橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)．若|F2A|＋|F2B|＝12，則|AB|＝________. 解析　由題意知(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a，又由a＝5， 可得|AB|＋(|BF2|＋|AF2|)＝20，即|AB|＝8. 答案　8 10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A1，A2，B1，B2為橢圓＋＝1(a>b>0)的四個(gè)頂點(diǎn)，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，直線A1B2與直線B1F相交于點(diǎn)T，線段OT與橢圓的交點(diǎn)M恰為線段OT的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為________． 解析　直線A1B2的方程為＋＝1，直線B1F的方程為＋＝1，二者聯(lián)立，得T(， )， 則M(，)在橢圓＋＝1(a>b>0)上， ∴＋＝1， c2＋10ac－3a2＝0，e2＋10e－3＝0，解得e＝2－5. 答案　2－5 11．已知過點(diǎn)A(－1，1)的直線與橢圓＋＝1交于點(diǎn)B、C，當(dāng)直線l繞點(diǎn)A(－1，1)旋轉(zhuǎn)時(shí)，求弦BC中點(diǎn)M的軌跡方程． 解　設(shè)直線l與橢圓的交點(diǎn)B(x1，y1)，C(x2，y2)， 弦BC中點(diǎn)M(x，y)， 則＋＝1，① ＋＝1.② ②－①，得(－)＋(－)＝0. ∴(x2＋x1)(x2－x1)＋2(y2＋y1)(y2－y1)＝0.③ 當(dāng)x1≠x2時(shí)，＝x，＝y(tǒng)，＝， 又∵③式可化為(x1＋x2)＋2(y1＋y2)·＝0. ∴2x＋2·2y·＝0，化簡(jiǎn)得x2＋2y2＋x－2y＝0. 當(dāng)x1＝x2時(shí)，由點(diǎn)M(x，y)是線段BC中點(diǎn)， ∴x＝－1，y＝0，顯然適合上式． 總之，所求弦中點(diǎn)M的軌跡方程是x2＋2y2＋x－2y＝0. 12．(創(chuàng)新拓展)如圖所示，點(diǎn)A、B分別是橢圓＋＝1長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且位于x軸上方，PA⊥PF. (1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (2)設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值． 解　(1)由已知可得點(diǎn)A(－6，0)，F(xiàn)(4，0)， 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x，y)， 則＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)． 由已知得 則2x2＋9x－18＝0, 即得x＝或x＝－6. 由于y>0，只能x＝，于是y＝. ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(，)． (2)直線AP的方程是x－y＋6＝0. 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(m，0)， 則M到直線AP的距離是， 于是＝|m－6|， 又－6≤m≤6，解得m＝2， 設(shè)橢圓上的點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)M的距離d，有 d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2 ＝(x－)2＋15， 由于－6≤x≤6. ∴當(dāng)x＝時(shí)，d取最小值.